Veröffentlicht im Rowohlt Verlag, Reinbek bei Hamburg, September 2015
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Die britische Originalausgabe erschien 2013 bei Profile Books, London, unter dem Titel «The Great Mathematical Problems» Copyright © Joat Enterprises, 2013
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Redaktion Heiner Höfener
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ISBN Printausgabe 978-3-499-61694-5 (1. Auflage 2015)
ISBN E-Book 978-3-644-03001-5
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Hinweis: Die Seitenverweise beziehen sich auf die Printausgabe.
ISBN 978-3-644-03001-5
Dieser Ausspruch stammt aus einen Vortrag, den Hilbert fürs Radio aufnahm. Siehe Constance Reid, Hilbert, Springer, Berlin 1970, S. 196.
Simon Singh, Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate, 1997; deutsch: Fermats letzter Satz. Hanser, München 1998.
Gauß, Brief an Heinrich Olbers, 21. März 1816.
Wiles’ Titel lautete: ‹Modular curves, elliptic forms, and Galois representations›.
Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Annals of Mathematics 141 (1995) 443–551.
Ian Stewart, Seventeen Equations that Changed the World, Profile 2012, Kapitel 11; deutsch: Welt-Formeln: 17 mathematische Gleichungen, die Geschichte machten, Rowohlt, Reinbek 2014.
ibid., Kapitel 9.
Hilberts Probleme und ihr gegenwärtiger Status, leicht abgewandelt aus Professor Stewart’s Hoard of Mathematical Treasures, Profile 2009 (deutsch: Professor Stewarts mathematische Schätze, Rowohlt, Reinbek 2012), sind folgende:
Die Kontinuumhypothese: Gibt es in Cantors Theorie der unendlichen Kardinalzahlen eine Zahl, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der der reellen Zahlen liegt? Gelöst 1963 von Paul Cohen – die Antwort kann «ja» oder «nein» lauten, je nachdem, welche Axiome man für die Mengenlehre benutzt.
Logische Abgeschlossenheit der Arithmetik: Man beweise, dass die Standardaxiome der Arithmetik niemals zu einem Widerspruch führen können. Gelöst 1931 von Kurt Gödel, der zeigte, dass sich dies mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre nicht nachweisen lässt.
Volumengleichheit bei Tetraedern: Kann man bei zwei beliebigen Tetraedern desselben Volumens stets einen von beiden in endlich viele polyedrische Teile zerlegen und sie so zusammensetzen, dass sie den anderen bilden? Gelöst 1901 von Max Dehn – es ist nicht möglich.
Die Gerade als kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten: Man formuliere geometrische Axiome im Sinne der obigen Definition einer Gerade und untersuche die Folgen. Das Problem ist zu breit gefächert, als dass es eine definitive Lösung geben könnte, aber es sind bereits viele Fortschritte gemacht worden.
Lie-Gruppen ohne Annahme der Differenzierbarkeit: Es geht um ein technisches Problem aus der Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen. In einer Interpretation von Andrew Gleason in den 1950er Jahren gelöst. In einer anderen von Hidehiko Yamabe.
Axiome für die Physik: Man entwickle ein strenges System von Axiomen für mathematische Bereiche der Physik, wie Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mechanik. Andrei Kolmogorow axiomatisierte die Wahrscheinlichkeitsrechnung 1933.
Irrationale und transzendente Zahlen: Man beweise, unter welchen Bedingungen gewisse Zahlen (Potenzen mit irrationalem Exponenten) irrational oder transzendent sind. Unabhängig 1934 gelöst von Aleksandr Gelfond und Theodor Schneider.
Die Riemann’sche Hypothese: Man beweise, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemann’schen Zetafunktion auf der kritischen Linie liegen. Siehe Kapitel 9.
Reziprozitätsgesetze in Zahlenkörpern: Man verallgemeinere das klassische Gesetz der quadratischen Reziprozität über quadratische Reste auf höhere Potenzen. Teilweise gelöst.
Entscheiden, wann eine diophantische Gleichung Lösungen hat: Man finde einen Algorithmus, der entscheiden kann, ob für eine polynomiale Gleichung in vielen Variablen ganzzahlige Lösungen existieren. 1970 bewies Juri Matijassewitsch, dass es einen solchen Algorithmus nicht gibt.
Quadratische Formen mit algebraischen Zahlen als Koeffizienten: Technische Fragen, in denen es vor allem um das Verstehen der Lösung von quadratischen diophantischen Gleichungen mit vielen Variablen geht. Teilweise gelöst.
Kroneckers Satz über Abel’sche Felder: Technische Fragen, bei denen es um eine Verallgemeinerung des Satzes von Kronecker über komplexe Einheitswurzeln geht. Noch ungelöst.
Lösung von Gleichungen 7. Grades mit Hilfe von speziellen Funktionen: Man beweise, dass sich die allgemeine Gleichung 7. Grades nicht mit Hilfe von Funktionen in zwei Variablen lösen lässt. Eine Variante wurde von Andrei Kolmogorow und Wladimir Arnold widerlegt.
Endlichkeit vollständiger Funktionensysteme: Man erweitere einen Satz von Hilbert über algebraische Invarianten für spezifische Transformationsgruppen auf sämtliche Transformationsgruppen. Negativbeweis vorgelegt von Masayoshi Nagata im Jahr 1959.
Schuberts Abzählkalkül: Hermann Schubert fand eine nicht-exakte Methode zur Zählung verschiedener geometrischer Konfigurationen. Man finde eine mathematisch exakte Formulierung dieser Methode. Noch keine komplette Lösung.
Topologie von Kurven und Oberflächen: Wie viele zusammenhängende Komponenten kann eine algebraische Kurve gegebenen Grades in der Ebene haben? Wie viele verschiedene Grenzzyklen kann eine algebraische Differenzialgleichung gegebenen Grades in der Ebene haben? Begrenzte Fortschritte.
Endliche Formen durch Quadrate ausdrücken: Wenn eine rationale Funktion überall nicht-negative Werte annimmt, kann sie dann stets als Summe von Quadraten dargestellt werden? Gelöst von Emil Artin, D.W. Dubois und Albrecht Pfister. Es stimmt für reelle Zahlen, gilt aber nicht für einige allgemeinere Zahlensysteme.
Den Raum mit Polyedern kacheln: Allgemeine Fragen über das Ausfüllen von Raum mit kongruenten Polyedern. Erwähnt auch die Kepler’sche Vermutung, die inzwischen bewiesen ist, siehe Kapitel 5.
Analytizität von Lösungen in der Variationsrechnung: Die Variationsrechnung beantwortet Fragen wie «Finde die kürzeste Kurve mit den folgenden Eigenschaften …». Wenn ein Problem auf diesem Gebiet durch «anständige» (analytische) Funktionen definiert ist, muss die Lösung dann ebenfalls analytisch sein? Bewiesen 1957 von Ennio de Giorgi und von John Nash.
Randwertprobleme: Ziel ist es, die Lösungen von Differenzialgleichungen in der Physik in einer Raumregion zu verstehen, wenn Eigenschaften der Lösung auf dem Rand dieser Region vorgegeben sind. Im Wesentlichen von zahlreichen Mathematikern gelöst.
Existenz von Differenzialgleichungen mit gegebener Monodromie: Ein spezieller Typ komplexer Differenzialgleichungen lässt sich durch ihre Singularitäten und Monodromiegruppen verstehen. Man beweise, dass jede beliebige Kombination dieser Angaben auftreten kann. Je nach Interpretation mit «Ja» oder «Nein» beantwortet.
Uniformisierung mit Hilfe automorpher Funktionen: Es geht um die technische Frage, ob sich Gleichungen vereinfachen lassen. Gelöst von Paul Koebe kurz nach 1900.
Weiterentwicklung der Variationsrechnung: Hilbert rief die Mathematiker zu frischen Ideen bezüglich der Variationsrechnung auf. Seitdem ist viel Arbeit geleistet worden, doch die Fragestellung ist zu vage, um sie als gelöst zu betrachten.
Nachgedruckt als: Jacques Hadamard, The Psychology of Invention in the Mathematical Field, Dover, 1954.
Der Agrawal-Kayal-Saxena-Algorithmus funktioniert folgendermaßen:
Eingabe: natürliche Zahl n.
Falls n die Potenz einer kleinen Zahl ist, gib aus: ZUSAMMENGESETZT und stop.
Suche die kleinste Zahl r, sodass die kleinste Potenz von r, die gleich 1 modulo n ist, wenigstens (log(n))2 ist.
Falls eine Zahl, die kleiner oder gleich r ist, mit n einen gemeinsamen Faktor hat, gib aus: ZUSAMMENGESETZT und stop.
Ist n kleiner oder gleich r, gib aus: PRIM und stop.
Prüfe für alle ganzen Zahlen a zwischen 1 und einer vorgegebenen Grenze, ob das Polynom (x + a)n mit xn + a modulo n und modulo xr – 1 übereinstimmt. Bei Gleichheit gib aus: ZUSAMMENGESETZT und stop.
Gib aus: PRIM.
Als Beispiel für das, was ich meine, nehme man die Zahl [], wobei die eckigen Klammern die größte ganze Zahl kleiner oder gleich der Zahl, die in Klammern steht, meinen. Im Jahr 1947 bewies W.H. Mills, dass es eine reelle Konstante A gibt, sodass dieser Ausdruck für jedes n prim ist. Nimmt man die Richtigkeit der Riemann’schen Vermutung an, dann muss die kleinste mögliche Konstante A ungefähr 1306 sein. Allerdings wird diese Konstante durch eine geeignete Folge von Primzahlen definiert, und die Formel ist nur eine andere Art und Weise, diese Folge zu erzeugen. Noch mehr solche Formeln, inklusive solcher, die alle Primzahlen enthalten, findet man hier:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
Wenn n ungerade ist, ist n – 3 gerade, und falls n größer als 5 ist, dann muss n – 3 größer als 2 sein. Laut der ersten Annahme ist n – 3 = p + q, also n = p + q + 3.
Ich bevorzuge diese Bezeichnung gegenüber der etwas veralteten «arithmetische Progression». Man muss mit der Zeit gehen.
http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html
Mein Lieblings-Hasswort in diesem Zusammenhang ist «Quantensprung». In der Alltagssprache meint man damit einen gigantischen Fortschritt oder eine riesige Veränderung, so wie die Entdeckung Amerikas. In der Quantenmechanik dagegen ist ein Quantensprung so winzig, dass kein bekanntes Instrument ihn direkt messen kann, eine Veränderung der Art 0,000…01 mit ungefähr 40 Nullen.
Die Zerlegung eines Kreises in Einzelteile, die sich zu einem Quadrat gleicher Fläche zusammenfügen lassen, nennt man Tarskis Kreis-Quadratur-Problem. Miklós Laczkovich hat es 1990 gelöst. Seine Methode ist nicht-konstruktiv und macht vom Auswahlaxiom Gebrauch. Die Zahl der nötigen Einzelteile ist riesig, sie beträgt ungefähr 1050.
Die bizarren Behauptungen der Kreis-Quadrierer und Winkel-Dreiteiler findet man ausführlich erkundet zum Beispiel in: Underwood Dudley, Mathematik zwischen Wahn und Witz, Birkhäuser 1995. Das Phänomen ist bekannt, siehe: Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes, Longmans, 1872; Nachdruck 1915 durch Books For Libraries Press.
Die Quadratrix des Hippias ist eine Kurve, die von einer Senkrechten, die stetig durch ein Rechteck gezogen wird, und einer Geraden, die gleichmäßig um den Mittelpunkt des Rechteckbodens rotiert, gezogen wird, siehe Abbildung 52. Dieses Verfahren verwandelt Winkelteilungsprobleme in entsprechende Streckenteilungsprobleme. Zum Beispiel entspricht die Dreiteilung des Winkels der Dreiteilung der entsprechenden Kurve. Siehe dazu http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/quadratrix.html
Abbildung 52: Die Quadratrix des Hippias (untere Kurve).
Hier ein ausführliches Beispiel. Wenn eine Gerade einen Kreis nicht tangential schneidet, durchtrennt sie ihn in genau zwei Punkten, siehe Abbildung 53.
Eine Parallele zur horizontalen x-Achse im Abstand ½ hat die einfache Gleichung y = ½. Mit y = ½ wird aus x2 + y2 = 1 (die Kreisgleichung): x2 + ¼ = 1. Folglich ist x2 = ¾ und damit x = oder –. Die algebraische Rechnung verrät uns also, dass der Einheitskreis unsere Gerade in genau zwei Punkten mit den Koordinaten (–, ½) und (, ½) schneidet. Das stimmt mit Abbildung 53 und einer rein geometrischen Argumentation überein.
Abbildung 53: Eine horizontale Gerade schneidet den Kreis in zwei Punkten.
Streng genommen muss das besagte Polynom ganzzahlige Koeffizienten haben und irreduzibel sein, also nicht das Produkt zweier Polynome mit geringerem Grad und ganzzahligen Koeffizienten. Nicht jeder Grad, der eine Potenz von 2 ist, garantiert die Existenz einer Konstruktion mit Lineal und Zirkel, aber notwendig ist er immer. Falls der Grad keine Potenz von 2 ist, kann es auch keine solche Konstruktion geben. Im anderen Fall bedarf es weitergehender Untersuchungen, ob eine Konstruktion existiert.
Das Umgekehrte ist wahr: Wenn Konstruktionen für reguläre 3- und 5-Ecke existieren, lässt sich daraus eine für ein reguläres 15-Eck ableiten. Die zugrundeliegende Idee ist die Gleichung 2/5 – 1/3 = 1/15. Besondere Aufmerksamkeit verlangen Primzahlpotenzen. Das Verfahren liefert keine Konstruktion für zum Beispiel ein gleichseitiges 9-Eck, wenn man eine für seine Primfaktoren hat, also ein gleichseitiges 3-Eck. Gauß wies nach, dass es für ungerade Primpotenzen größer als die erste keine Konstruktion gibt.
Siehe Ian Stewart, Welt-Formeln: 17 mathematische Gleichungen, die Geschichte machten, Rowohlt, 2014, Kapitel 5.
Um dieser Feststellung Sinn zu verleihen, zerlege man die quadratische Form in Linearfaktoren. Dann ist x2 – 1 = (x –1)(x + 1). Das ist null, wenn einer der Faktoren null ist, also für x = 1 und x = –1. Dasselbe Argument lässt sich auf x2 = xx anwenden. Das ist null, wenn der erste oder der zweite Faktor null sind. Beide Lösungen haben zufällig dasselbe x, aber das Auftreten von zwei Faktoren x unterscheidet diese Situation von zum Beispiel x(x – 1), wo es nur einen Faktor x gibt. Beim Abzählen der Lösungen einer algebraischen Gleichung erhält man unter Berücksichtigung dieser «Multiplizitäten» (auch: Vielfachheiten) im Allgemeinen viel klarere Antworten.
Bei n = 9 lautet der zweite Faktor
x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
Allerdings enthält er selbst wieder Faktoren und lässt sich schreiben als
(x2 + x + 1) (x6 + x3 + 1)
Gauß’ Charakterisierung der Konstruierbarkeit verlangt, dass jeder irreduzible Faktor einen Grad hat, der eine Zweierpotenz ist. Der zweite Faktor hat jedoch Grad 6 und ist damit keine Zweierpotenz.
Gauß bewies, dass man ein 17-Eck konstruieren kann, falls man eine Strecke der Länge
konstruieren kann (der Cosinus eines 360/17 Grad-Winkels entspricht). Da es immer möglich ist, Quadratwurzeln zu konstruieren, ist das Problem damit praktisch gelöst. Eine Rechnung, die zu obiger bzw. einer gleichwertigen Formel führt, findet man hier: http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/Geometrie06/Material/Konstr17eck.pdf.
Andere Mathematiker fanden explizite Konstruktionsanweisungen. Ulrich von Huguenin veröffentlichte 1803 die erste, und H.W. Richmond fand 1893 eine noch einfachere. In Abbildung 54 betrachte man die beiden senkrechten Kreisdurchmesser AOP0 und BOC. Man wähle einen Punkt J so, dass die Strecke OJ ¼ der Strecke OB ist, und einen Punkt E so, dass der Winkel OJE ¼ des Winkels OJP0 beträgt. Man lege F so fest, dass der Winkel EJF 45 Grad beträgt. Der Kreis mit Durchmesser FP0 um den Punkt H schneidet OB in K. Ein weiterer Kreis um E, der OB in K schneidet, trifft AP0 in G und H. In H und G errichte man jeweils die Senkrechte zu AP0; diese schneiden den Kreis in P3, P5 bzw. P12 und P14. Nun sind P0, P3 und P5 die 0te, 3te und 5te Ecke eines regelmäßigen 17-Ecks. Die übrigen Eckpunkte bekommt man nun leicht auf ähnliche Weise.
Abbildung 54: Wie man ein regelmäßiges Siebzehneck konstruiert.
Die jüngsten Ergebnisse findet man bei Wilfrid Keller, Prime factors of Fermat numbers and complete factoring status (Primfaktoren von Fermatzahlen und vollständige Faktorisierung): http://www.prothsearch.net/fermat.html
Im Jahr 1832 veröffentlichte F.J. Richelot eine Konstruktionsanweisung für ein regelmäßiges 257-Eck. Der Konstruktion des 65537-Ecks widmete J. Hermes, Mathematiklehrer an einem Gymnasium in Lingen, zehn Jahre. Seine nicht veröffentlichte Arbeit, die man für fehlerhaft hält, wird an der Universität Göttingen aufbewahrt.
Ein typischer Kettenbruch sieht so aus:
Dieser Kettenbruch ist der Anfang desjenigen, der π darstellt.
http://bellard.org/pi-challenge/announce220997.html
Louis H. Kauffman, Map coloring and the vector cross product, Journal of Combinatorial Theory B 48 (1990) 145–154.
Louis H. Kauffman, Reformulating the map color theorem, Discrete Mathematics 302 (2005) 145–172.
Wenn die Grenzen sehr kompliziert sein dürfen, sodass sie nicht so sehr wie auf einer Karte, sondern weitaus stärker geschlängelt sind, dann können so viele Länder, wie man wünscht, eine gemeinsame «Grenze» teilen. Eine Konstruktion, die als «Seen von Wada» bezeichnet wird, beweist dieses der Intuition widersprechende Ergebnis. Siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Seen_des_Wada
Die technische Bezeichnung lautet «dualer Graph», denn traditionellerweise wurde anstelle von Netz der Begriff «Graph» verwendet. Doch «Netz» wird allmählich häufiger, es ist anschaulicher und vermeidet Verwechslungen mit anderen Verwendungen des Begriffs «Graph».
Bis vor kurzem dachte man, der Artikel in Nature sei die letzte gedruckte Bezugnahme auf das Problem für fast ein ganzes Jahrhundert, doch der Mathematikhistoriker Robin Wilson spürte diesen späteren Artikel von Cayley auf.
F sei im dualen Netz die Zahl der Flächen (einschließlich einer einzigen riesigen Fläche, die das ganze Netz umgibt), E die Zahl der Kanten und V die Zahl der Ecken. Wir können annehmen, dass jede Fläche im dualen Netz wenigstens drei Ecken hat – wenn eine Fläche mit nur zwei Kanten auftritt, dann entspricht sie einer «überflüssigen» Ecke des ursprünglichen Netzes, die nur auf zwei Kanten trifft. Diese Ecke kann entfernt werden, und die beiden Kanten können vereint werden.
Jede Kante grenzt an zwei Flächen, und jede Fläche hat mindestens drei Kanten, daher gilt E ≥ 3F/2 oder äquivalent 2E/3 ≥ F. Aufgrund der Euler-Gleichung ist F + V – E = 2, sodass 2E/3 + V – E ≥ 2 ist, was implizit besagt, dass
12 + 2 E ≤ 6V
ist. Angenommen, Vm ist die Zahl der Ecken mit m Nachbarn. Dann sind V2, V3, V4 und V5 gleich null. Daher gilt:
V = V6 + V7 + V8 + …
Da jede Kante zwei Ecken hat, gilt:
2E = 6V6 + 7V7 + 8V8 + …
Einsetzen in die Ungleichung führt zu
12 + 6V6 + 7V7 + 8V8 + … ≤ 6V6 + 6V7 + 6V8 …,
sodass
12 + V7 + 2V8 + … ≤ 0
ist, was unmöglich ist.
«Kette» ist irreführend, weil dieser Begriff eine lineare Abfolge nahelegt. Eine Kempe-Kette kann Schleifen enthalten und sich verzweigen.
Der Beweis findet sich in voller Länge in Gerhard Ringel, Map Color Theorem, Springer, 1974. Er ist in 12 Fälle unterteilt, je nachdem, ob das Geschlecht die Form 12k, 12k + 1, … 12k + 11 aufweist. Nennen wir diese Fälle 0–11. Mit endlich vielen Ausnahmen wurden diese Fälle wie folgt gelöst:
Fall 5: Ringel, 1954.
Fälle 3, 7 und 10: Ringel 1961.
Fälle 0 und 4: C.M. Terry, Lloyd Welch und Youngs 1963.
Fall 1: W. Gustin und Youngs 1964.
Fall 9: Gustin 1965.
Fall 6: Youngs 1966.
Fälle 2, 8 und 11: Ringel und Youngs 1967.
Die Ausnahmen waren Geschlecht 18, 20, 23 (gelöst von Yves Mayer 1967) und 30, 35, 47, 659 (gelöst von Ringel und Youngs 1968). Sie beschäftigten sich auch mit dem analogen Problem für einseitige Oberflächen (wie dem Möbiusband).
Die bemerkenswerte Geschichte, wie der Fehler entdeckt wurde und was anschließend geschah, findet sich unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Pentium_FDIV_bug.
Eine ausgezeichnete Seite über die Physik von Schneeflocken ist http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/
C.A. Rogers, The packing of equal spheres, Proceedings of the London Mathematical Society 8 (1958) 609–620.
Da der Raum unendlich ist, gibt es unendlich viele Kugeln, deshalb haben sowohl der Raum als auch die Kugeln ein unendliches Gesamtvolumen. Wir können die Dichte nicht als ∞/∞ definieren, weil dieser Ausdruck keinen definierten numerischen Wert hat. Stattdessen betrachten wir größere und immer größere Raumgebiete und nehmen den Grenzwert der für diese Gebiete berechneten Dichte.
http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq/csq49.html
C. Song, P. Wang und H.A. Makse, A phase diagram for jammed matter, Nature 453 (29. Mai 2008) 629–632.
Hai-Chau Chang und Lih-Chung Wang, A simple proof of Thue’s theorem on circle packing, arXiv:1009.4322v1 (2010).
J.H. Lindsey, Sphere packing in R3, Mathematika 33 (1986) 137–147.
D.J. Muder, Putting the best face on a Voronoi polyhedron. Proceedings of the London Mathematical Society 56 (1988) 329–348.
Hales benutzte mehrere verschiedene Begriffe für das, was ich als «Käfig» bezeichne. Der endgültige Begriff ist «decomposition star». Meine Beschreibung verzichtet auf einige wichtige Unterscheidungen, um die Grundidee verständlich zu machen.
Nehmen wir an, die Region ist ein Polygon, wie in Abbildung 55. Für jeden Punkt, der nicht auf dem Polygon liegt, existiert eine Gerade, die, von diesem Punkt ausgehend, einen großen Kreis verlässt, der das Polygon enthält, und die nicht durch irgendeine Ecke des Vielecks führt. (Es gibt endlich viele Ecken, aber unendlich viele Geraden zur Auswahl.) Diese Gerade schneidet das Polygon eine endliche Zahl von Malen, und diese Zahl ist entweder ungerade oder gerade. Man definiere das Innere (des Vielecks) durch alle Punkte, für die diese Zahl ungerade ist, und das Äußere durch alle Punkte, für die diese Zahl gerade ist. Dann lässt sich leicht zeigen, dass jedes dieser Gebiete (Inneres und Äußeres) zusammenhängend ist und das Polygon sie trennt.
Abbildung 55 Beweis des Jordan’schen Kurvensatzes für ein Polygon. Bei Punkten in der schattierten Region (innen) tritt eine ungerade Zahl von Schnittstellen auf, für Punkte in der weißen Region (außen) hingegen eine gerade Zahl von Schnittstellen.
http://code.google.com/p/flyspeck/
Andrew Granville und Thomas Tucker, It’s as easy as abc, Notices of the American Mathematical Society 49 (2002) 1224–1231.
Um diese kryptische Bemerkung deutlich zu machen, hier die Formel
(Genau genommen dürften die Variablen nicht auf beiden Seiten x heißen, aber ich wollte die Sache nicht unnötig komplizieren.) Dabei bezeichnet arcsin (manchmal auch sin–1) die Umkehrfunktion des Sinus, das heißt, wenn y = sin(x) ist, dann ist x = arcsin(y).
Wenn zum Beispiel k eine komplexe Zahl ist, stellt das Integral
die Umkehrfunktion einer elliptischen Funktion dar, die man sn abkürzt. Für jeden Wert von k gibt es genau eine solche Funktion. Das Verfahren ist so ähnlich wie in Anmerkung 49, nur komplizierter.
Siehe Ian Stewart, Welt-Formeln: 17 mathematische Gleichungen, die Geschichte machten, Rowohlt, 2014, Kapitel 8.
Der Beweis ist in vielen zahlentheoretischen Lehrbüchern zu finden, zum Beispiel in Gareth A. Jones und J. Mary Jones, Elementary Number Theory, Springer, 1998, Seite 227. Im Web siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_descent«Nonsolvability_of_r2_.2B_s4_.3D_t4
Eine pte Einheitswurzel ist die komplexe Zahl
ζ = cos 2π/p + i sin 2π/p
und die anderen sind ihre Potenzen ζ2, ζ3, … ζp–1. Um zu verstehen, warum das so ist, erinnern Sie sich daran, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus anhand eines rechtwinkligen Dreiecks definiert sind (Abbildung 56, links). Für den Winkel A definieren wir unter Benutzung der traditionellen Bezeichnung a, b, c für die drei Seiten den Sinus (sin) und den Cosinus (cos) von A als
sin A = a/c cos A = b/c
Abbildung 56 Links: Definition von Sinus und Cosinus. Rechts: Deutung in der komplexen Ebene.
Wenn wir c = 1 setzen und das Dreieck in der komplexen Ebene platzieren, wie in Abbildung 56 (rechts), ist der Scheitel, an dem sich c und a treffen, der Punkt
cos A + i sin A
Nun lässt sich direkt zeigen, dass für jeden Winkel A und B gilt
(cos A + i sin A)(cos B + i sin B) = cos(A + B) + i sin(A + B)
und das führt direkt zur Formel von de Moivre
(cos A + i sin A)n = (cos nA + i sin nA)
für alle positiven ganzzahligen n. Daher gilt:
ζp = (cos 2π/p + i sin 2π/p)p = cos 2π + i sin 2π = 1
Daher ist jede Potenz 1, ζ, ζ2, ζ3, … ζp–1 eine pte Einheitswurzel. Wir stoppen hier, weil ζp = 1 ist, daher treten keine neuen Zahlen auf, wenn wir höhere Potenzen nehmen.
Führt man die Norm ein
N(a + b√15) = a2 – 15b2,
und das hat die angenehme Eigenschaft
N(xy) = N(x)N(y),
dann gilt:
N(2) = 4; N(5) = 25; N(5 + √15) = 10; N(5 – √15) = 10
Jeder echte Teiler einer dieser vier Zahlen muss entweder Norm 2 oder 5 haben (die echten Teiler ihrer Normen). Die Gleichungen a2 – 15b2 = 2 und a2 – 15b2 = 5 haben jedoch keine ganzzahlige Lösung. Daher existiert kein echter Teiler.
Simon Singh, Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate, 1997 (deutsch: Fermats letzter Satz, Hanser, 1998).
Oder vielleicht auch nicht. Wladimir Kriwtschenkow hat darauf hingewiesen, dass sich die Energie des Grundzustands und der ersten angeregten Zustände des quantenmechanischen Drei-Körper-Problems von Hand berechnen lässt. In der klassischen Mechanik ist das analoge Problem wegen des Chaos jedoch weniger gut handhabbar.
Zitiert in Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Penguin Books, 1990, Seite 338.
Eine Animation und weitere Informationen finden sich unter: http://www.scholarpedia.org/article/N-body_choreographies
Nach dem Earl of Orrery benannt, dem eine solche Maschine 1704 präsentiert wurde.
Formal genauer spricht man von der Ljapunow-Zeit.
Bei einer Variante des Integrals wird 1/log(t) statt von 0 bis x von 2 bis x integriert. Das umgeht die technische Schwierigkeit bei t = 0, wo der Logarithmus nicht definiert ist. Manchmal wird die Bezeichnung Li(x) auch für diese Variante verwendet, und die im Buchtext verwendete heißt dann li(x).
Der Name «Pafnuty» ist ungewöhnlich. Dies veranlasste Philip Davis dazu, ein kniffliges, aber packendes Buch zu schreiben: The Thread: a Mathematical Yarn, Harvester Press 1983.
Das folgt aus Riemanns merkwürdiger Formel
in der Γ(s) eine bekannte Funktion namens Gammafunktion ist, die für alle komplexen s definiert ist. Die rechte Seite ist für Realteil von s größer als 1 wohldefiniert.
Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, November 1859.
Riemann definierte eine eng verwandte Funktion
die Primzahlpotenzen statt Primzahlen zählt. Daraus kann man π(x) wieder ableiten. Damit bewies er eine exakte Gleichung, die diese abgewandelte Funktion durch logarithmische Integrale und ein verwandtes Integral ausdrückt:
Dabei steht Σ für eine Summe über alle Nullstellen ρ von ζ(ρ) außer den negativen ganzen Zahlen.
Zum Beispiel strebt x + √x asymptotisch gegen x: Das Verhältnis ist
(x + √x)/x = 1 + 1/√x
Mit x wächst auch √x, sodass 1/√x gegen 0 strebt und das Verhältnis gegen 1. Die Differenz ist dagegen gleich x und wird mit wachsendem x immer größer. Wenn x zum Beispiel eine Billion ist, ist √x eine Million.
Die Eulersche Konstante ist der Grenzwert von
wenn n gegen unendlich strebt.
Douglas A. Stoll und Patrick Demichel, The impact of ζ(s) complex zeros on π(x) for x < , Mathematics of Computation 276 (2011) 2381–2394.
http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/RHproofs.htm
J. Brian Conrey und Xian-Jin Li, A note on some positivity conditions related to zeta- and L-functions: http://arxiv.org/abs/math.NT/9812166
Die Einheits-3-Sphäre enthält alle Punkte mit Koordinaten (x, y, z, w), die x2 + y2 + z2 + w2 = 1 erfüllen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die 3-Sphäre anschaulicher zu machen. Sie können alle in Analogie zur 2-Sphäre verstanden und in Koordinatenschreibweise überprüft werden. Eine dieser Umschreibungen («Vollkugel mit Oberfläche als Punkt») steht im Text, und Abbildung 57 zeigt eine weitere. Um die Analogie vorzubereiten, beachte man, dass sich bei einem Schnitt längs des Äquators zwei Halbkugeln ergeben. Jede lässt sich per stetiger Verformung zu einer Kreisscheibe machen. Um die 2-Sphäre zu rekonstruieren, müssen wir nur entsprechende Punkte auf den Rändern dieser Kreisscheiben identifizieren. In gewissem Sinne haben wir ein Abbild der 2-Sphäre in Form zweier flacher Scheiben geschaffen, ganz so wie Kartographen flache Projektionen unseres runden Planeten erzeugen. Eine 3-Sphäre können wir nun mit einem analogen Verfahren erzeugen: Man nehme zwei Vollkugeln und identifiziere entsprechende Punkte ihrer Oberflächen. Nun haben beide dieselbe Oberfläche (weil wir die beiden Oberflächen ja identifiziert haben), und das ist eine 2-Sphäre. Sie bildet den «Äquator» der 3-Sphäre.
In der üblichen Konvention spricht man von Addition und benutzt die Notation a + b, falls das Kommutativgesetz gilt; man spricht dagegen von Multiplikation und nutzt die Notation ab, falls es vielleicht nicht gilt. Ich habe mich über diese Konvention hier hinweggesetzt, weil dies kein Lehrbuch über Gruppentheorie ist und mir «Addition» natürlicher erscheint.
Abbildung 57: Wie man eine 3-Sphäre erstellt. Links: Zerschneiden einer 2-Sphäre in Halbkugeln. Mitte: Wiederherstellung der 2-Sphäre aus den zwei Hälften durch Verkleben der Ränder. Rechts: In Analogie verklebe man die Oberflächen der beiden Kugeln (konzeptuell) so, dass entsprechende Punkte als gleich angesehen werden. Das ergibt die 3-Sphäre.
Man beginne bei null zu zählen. Jedes Mal, wenn man an der Haltestelle im Gegenuhrzeigersinn vorbeikommt, zähle man 1 hinzu; jedes Mal, wenn man im Uhrzeigersinn vorbeikommt, ziehe man 1 ab. Am Ende der Reise addiert man 1, falls man im Gegenuhrzeigersinn ankommt, sonst –1. Das Endergebnis ist die Anzahl der Kreisumrundungen im Gegenuhrzeigersinn.
Die Stirlingformel besagt, dass man n! durch √2πn(n/e)n approximieren kann.
William J. Cook, In Pursuit of the Travelling Salesman, Princeton University Press, Princeton 2012. Aktuelle Information unter http://www.tsp.gatech.edu/index.html
Richard M. Karp, Reducibility Among Combinatorial Problems, in: R.E. Miller und J.W. Thatcher (Hg.), Complexity of Computer Computations, Plenum Press 1972, S. 85–103.
Z. Xia, The existence of noncollision singularities in Newtonian systems, Annals of Mathematics 135 (1992) 411–468.
http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/navierstokes.pdf
Siehe Ian Stewart, Seventeen Equations that Changed the World, Profile, 2012, Kapitel 14 (deutsch: Welt-Formeln: 17 mathematische Gleichungen, die Geschichte machten, Rowohlt, 2014).
Leonardo Pisano Fibonacci, Liber Quadratorum, (Buch der Quadratzahlen), 1225. The Book of Squares, kommentiert und übersetzt von L.E. Sigler, Academic Press, 1987.
Leonardo fand eine Familie von Lösungen
Anstelle von d steht hier der Ausdruck 4mn(m2 – n2), und x ist durch (m2 + n2)2 ersetzt. Für m = 5, n = 4 erhält man 4mn(m2 – n2) = 720. Außerdem ist 720 = 5 × 122. Teilt man dann x durch 122, ergibt sich die Lösung.
Wenn x – n, x und x + n Quadratzahlen sind, dann ist es auch ihr Produkt, x3 – n2x. Deswegen hat die Gleichung y2 = x3 – n2x eine rationale Lösung. Außerdem kann y nicht null sein, weil sonst x = n wäre, und sowohl x als auch 2x müssten Quadratzahlen sein, was nicht geht, weil √2 irrational ist.
Erfüllen umgekehrt x und yyax – 2ybnxycx + 2ya + 2c und es gilt /2 = .