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Das hypothetische Wesen, das von allen Atomen des Universums weiß, wo sie sich befinden

Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen außer 8 und 9 können keine exakten Potenzen sein

VORWORT

Die ganze Mathematik in einem Buch – das ist unvorstellbar, denn es gibt einfach zu viel Mathematik. In der Tat existiert Mathematik seit mindestens 5000 Jahren. Während dieser langen Zeit haben Mathematikerinnen und Mathematiker unablässig mathematische Erkenntnisse erzielt und veröffentlicht. Heute ist Mathematik produktiver denn je: Täglich, ja stündlich werden neue Ergebnisse publiziert. Wie soll man das zusammenfassen?

Die Autoren dieses Buches schaffen es jedoch, den Dschungel zu lichten. Dazu schlagen sie große Schneisen und ermöglichen so Blicke in die Welt der Mathematik, die Einsichten eröffnen. Was das Buch wirklich einzigartig macht, ist, dass es nicht in der Vergangenheit stehen bleibt, sondern durchgängig die Verbindung zu moderner Mathematik sucht.

Die ganze Mathematik in einem Buch – das kann nicht funktionieren, weil das viel zu kompliziert ist. In der Tat hat die Mathematik in den letzten 500 Jahren eine Sprache voller Symbole, Spezialausdrücke und Zeichen entwickelt. Die Mathematikerinnen und Mathematiker sind zu Recht stolz darauf. Denn die mathematische Sprache ist ein Präzisionsinstrument, mit dem man auch noch die kühnsten Expeditionen menschlichen Denkens ermöglichen und absichern kann. Aber wer soll das verstehen?

Doch, es geht. Das Buch schlägt einen klugen Mittelweg ein: Es vermeidet einerseits, so zu tun, als ob die mathematische Sprache im Grunde nur eine Art Zuckerguss sei, auf den man auch verzichten kann, und es vermeidet andererseits, ein mathematisches Lehrbuch zu sein, bei dem die mathematische Sprache ganz selbstverständlich benutzt wird. So werden an vielen Stellen der Nutzen und der Vorteil einer symbolischen Darstellung klar.

Die ganze Mathematik in einem Buch – das interessiert doch niemanden, weil Mathe angeblich langweilig ist. In der Tat haben die wenigsten Menschen eine Vorstellung von der Lebendigkeit der Mathematik. Es ist weitgehend unbekannt, dass Mathematik eine der wichtigsten Wissenschaften für unser Leben und unsere wirtschaftliche Entwicklung ist, dass man über das Leben von Mathematikerinnen und Mathematikern spannende Geschichten erzählen kann, und, nicht zuletzt, dass mathematische Probleme und die Versuche, ihnen auf die Spur zu kommen, unglaublich faszinierend sein können.

Doch auch dies leistet das vorliegende Buch: Es entwirft ein Panorama von kühnen mathematischen Gedanken und ihren Anwendungen, es erzählt von den handelnden Personen und stellt Probleme dar, deren Faszination man sich kaum entziehen kann.

Insgesamt ein Buch mit einem umfassenden Anspruch, das Leserinnen und Leser aber nicht erschlägt. Vielmehr kann man einfach irgendwo anfangen und mal ein Kapitel lesen. Ich bin überzeugt: Aus dem einen Kapitel werden zwei und drei oder noch mehr.

EINLEITUNG

Die Anfänge der Mathematik liegen in der Frühgeschichte, als die Menschen begannen, Dinge zu zählen und zu messen. Dabei erkannten sie Muster und Regeln in den Vorstellungen von Zahlen, Maßen und Formen. Sie entdeckten die Prinzipien der Addition und Subtraktion – wenn man etwa zwei Dinge (ob Steine, Beeren oder Mammuts) zu zwei weiteren hinzufügt, hat man stets vier Dinge. Solche Gedanken erscheinen uns heute offensichtlich, waren damals aber tiefgründige Einsichten. Sie zeigen, dass die Geschichte der Mathematik nicht nur eine Geschichte der Erfindungen, sondern auch der Entdeckungen, ist. Zwar waren es menschliche Neugier und Intuition, die mathematische Grundsätze erkannten, und der Erfindungsreichtum lieferte später Methoden zur Notation (der Beschreibung durch Symbole) sowie Manipulation, aber die Prinzipien selbst sind nicht menschengemacht. 2 + 2 = 4 ist eine Tatsache, die unabhängig vom Menschen wahr ist. Die Gesetze der Mathematik sind wie die der Physik universell, ewig und unveränderlich. Als Mathematiker erstmals zeigten, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks in der Ebene 180 ° ist, war das nicht ihre Erfindung. Sie hatten lediglich eine Tatsache entdeckt, die immer schon wahr war und ewig wahr bleiben wird.

Frühe Anwendungen

Die Entdeckung der Mathematik begann in der Frühgeschichte mit der Notwendigkeit, Dinge zu zählen. Im einfachsten Fall legte man Strichlisten auf Knochen oder Holzstäben an – ein einfacher, aber zuverlässiger Weg, die Anzahl von Dingen festzuhalten. Später wurden den Zahlen Namen und Symbole zugeordnet, und die ersten Zahlensysteme entstanden, die auch Operationen wie hinzufügen oder wegnehmen von Mengen ermöglichten, also die einfachsten Rechenregeln.

Als die Jäger und Sammler Handel trieben, mit dem Ackerbau sesshaft und die Gesellschaften komplexer wurden, stellten Rechenregeln und Zahlensysteme unverzichtbare Hilfsmittel für alle Geschäftsvorgänge dar. Für den Handel, die Inventur und die Besteuerung von nicht zählbaren Gütern wie Öl, Getreide oder Grundstücken wurden Messsysteme entwickelt, die Größen wie Gewicht oder Länge einen numerischen Wert zuwiesen. Berechnungen wurden komplexer, und das Konzept der Multiplikation und Division wurde aus der Addition und Subtraktion abgeleitet, um damit etwa Grundstücksflächen zu berechnen.

In den frühen Zivilisationen wurden die neuen Entdeckungen, insbesondere die Messung von Objekten im Raum, die Grundlage der Geometrie, in der Architektur und anderen Handwerken anwendbar. Dabei erkannte man einige Muster, die sich als nützlich erwiesen. Braucht ein Baumeister etwa einen rechten Winkel, kann er ihn einfach (aber genau) mit einem Dreieck der Seitenlängen drei, vier und fünf Einheiten erhalten. Ohne derartige genaue Hilfsmittel und Kenntnisse hätte man die Straßen, Kanäle, Zikkurate und Pyramiden Mesopotamiens und Ägyptens nicht bauen können.

Als man neue Anwendungen der mathematischen Entdeckungen vor allem in der Astronomie, aber auch der Navigation, Buchhaltung, im Steuerwesen und vielen anderen Bereichen fand, tauchten weitere Muster und Ideen auf. Die einzelnen antiken Kulturen trieben die Mathematik durch dieses Wechselspiel zwischen Anwendung und Entdeckung voran, entwickelten aber auch eine Faszination für mathematische Konzepte an sich, die »reine Mathematik«. Ab Mitte des ersten Jahrtausends v. Chr. kam die reine Mathematik in Griechenland und etwas später in Indien und China auf. Sie beruht auf dem Erbe praktischer Pioniere: den Baumeistern, Astronomen und Entdeckern einstiger Kulturen.

Zwar waren diese frühen »reinen« Mathematiker weniger an den praktischen Anwendungen interessiert, dennoch beschränkten sie sich nicht auf Mathematik. Bei der Erforschung der Eigenschaften von Zahlen, Formen und Methoden entdeckten sie allgemeingültige Regeln und Muster, die metaphysische Fragen über die Natur des Kosmos aufwarfen oder sogar vermuten ließen, dass diese Muster mystische Eigenschaften hätten. Daher wurde die Mathematik oft als ergänzende Disziplin zur Philosophie gesehen. Viele der großen Mathematiker waren auch Philosophen, und umgekehrt. Die Verbindung der beiden Disziplinen besteht auch heute noch.

Arithmetik und Algebra

Damit begann die Geschichte der Mathematik, wie wir sie heute kennen. Diese Entdeckungen, Vermutungen und Einsichten von Mathematikern bilden einen Großteil dieses Buchs. Neben einzelnen Denkern und deren Ideen beschreibt es einen sich stetig fortentwickelnden Gedankengang in der Geschichte der Gesellschaften und Kulturen. Er reicht von den antiken Zivilisationen Mesopotamiens und Ägyptens über Griechenland, China, Indien ins islamische Reich bis zum Europa der Renaissance und schließlich zur modernen Welt. Im Laufe der Zeit teilte man die Mathematik dabei in mehrere separate, aber miteinander verknüpfte Teilgebiete auf.

Das früheste und in vielerlei Hinsicht das fundamentalste Teilgebiet nennen wir heute Arithmetik, nach dem griechischen Wort arithmos (»Zahl«). Im einfachsten Fall geht es um das Abzählen und um die Zuordnung numerischer Werte und auch um Rechenregeln, also Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, die man auf Zahlen anwenden kann. Aus dem einfachen Zahlbegriff entstand das Studium ihrer Eigenschaften und des Konzepts der Zahlen selbst – die Zahlentheorie. Bestimmte Zahlen – etwa die Konstanten π und e, die Primzahlen oder die irrationalen Zahlen faszinierten die Mathematiker seit jeher. Daher studierte man sie umso ausgiebiger.

Ein weiteres großes Teilgebiet ist Algebra, die sich mit der Struktur und Ordnung der Mathematik beschäftigt und damit für jedes andere Gebiet relevant ist. Die Algebra unterschiedet sich von der Arithmetik u. a. durch die Verwendung von Symbolen, etwa Buchstaben, für Variablen (unbekannte Zahlen). Einfach gesagt erforscht die Algebra die zugrundeliegenden Regeln, wie die Symbole verwendet werden, etwa in Gleichungen. Methoden zur Lösung von sogar ziemlich komplizierten quadratischen Gleichungen entdeckten in der Antike schon die Babylonier. Aber die Begründer der Algebra waren mittelalterliche Gelehrte im goldenen Zeitalter des Islam. Sie verwendeten Symbole, um Rechnungen zu vereinfachen. Aus ihrem Wort al-Dschabr (wörtlich: »die Einrenkung [gebrochener Teile]«) entstand der Name Algebra. Neuere Entwicklungen abstrahieren selbst die Strukturen der Algebra, genannt »abstrakte Algebra«.

Geometrie und Analysis

Ein weiterer großer Teilbereich, die Geometrie, beschäftigt sich mit dem Konzept des Raums und der Beziehung von Objekten in diesem: also ihrer Form, Größe und Lage. Die Geometrie entstand aus dem Problem, physische Dimensionen zu beschreiben, etwa von Dingen in der Technik und Bauprojekten, der Vermessung und Verwaltung von Land oder bei astronomischen Beobachtungen für die Navigation und die Kalenderberechnung. Ein Zweig der Geometrie, die Trigonometrie (das Untersuchen von Dreiecken), erwies sich als besonders nützlich. Wohl wegen ihres konsequent logischen Aufbaus galt die Geometrie in vielen antiken Kulturen als Grundstein der Mathematik. Sie lieferte die Methoden der Problemlösung und Beweisführung in anderen Teilgebieten.

Das galt besonders für das antike Griechenland, wo Geometrie und Mathematik fast als Synonyme galten. Das Erbe der großen Mathematiker wie Pythagoras, Platon und Aristoteles wurde von Euklid gefestigt. Seine Prinzipien der Mathematik, basierend auf einer Kombination von Geometrie und Logik, bildeten etwa zwei Jahrtausende lang das anerkannte Fundament der Disziplin. Im 19. Jahrhundert schuf man Alternativen zur euklidischen Geometrie und entwickelte neue Bereiche wie die Topologie, die nicht nur Eigenschaften von Objekten im Raum, sondern den Raum selbst erforscht.

Seit der Antike hatte sich die Mathematik mit statischen Situationen beschäftigt oder Dinge zu einem festen Zeitpunkt beschrieben. Es gab aber noch kein Mittel, um kontinuierliche Veränderungen zu messen oder zu berechnen. Die Infinitesimalrechnung, die im 17. Jahrhundert von Gottfried Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurde, lieferte Antworten. Ihre zwei Teilgebiete, die Differenzial- und Integralrechnung, analysierten Merkmale wie die Steigung oder die Fläche unter einer Kurve. Damit konnten sie Veränderungen beschreiben.

Die Entdeckung der Infinitesimalrechnung begründete die Analysis, die im 20. Jahrhundert besonders wichtig für etwa die Quantenmechanik oder Chaostheorie wurde.

Neue Grundlagen

Im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert entstand ein neuer Teilbereich: die Grundlagen der Mathematik. Dieses Gebiet begutachtete die Verbindung zwischen Philosophie und Mathematik. Wie schon Euklid im 3. Jahrhundert v. Chr. wollten Gelehrte wie Gottlob Frege und Bertrand Russell die logischen Grundlagen mathematischer Prinzipien entdecken. Das regte eine Neubeurteilung der Natur der Mathematik selbst an: Wie funktioniert sie und wo sind ihre Grenzen? Die Erforschung der grundlegenden mathematischen Konzepte ist wohl das abstrakteste Teilgebiet, eine Art von Metamathematik, jedoch eine unerlässliche Ergänzung jedes anderen Gebiets der modernen Mathematik.

Neue Technik, neue Ideen

Die verschiedenen Gebiete der Mathematik – Arithmetik bzw. Zahlentheorie, Algebra, Geometrie, Analysis, Logik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik – sind um ihrer selbst Willen würdige Studiengebiete, und das gängige Bild der akademischen Mathematik ist die nahezu unbegreifliche Abstraktion. Aber meist haben sie auch praktische Anwendungen, und umgekehrt treiben Fortschritte in Wissenschaft und Technik das mathematische Denken voran.

Ein wichtiges Beispiel ist das symbiotische Verhältnis zwischen Mathematik und Computertechnik. Computer wurden ursprünglich als Werkzeug für Routinearbeiten entwickelt: die Berechnung von Tabellen für Mathematiker oder Astronomen. Doch ihre Konstruktion erforderte neue mathematische Denkmodelle. Daher waren es Mathematiker ebenso wie Techniker, die die Grundlagen von erst mechanischen und dann elektronischen Rechenmaschinen lieferten, die dann wieder Hilfsmittel zur Entdeckung neuer Konzepte waren. Zweifellos werden auch in Zukunft neue Anwendungen für mathematische Lehrsätze gefunden – und da noch zahllose Probleme ungelöst sind, ist auch für mathematische Entdeckungen kein Ende in Sicht.

Die Geschichte der Mathematik ist die Erkundung von Teilgebieten und Entdeckung neuer. Aber sie ist auch die Geschichte der Entdecker, der Mathematiker, die ein festes Ziel hatten, etwa ein ungelöstes Problem zu lösen oder in unbekannten Territorien nach neuen Ideen zu suchen. Oder andere, die bei ihrer Arbeit über eine neue Idee stolperten und sie verfolgten, um zu sehen, wo sie hinführt. Manche Entdeckungen waren bahnbrechende Erkenntnisse, die den Weg in neue, unbekannte Bereiche öffneten, andere waren von »Zwergen auf den Schultern von Riesen«: die Fortentwicklung oder Anwendung der Arbeiten früherer Denkergenerationen.

Dieses Buch stellt viele der »großen Ideen« der Mathematik von den frühesten Entdeckungen bis zur Gegenwart vor und erklärt in verständlicher Sprache, wo sie herkommen, wer sie entdeckte und warum sie wichtig sind. Einige sind wohl vielen Lesern bekannt, andere nicht. Mit dem Verständnis dieser Ideen und der Menschen und Gesellschaften, die sie entdeckten, können wir nicht nur die Allgegenwart und Nützlichkeit der Mathematik würdigen, sondern auch die Eleganz und Schönheit, die Mathematiker in ihr sehen.

FRÜHZEIT UND ANTIKE

3500 V. CHR.–500 N. CHR.

Sumerische Tontafeln enthalten verschiedene Maßangaben: ein Vorläufer eines Zahlensystems.

Die Ägypter beschreiben Methoden zur Berechnung von Flächen und Volumen im Papyrus Rhind.

Hippasos von Metapont entdeckt die irrationalen Zahlen: Zahlen, die sich nicht als Brüche darstellen lassen.

Eines der einflussreichsten Lehrbücher aller Zeiten, Euklids Elemente, enthält mathematische Fortschritte wie den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Die Sumerer nutzen ein Hexagesimalsystem (Zahlensystem mit Basis 60), in dem ein kleiner Kegel 1 und ein großer Kegel 60 repräsentiert.

Pythagoras gründet eine Schule, in der er metaphysischen Glauben und Mathematik lehrt, etwa den Satz von Pythagoras.

Platon gründet die Akademie in Athen – angeblich stand über dem Eingang: »Niemand soll eintreten, der keine Geometrie versteht«.

Wichtige Fortschritte in der Geometrie macht Apollonios von Perge in dem Buch Konika.

Die alten Chinesen nutzen ein System zur Darstellung negativer und positiver Zahlen mit schwarzen und roten Bambusstäben.

Liu Hui schreibt wichtige Kommentare zum Jiu Zhang Suanshu (»Neun Kapitel der Rechenkunst«), eine Sammlung älterer Texte verschiedener Gelehrter aus dem 1. Jt. v. Chr.

Hipparchos von Nicäa stellt die ersten trigonometrischen Tabellen zusammen.

Diophantos von Alexandria veröffentlicht in Arithmetica neue Symbole für die Darstellung von Unbekannten in Gleichungen.

Zu Chongzhi nähert Pi auf sieben Dezimalstellen an, ein Wert, der ein Jahrtausend lang nicht weiter verbessert wird.

Schon vor 40 000 Jahren schnitten Menschen Kerben als Strichlisten in Holz- oder Knochenstäbe. Zweifellos hatten sie ein rudimentäres Verständnis für Zahlen und Rechnen, aber die Geschichte der eigentlichen Mathematik begann mit der Entwicklung von Zahlensystemen in den frühen Hochkulturen. Das erste entstand im vierten Jahrtausend v. Chr. in Mesopotamien (im heutigen Irak und Iran), wo die weltweit früheste Landwirtschaft und die ersten Städte entstanden. Hier verfeinerten die Sumerer das Prinzip von Strichlisten mit verschiedenen Symbolen für verschiedene Mengen, und die Babylonier entwickelten es zu einem komplizierten Zahlensystem aus Keilschriftzeichen weiter. Ab etwa 1800 v. Chr. wandten die Babylonier elementare Geometrie und Algebra auf praktische Probleme an. Etwa in der Architektur, bei Bauprojekten, in der Landvermessung, im Rechnungswesen sowie in der Buchhaltung für den Handel und Steuererhebungen.

Ähnliches wiederholte sich in der etwas jüngeren ägyptischen Zivilisation. Der Handel und das Steuerwesen erforderten ein kompliziertes Zahlensystem. Auch Bauarbeiten und Technik waren nur dank Messverfahren und gewissen Kenntnissen in Geometrie und Algebra möglich. Mit ihren mathematischen Fähigkeiten und guten Himmelsbeobachtungen konnten die Ägypter auch astronomische Zyklen und Jahreszeiten berechnen und vorhersagen. Sie stellten Kalender für die Landwirtschaft und den religiösen Jahreslauf auf. Ebenso legten sie die Grundlagen für die Geometrie und Arithmetik schon um 2000 v. Chr.

Griechische Sorgfalt

Ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. nahm der Einfluss Griechenlands im östlichen Mittelmeerraum rapide zu. Griechische Gelehrte übernahmen mathematische Konzepte aus Babylonien und Ägypten. Die Griechen benutzten ein Stellenwertsystem zur Basis 10 (also zehn Zahlzeichen), abgeleitet vom ägyptischen System. Vor allem die Geometrie schwang mit der griechischen Kultur mit, die Formen und Symmetrien schätzte. Die Mathematik wurde zu einer Basis des Denkens und zeigte sich in der Kunst, Architektur und sogar der Philosophie. Die fast mystischen Eigenschaften der Geometrie und der Zahlen inspirierten Pythagoras und seine Anhänger zur Gründung einer fast kultartigen Gemeinde. Sie betrachteten mathematische Prinzipien, die sie als Fundament des Universums und aller Dinge ansahen.

Jahrhunderte vor Pythagoras hatten Ägypter Dreiecke mit Seiten von 3, 4 und 5 Längeneinheiten benutzt, um beim Bau rechte Winkel zu konstruieren. Diese Faustregel hatten sie durch zufällige Beobachtungen entdeckt. Doch die Pythagoreer fanden einen strikten Beweis für einen allgemeinen Satz über die Seitenverhältnisse rechtwinkliger Dreiecke. Die Grundidee, allgemeine Sätze strikt zu beweisen, gilt als einer der wichtigsten Beiträge der Griechen zur Mathematik.

Platons Akademie in Athen war der Philosophie und der Mathematik gewidmet, und Platon selbst beschrieb die fünf platonischen Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder). Man wandte Logik auf die Grundlagen der Mathematik an. Insbesondere deckte Zenon von Elea logische Probleme der Unendlichkeit und des Wandels auf. Die Griechen erforschten auch die seltsamen Merkmale irrationaler Zahlen. Platons Schüler Aristoteles erkannte durch die methodische Analyse logischer Formen den Unterschied zwischen Induktion (von Beobachtungen allgemeine Regeln ableiten) und Deduktion (aus etablierten Annahmen bzw. Axiomen durch logische Schritte folgern).

Darauf aufbauend erklärte Euklid das Prinzip mathematischer Beweise aus axiomatischen Wahrheiten in seinem Werk Elemente. Es bildete zwei Jahrtausende lang die Grundlage der Mathematik. Mit ähnlicher Sorgsamkeit verwendete Diophantos von Alexandria Buchstabensymbole für unbekannte Zahlen in Gleichungen: ein wichtiger Schritt zur symbolischen Notation in der Algebra.

Ein Neubeginn im Osten

Der griechische Einfluss wurde schließlich vom Aufstieg Roms überschattet. Für die Römer war die Mathematik eher ein praktisches Werkzeug als ein würdiges Studienthema. Etwa zur gleichen Zeit entstanden in Indien und China jeweils eigene Zahlensysteme. Insbesondere in China erblühte die Mathematik zwischen dem 2. und 5. Jahrhundert n. Chr. vor allem dank Liu Hui, der die klassischen Texte der chinesischen Mathematik überarbeitete und erweiterte.

ZIFFERN FINDEN IHRE STELLE

STELLENWERTSYSTEM

IM KONTEXT

SCHLÜSSELZIVILISATION

Babylonier

TEILGEBIET

Arithmetik

FRÜHER

vor 40 000 Jahren Menschen der Steinzeit in Europa und Afrika kerben Strichlisten auf Holz und Knochen.

3500–3200 v. Chr. Die Sumerer haben Rechensysteme zur Landvermessung und für astronomische Beobachtungen.

3200–3000 v. Chr. Die Babylonier verwenden kleine Tonkegel als Symbol für 1, große Kegel für 60 und Tonkugeln für 10 als Schritt zum Stellenwertsystem mit der Basis 60.

SPÄTER

2. Jh. n. Chr. Die Chinesen entwickeln den Abakus für ihr Zehnersystem.

7. Jh. In Indien führt Brahmagupta die Null als eigenständige Zahl, nicht nur als Platzhalter, ein.

»Es ist uns gegeben zu rechnen, zu wiegen, zu messen, zu beobachten; das ist Naturphilosophie.«

Voltaire
Französischer Philosoph

Die früheste Kultur, von der wir ein fortgeschrittenes Zahlensystem kennen, ist die sumerische Hochkultur in Mesopotamien, dem Zweistromland zwischen den Flüssen Tigris und Euphrat im heutigen Irak. Schon ab dem 4. Jahrtausend v. Chr. zeigen sumerische Tontafeln Symbole für verschiedene Mengenangaben. Die Sumerer, und später die Babylonier, brauchten effiziente mathematische Hilfsmittel für die Verwaltung ihrer komplexen Staaten.

Was die Babylonier von anderen Völkern – etwa den Ägyptern – unterschied, war das Stellenwertsystem. Bei diesen Zahlensystemen wird der Wert einer Ziffer sowohl vom Symbol als auch von seiner Stelle (der Position relativ zu anderen Ziffern) bestimmt. Im heutigen Zehnersystem bestimmt die Stelle eines Zahlzeichens, ob es ein Vielfaches von eins, zehn, hundert usw. darstellt. Berechnungen sind in Stellenwertsystemen effizienter, weil man mit einer kleinen Anzahl von Zeichen eine enorme Menge an Zahlen darstellen kann. Dagegen hatten die Ägypter verschiedene Zeichen für Einer, Zehner, Hunderter, Tausender usw. und kein Stellenwertsystem. Große Zahlen erforderten 50 oder mehr Hieroglyphen.

Verschiedene Basen

Das indisch-arabische System, das wir heute verwenden, ist ein Zehner- bzw. Dezimalsystem. Seine Basis ist zehn, d. h. man braucht nur zehn Zahlzeichen: die zehn Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Die Stelle einer Ziffer zeigt die Wertigkeit an, wobei die niedrigste Stelle rechts steht. Die Zahl 22 im Dezimalsystem bedeutet (2 · 10¹) + 2. Der Wert der linken 2 ist zehnmal so groß wie der Wert der rechten 2. Weitere Stellen links davon bedeuten Hunderter, Tausender und höhere Potenzen von zehn. Im gleichen System kann man auch Bruchteile darstellen: Ziffern rechts der ganzen Zahl nach einem Dezimaltrennzeichen (im Deutschen und in vielen anderen Sprachen ein Komma, im Englischen ein Punkt) haben jeweils ein Zehntel der Wertigkeit der vorangehenden Stelle.

Die Babylonier arbeiteten mit dem System zur Basis 60, dem Sexagesimalsystem (auch Hexagesimal- oder Sechzigersystem), das sie wohl von den Sumerern übernommen hatten. Es wird heute noch für Zeiten, Winkelgrade (360 ° = 6 · 60) und geografische Koordinaten eingesetzt. Warum sie 60 als Basis wählten, ist immer noch nicht gesichert. Ein Grund könnte sein, dass man 60 durch sehr viele Zahlen teilen kann: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30. Zudem basierte der Kalender auf dem Sonnenjahr (365,24 Tage) und ihr Jahr hatte 360 (= 6 · 60) Tage mit zusätzlichen Festtagen.

Im babylonischen Sexagesimalsystem wurde ein Symbol (bis zu neunmal wiederholt) für die Zahlen 1 bis 9 verwendet. Für 10 gab es ein anderes Symbol, das links neben dem Einersymbol stand und bis zu fünfmal wiederholt wurde, um Zahlen bis 59 zu bilden. Für 60 (also 1 · 60) wurde wieder das Einersymbol verwendet, aber weiter links platziert als zur Darstellung der Eins. Weil es ein Stellenwertsystem zur Basis 60 war, repräsentierten zwei Einersymbole nebeneinander 1 · 60 + 1, also 61, und drei Symbole 1 · 60² + 1 · 60 + 1, also 3661.

Das Sexagesimalsystem hatte offensichtliche Nachteile. Es benötigt mehr Zahlzeichen als ein Zehnersystem. Zudem gab es jahrhundertelang keine Platzhalter und kein Trennzeichen, das den ganzzahligen Anteil vom Bruchteil einer Zahl trennt. Um 300 v. Chr. aber markierten die Babylonier fehlende Ziffern durch zwei Keile, ähnlich wie wir heute die Null als Platzhalter verwenden. Dies war wohl die früheste Verwendung der Null.

Der babylonische Sonnengott Shamash belohnt auf dieser Tontafel von etwa 1000 v. Chr. neu ausgebildete Landvermesser mit einem Stab mit aufgewickeltem Seil als Messgerät.

Das babylonische Zahlensystem zur Basis 60 wiederholte zwei Symbole: das Einersymbol für die Zahlen 1 bis 9 und das Zehnersymbol für 10, 20, 30, 40 und 50.

Andere Zahlensysteme

Auf der anderen Seite der Erde, in Mittelamerika, entwickelten die Maya ein fortgeschrittenes Zahlensystem im 1. Jahrtausend v. Chr. – offenbar völlig eigenständig. Es war ein Vigesimalsystem (Zwanzigersystem), also ein System zur Basis 20, das wohl aus dem Zählen mit Fingern und Zehen entstand. Tatsächlich gab es Zwanzigersysteme auch in Europa, Afrika und Asien. So heißt 80 auf Französisch quatre-vingt (»vier-zwanzig«, 4 · 20). Walisisch und Irisch drücken ebenfalls einige Zahlen als Vielfache von 20 aus. Die Stiege und das englische Score sind Handelsmaße für 20 Stück. So gibt die englische King-James-Bibel (1611) in Psalm 90 die Lebenszeit von Menschen als threescore years and ten (3 · 20 + 10 = 70 Jahre) bis fourscore years (4 · 20 = 80 Jahre) an.

Ab etwa 500 v. Chr. bis zum 16. Jahrhundert, als man offiziell die indisch-arabischen Zahlen übernahm, verwendete man in China Stabzahlen. Es war das erste Zehnersystem: Durch Kombinationen senkrechter und waagrechter Stäbe konnte man Zehner, Hunderter, Tausender und höhere Potenzen von 10 darstellen, ähnlich wie in unserem heutigen Zahlensystem. So schrieb man 45 als vier horizontale Stäbe für 4 · 10¹ (= 40) und fünf vertikale Stäbe für 5 · 1 (= 5). Dagegen ergaben vier vertikale, gefolgt von fünf weiteren vertikalen Stäben 405, nämlich 4 · 10² + 5 · 1. Fehlten horizontale Stäbe, so hatte die Zahl keine Zehnerstellen. Zum Rechnen nutzte man Zählstäbe auf einem Rechenbrett, wobei man positive und negative Zahlen durch schwarze bzw. rote Stäbe oder verschiedene Stabquerschnitte (drei- bzw. viereckig) unterschied. Stabzahlen werden in China heute noch gelegentlich verwendet, so wie man im Westen manchmal römische Zahlen nutzt.

Das chinesische Stellenwertsystem spiegelt sich auch im Abakus (Suanpan) wider. Er datiert auf vor 200 v. Chr. und ist damit eine der ältesten Rechenhilfen. Auch in Rom gab es ein ähnliches Gerät. Das chinesische Suanpan, das heute noch verwendet wird, hat einen horizontalen Mittelbalken und eine variable Zahl vertikaler Drähte für die Einer, Zehner, Hunderter usw. Auf jedem Draht sitzen über dem Balken zwei Kugeln, die jeweils fünf bedeuten, und darunter fünf Kugeln mit jeweils dem Wert eins.

In Japan wurde das Suanpan im 14. Jahrhundert übernommen und zu einer neuen Form, dem Soroban, weiterentwickelt, mit einer Kugel mit Wert fünf über dem Balken und vier Kugeln mit Wert eins darunter. Er wird in Japan noch heute verwendet. Es gibt sogar Wettbewerbe, Soroban-Rechnungen im Geist auszuführen (genannt Anzan).

»Die babylonische und assyrische Zivilisation sind untergegangen … doch die babylonische Mathematik ist immer noch interessant, und die babylonische Skala von 60 wird in der Astronomie immer noch verwendet.«

G. H. Hardy
Britischer Mathematiker A Mathematician’s Apology, 1940

»Dass wir in Zehnern statt irgendeiner anderen Zahl arbeiten, ist alleine eine Folge unserer Anatomie. Wir verwenden unsere zehn Finger zum Zählen.«

Marcus du Sautoy
Britischer Mathematiker When numbers were dotty in: Telegraph, 29. Sept. 2011

Moderne Zahlensysteme

Das indisch-arabische Dezimalsystem, das heute auf der ganzen Welt verwendet wird, hat seinen Ursprung in Indien. Im 1. bis 4. Jahrhundert n. Chr. wurde dieses Stellenwertsystem mit neun Zahlsymbolen und der Null entwickelt. Man kann damit jede Zahl effizient schreiben. Das System wurde im 9. Jahrhundert von islamischen Mathematikern übernommen und verbessert. Sie führten ein Dezimaltrennzeichen (entsprechend unserem Dezimalkomma) ein, um Dezimalbrüche auszudrücken.

Drei Jahrhunderte später machte Leonardo von Pisa (Fibonacci) die indisch-arabischen Zahlen im Liber Abbaci (»Buch vom Rechnen«, 1202) in Europa bekannt. Doch die Debatte, ob diese Zahlen traditionelle römische Zahlen und Rechenmethoden ersetzen sollten, dauerte mehrere hundert Jahre an. Schließlich setzte sich das neue System durch und ermöglichte viele moderne Fortschritte.

Mit dem Aufkommen von Computern wurden andere Zahlenbasen wichtig, vor allem die Basis 2: das Binärsystem. Anders als das Dezimalsystem mit zehn Zahlzeichen hat das Binärsystem nur zwei: 0 und 1. Es ist ein Stellenwertsystem, bei dem jede Stelle mit 2 statt mit 10 multipliziert wird, ausgedrückt als 2⁰, 2¹, 2², 2³ usw. Die Binärzahl 111 bedeutet 1 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰, also im Dezimalsystem 4 + 2 + 1 = 7.

Ebisu, der japanische Gott der Fischer und einer der sieben Glücksgötter, berechnet seinen Profit mit einem Soroban in Der Traum des Roten Schnappers von Utagawa Toyohiro.

Das Binärsystem folgt den Prinzipien aller modernen Zahlensysteme jeder Basis. Das Stellenwertsystem – ein babylonisches Erbe – ist immer noch eine mächtige, verständliche und effiziente Art, große Zahlen darzustellen.

Keilschrift

Im späten 19. Jahrhundert entzifferte man die keilförmigen Zeichen auf babylonischen Tontafeln, die im und um den Irak gefunden wurden. Die Markierungen, die Buchstaben und Ziffern eines komplexen Zahlensystems darstellten, wurden mit beiden Enden eines Schreibgriffels in weichen Ton gedrückt. Wie später in Ägypten verwalteten Schreiber in Babylonien die Gesellschaft, daher stammen wohl viele der Tontafeln aus Schulen, in denen sie ausgebildet wurden.

Heute wissen wir eine Menge über die babylonische Mathematik, die sich über Multiplikation, Division, Geometrie, Bruchrechnung, Quadrat- und Kubikwurzeln, Gleichungen und mehr erstreckte, denn Tontafeln haben sich (anders als ägyptische Papyri) gut erhalten. Mehrere tausend, vor allem von 1800–1600 v. Chr., befinden sich heute in Museen der ganzen Welt.

Keilschrift, benannt nach dem keilförmigen Aussehen der Zeichenelemente, wurde auf feuchtem Ton geschrieben, in Stein gemeißelt oder Metall graviert.

Zahlensystem der Maya

Die Maya, deren Kultur in Mittelamerika um 2000 v. Chr. aufkam, verwendeten ab etwa 1000 v. Chr. ein Zwanzigersystem (Vigesimalsystem) für astronomische und kalendarische Berechnungen. Wie bei den Babyloniern hatte der Kalender 360 Tage plus Festtage, was im Mittel ein Sonnenjahr von 365,24 Tagen ergab. Er half insbesondere bei der Landwirtschaft.

Im Zahlensystem der Maya repräsentierte ein Punkt 1 und ein Strich 5. Kombinationen von Punkten über Strichen ergaben Zahlzeichen bis 19. Größere Zahlen ab 20 schrieb man mit mehreren Stellen vertikal untereinander, wobei die unterste Ziffer den geringsten Wert hatte. So rechneten sie wohl bis in die hundert Millionen. Eine Inschrift von 36 v. Chr. zeigt erstmals eine Muschel als Symbol für die Null, das ab dem 4. Jahrhundert weit verbreitet war.

Die Maya-Zahlschrift wurde in Mittelamerika bis zur spanischen Eroberung im 16. Jahrhundert verwendet, doch sie breitete sich nicht weiter aus.

Der Dresdner Kodex aus dem 13. Jh., die wohl älteste der vier authentischen Maya-Handschriften, zeigt Zahlensymbole und Glyphen.

DAS QUADRAT ALS HÖCHSTE POTENZ

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN

IM KONTEXT

SCHLÜSSELZIVILISATIONEN

Ägypter (um 2000 v. Chr.),

Babylonier (um 1600 v. Chr.)

TEILGEBIET

Algebra

FRÜHER

um 1800 v. Chr. Der Papyrus Berlin 6619 zeigt die Lösung einer quadratischen Gleichung aus dem alten Ägypten.

SPÄTER

7. Jh. n. Chr. Der Inder Brahmagupta findet positive ganzzahlige Lösungen für einige quadratische Gleichungen.

10. Jh. n. Chr. Der Ägypter Abu Kamil Schudscha ibn Aslam löst quadratische Gleichungen mit negativen und irrationalen Zahlen.

1545 Der italienische Arzt und Mathematiker Gerolamo Cardano beschreibt in Ars Magna algebraische Regeln.

Quadratische Gleichungen beinhalten eine unbekannte Zahl (meist x geschrieben), die als zweite Potenz (quadratisch: x²) vorkommt, aber nicht als höhere Potenz: x³, x⁴ usw. Ein Nutzen der Mathematik ist, mit Gleichungen Probleme der realen Welt zu lösen. Geht es um Flächen oder bestimmte Kurven wie Parabeln, sind quadratische Gleichungen nützlich und beschreiben physikalische Phänomene wie etwa die Flugbahn eines Balls.

Uralte Wurzeln

Die Geschichte der quadratischen Gleichungen erstreckt sich über die ganze Welt. Sie kamen vermutlich erstmals auf, um Fragen der Erbteilung von Land oder Probleme der Addition und Multiplikation zu lösen.

Eines der ältesten erhaltenen Beispiele einer quadratischen Gleichung findet sich in einem altägyptischen Text, dem Papyrus Berlin 6619 (um 1800 v. Chr.). Darin wird eine Aufgabe gestellt: Ein Quadrat der Fläche 100 Quadrat-Ellen hat die gleiche Fläche wie zwei kleinere Quadrate. Die Seitenlänge x des kleinsten Quadrats ist die Hälfte plus ein Viertel der Seitenlänge y des anderen kleinen Quadrats. In moderner Notation ergeben sich zwei Gleichungen die gleichzeitig erfüllt sein müssen: x² + y² = 100 und x = (½ + ¼) · y = ¾ y. Sie lassen sich zu einer quadratischen Gleichung (¾ y)² + y² = 100 vereinfachen.

Um die Lösung zu finden, verwendeten die Ägypter ein Verfahren, das heute Regula-falsi-Methode (»Regel des Falschen«) heißt. Dazu wählt man für die Unbekannte einen »Ansatz«, eine beliebige »falsche« Zahl (meist eine, mit der leicht zu rechnen ist), und berechnet damit den Wert der Gleichung. Dann variiert man den Ansatz, um den richtigen Wert zu erhalten. In der Aufgabe des Berliner Papyrus ist der einfachste Ansatz 4 für die Seitenlänge y des größeren der kleinen Quadrate, weil man Viertel berechnen muss. Dann wäre die Seitenlänge x des kleineren Quadrats 3 (nämlich ¾ des größeren). Die Flächen der Quadrate wären dann 16 und 9, was zusammen 25 ergibt. Das ist nur ¼ des gewünschten Ergebnisses von 100. Man muss also die »falschen« Flächen vervierfachen, d. h. man muss die »falschen« Seitenlängen (4 und 3) verdoppeln und erhält so die richtigen Seitenlängen x = 6 und y = 8.

Der Berliner Papyrus, 1900 von dem deutschen Ägyptologen Hans Graf von Schack-Schackenburg veröffentlicht, enthält zwei mathematische Probleme, darunter eine quadratische Gleichung.

Weitere Belege für quadratische Gleichungen finden sich in babylonischen Tontafeln: Die Diagonale eines Quadrats wurde bis auf fünf Nachkommastellen genau angegeben. Die Tafel Yale Babylonian Collection (YBC) 7289 (um 1800–1600 v. Chr.) zeigt eine Lösungsmethode für die quadratische Gleichung x² = 2, bei der man Rechtecke zeichnet und zu Quadraten verkleinert. Im 7. Jahrhundert n. Chr. beschrieb der indische Mathematiker Brahmagupta eine Lösung für quadratische Gleichungen der Form ax² + bx = c. Er verwendete noch keine Symbole, doch was er in Worten beschrieb, entsprach dieser Notation.

Für quadratische Gleichungen gibt es eine Lösungsformel (»Mitternachtsformel«, weil Schüler sie wissen sollten, wenn man sie um Mitternacht weckt). Um sie zu benutzen schreibt man quadratische Gleichungen als Zahl a, multipliziert mit x², plus einer Zahl b mal x plus einer Zahl c gleich Null auf. Die Lösungen sind grafisch leicht zu sehen: die Punkte, an denen die Kurve die x-Achse schneidet. Die Abbildung unten zeigt, wie man a, b und c in die Formel einsetzt, um die zwei Lösungen x₁ und x₂ zu berechnen.

INHALT

VORWORT

EINLEITUNG

Frühe Anwendungen

Arithmetik und Algebra

Geometrie und Analysis

Neue Grundlagen

Neue Technik, neue Ideen