Das Ei des Kolumbus
und weitere hinterhältige Knobeleien
Mit Illustrationen von Mathias Schwoerer
Vorwort
Denksportaufgaben
Das Ei des Kolumbus
Ist Loyd schlagbar?
Die geheime Botschaft
Die Geheimnisse der Bruchrechnung
Die Klatschbase
Das Flaschenpfand
Die Linie im Dreieck
Auf den Hund gekommen
Der Würfelkalender
Die Mathematik der Wäscheleine
Das Streichholzquadrat
Die Berechnungen von Professor Moriarty
Eine unmögliche Verbindung
Das Gewicht des Taxifahrers
Streichholzdreiecke
Die Geometrie des Viertelkreises
Des Bundeskanzlers Ahnen
Die Kunst des Teilens
Römisches Zahlenkauderwelsch
Das Sternpuzzle
Das Einmaleins des Alphabets
Die verschwundenen Dreiecke
Der Sprung der Springer
Eine seltsame Schrift
Verschachtelte Dreiecke
Kalis irdische Verwandte
Die versteckte Pflanze
Das E-Puzzle
Die Quadratur der Streichhölzer
Doppelt so groß und doch zu klein
Eine schwierige Fehlersuche
Dr. Watson und das Vorzeichen
Seltsame Vorfahren
Wem die Stunde schlägt
Wie Faulpelze Licht einschalten
Die Hälfte von zwölf
Die Flucht über die Hängebrücke
Der liebe Kollege
Der Primzahltanz
Die Weltreise nach Nordosten
Ein besonderes Wort
Dominosteine auf dem Schachbrett
Der verschwundene Euro
Blumen für Julia
Anglerlatein
Der verborgene Stern
Der längste Monat des Jahres
Die Farbe des Bären
Seltsame Zahlen
Die Geraden und der Würfel
Die Namen der Töchter
Spinne und Fliege
Ebbe und Flut
Der Blick auf den Würfel
Die verschwundenen Karos
Amerika
Fast nur Wasser
Die fünf ersten Präsidenten der USA
Das Ziegendilemma
Der Weg des Bücherwurms
Ein rechtwinkliges Zwölfeck
Das Münzloch
Schneckentempo
Sockenprobleme
Das geheimnisvolle Symbol
Denksport mit Wein
Bierdeckelgeometrie
Der Weg des Hundes
Eine seltsame Heirat
Jagd auf den König
Schneidekünste
Heikle Jahreszählung
Die Parole
Eine Zehnsekundenaufgabe
Die Tücken viereckiger Schachteln
Methusalems Alter
Die wundersame Biervermehrung
Liebe nach Fahrplan
Die Überquerung des Atlantiks
Die fragliche Relation
Moses auf dem Berg Sinai
Des Rätsels Lösung
Das Ei des Kolumbus
Ist Loyd schlagbar?
Die geheime Botschaft
Die Geheimnisse der Bruchrechnung
Die Klatschbase
Das Flaschenpfand
Die Linie im Dreieck
Auf den Hund gekommen
Der Würfelkalender
Die Mathematik der Wäscheleine
Das Streichholzquadrat
Die Berechnungen von Professor Moriarty
Eine unmögliche Verbindung
Das Gewicht des Taxifahrers
Streichholzdreiecke
Die Geometrie des Viertelkreises
Des Bundeskanzlers Ahnen
Die Kunst des Teilens
Römisches Zahlenkauderwelsch
Das Sternpuzzle
Das Einmaleins des Alphabets
Die verschwundenen Dreiecke
Der Sprung der Springer
Eine seltsame Schrift
Verschachtelte Dreiecke
Kalis irdische Verwandte
Die versteckte Pflanze
Das E-Puzzle
Die Quadratur der Streichhölzer
Doppelt so groß und doch zu klein
Eine schwierige Fehlersuche
Dr. Watson und das Vorzeichen
Seltsame Vorfahren
Wem die Stunde schlägt
Wie Faulpelze Licht einschalten
Die Hälfte von zwölf
Die Flucht über die Hängebrücke
Der liebe Kollege
Der Primzahltanz
Die Weltreise nach Nordosten
Ein besonderes Wort
Dominosteine auf dem Schachbrett
Der verschwundene Euro
Blumen für Julia
Anglerlatein
Der verborgene Stern
Der längste Monat des Jahres
Die Farbe des Bären
Seltsame Zahlen
Die Geraden und der Würfel
Die Namen der Töchter
Spinne und Fliege
Ebbe und Flut
Der Blick auf den Würfel
Die verschwundenen Karos
Amerika
Fast nur Wasser
Die fünf ersten Präsidenten der USA
Das Ziegendilemma
Der Weg des Bücherwurms
Ein rechtwinkliges Zwölfeck
Das Münzloch
Schneckentempo
Sockenprobleme
Das geheimnisvolle Symbol
Denksport mit Wein
Bierdeckelgeometrie
Der Weg des Hundes
Eine seltsame Heirat
Jagd auf den König
Schneidekünste
Heikle Jahreszählung
Die Parole
Eine Zehnsekundenaufgabe
Die Tücken viereckiger Schachteln
Methusalems Alter
Die wundersame Biervermehrung
Liebe nach Fahrplan
Die Überquerung des Atlantiks
Die fragliche Relation
Moses auf dem Berg Sinai
Register
Der italienische Händler und Amerika-Reisende Girolamo Benzoni erzählt in seinem 1565 in Venedig erschienenen Buch Geschichte der Neuen Welt von einem Festmahl bei Kardinal Mendoza im Jahre 1493. Christoph Kolumbus war gerade von seiner ersten Amerika-Reise zurückgekehrt und auch zu dem Mahl geladen. Die meisten Gäste Mendozas waren der Ansicht, Kolumbus’ Entdeckung sei nichts Außergewöhnliches. Jeder hätte sie schon vorher machen können, wenn man nur früher daran gedacht hätte. Da hielt Kolumbus ein Ei hoch und fragte, wer es auf die Spitze stellen könne. Niemandem glückte es. Nun nahm er es selbst, drückte die Schale an der Spitze ein wenig ein und stellte es auf den Tisch.
Man mag Kolumbus’ Lösung als unfair empfinden und sich sagen: «Wenn ich daran gedacht hätte, dass das erlaubt ist, hätte ich es natürlich auch geschafft.» Entscheidend ist jedoch häufig – sowohl im Großen bei wissenschaftlichem, wirtschaftlichem oder politischem Fortschritt als auch im Kleinen beim Lösen einer Denksportaufgabe –, nicht nur das zu tun, was auch alle anderen machen. Klüger ist es meistens, nur das zu unterlassen, was ausdrücklich verboten ist, als nur das zu tun, was ausdrücklich erlaubt ist. Und Kolumbus hatte Mendozas Gästen nicht verboten, das Ei zu beschädigen.
Versucht man ein Problem zu lösen, so ist der Bereich, in dem man die Lösungen finden kann, immer eingeschränkt. Die meisten Beschränkungen sind vom Problem selbst vorgegeben und können nicht verändert werden. Manche Beschränkungen aber schafft man sich unwillkürlich selbst. Diese Denkbeschränkungen stammen von Vorurteilen, Traditionen oder Gewohnheiten. Kolumbus hat eine solche Denkschranke aus dem Weg geräumt, als er die Spitze des Eis eindrückte. Auch viele Probleme dieses Buches lassen sich nur lösen, indem man solche Denkschranken erkennt und überwindet.
Eine zweite Gruppe von Aufgaben dieses Buches ist so einfach, dass jeder sie sofort lösen könnte, wenn sie direkt und ohne Beiwerk gestellt werden würde. Aber das werden sie nicht. Ganz im Gegenteil: Sie werden so gestellt, dass das Denken des Lesers gezielt in die falsche Richtung gelenkt wird und er dadurch die Lösung, wenn überhaupt, nur noch mit größter Mühe findet.
Andere Aufgaben scheinen nur mit einem größeren mathematischen Aufwand gelöst werden zu können. Doch versucht man einmal, nicht in den gewohnten Bahnen zu denken, so kann man einen eleganten Kunstgriff finden und kommt dann ohne die langwierigen Standardmethoden der Schul- und Hochschulmathematik aus.
Bei einem weiteren Typ von Problemen glaubt man, schnell eine Lösung gefunden zu haben, und muss dann feststellen, dass sie falsch ist und dass die richtige Lösung völlig anders aussieht, als man erwartet hat.
Dieses Buch gibt auch einen kleinen Einblick in die Geschichte des Denksports. Er werden die jeweils ältesten bekannten Quellen der Probleme angegeben und Vorläufer und Varianten davon vorgestellt.
Heinrich Hemme
Roetgen, im Frühjahr 2004
Der amerikanische Rätselerfinder Sam Loyd stellte vor etwa hundert Jahren die Aufgabe, diese neun Kreise mit dem Bleistift in einem Zug miteinander zu verbinden, ohne den Stift dabei abzusetzen. Außerdem sollte der Linienzug nur aus vier geraden Teilstücken bestehen; der Bleistift konnte folglich nur dreimal seine Richtung ändern. Ist diese Aufgabe lösbar?
In Sam Loyds Problem «Das Ei des Kolumbus» sollen neun Kreise mit dem Bleistift in einem Zug miteinander verbunden werden, ohne dass der Stift abgesetzt wird. Die Linie darf dabei aus nur vier geraden Teilstücken bestehen.
Geht es auch schon in einem Zug mit drei geraden Teilstücken?
Und wenn nein, warum nicht?
Dieses 7 × 7-feldige Quadrat enthält eine verschlüsselte Botschaft. Wie lautet sie?
Mathematische Zusammenhänge, die jedem völlig offensichtlich erscheinen, auch tatsächlich zu beweisen, ist oft schwerer, als man glaubt. Selbst bei den vier Grundrechnungsarten und bei der Bruchrechnung ist dies nicht immer unbedingt leicht.
Wie kann man beispielsweise folgende Behauptung beweisen? Ein Bruch, bei dem der Zähler größer ist als der Nenner, kann nicht gleich einem anderen Bruch sein, bei dem umgekehrt der Nenner größer ist als der Zähler.
Dr. Altmann arbeitet erst seit einigen Wochen im Marienhospital und kennt niemanden in der Stadt. Der Chefarzt und die Oberschwester sehen es nicht gern, wenn jemand aus der Ärzteschaft und jemand vom Pflegepersonal miteinander ausgehen. Deshalb hat Dr. Altmann heimlich, ohne dass die Oberschwester etwas bemerkt hat, eine Verabredung in einem kleinen Café am Stadtrand getroffen.
Beide sitzen nun in einer gemütlichen Nische im Dämmerlicht. Er hat sich einen Kaffee und sie einen Tee bestellt.
Er: «Ich wundere mich, dass Sie mit einem so alten Mann wie mir ausgehen.»
Sie: «So jung bin ich auch nicht mehr. Ich werde in drei Monaten vierzig.»
Er: «Tatsächlich? Sie sehen viel jünger aus als ich, dabei bin ich nur ein paar Jahre älter als Sie.»
Sie: «Wie alt sind Sie denn?»
Er: «Wenn Sie für jedes meiner Lebensjahre einen Cent nehmen, den Preis meines Kaffees dazuzählen und anschließend 20 Cent abziehen, erhalten Sie den Preis Ihres Tees.»
Die größte Klatschbase des Marienhospitals sitzt zufällig im Café in der Nachbarnische und verfolgt neugierig die Unterhaltung. Sie vertauscht jedoch versehentlich die Preise vom Kaffee und vom Tee. Trotzdem kann sie aus dem belauschten Gespräch Dr. Altmanns Alter richtig ermitteln.
Wie alt ist Dr. Altmann?
Eine Flasche Sprudel einschließlich des Flaschenpfands kostet 1,20 Euro. Der Sprudel ist einen Euro mehr wert als die Flasche. Wie hoch ist das Flaschenpfand?
Eine der einfachsten Figuren der Geometrie ist das Dreieck. Wenn aber das Dreieck weder gleichseitig noch rechtwinklig ist, können Berechnungen daran dennoch recht kompliziert sein. Wie lang ist die Strecke x in diesem Dreieck?
Aus dreizehn Streichhölzern kann man das Bild eines Hundes legen, der mit erhobenem Schwanz nach links läuft. Ist es möglich, nur zwei Hölzer umzulegen, damit der Hund anschließend nach rechts schaut?
Die Aufgabe wäre leicht zu lösen, wenn der Hund nach dem Verlegen der Streichhölzer den Schwanz gesenkt halten dürfte. Aber das ist nicht erlaubt.
In vielen Kaufhäusern und Büroartikelgeschäften findet man Schreibtischkalender, die nur aus zwei Holzwürfeln bestehen und in einem Halter liegen. Auf jeder Seite der beiden Würfel ist eine einzelne Ziffer gedruckt. Die Vorderseiten der Würfel zeigen, wenn man sie passend nebeneinander in den Halter legt, die Monatstage von 01 bis 31. Welche Ziffern müssen auf den Würfelseiten stehen?
Die Kurve, die ein durchhängendes Seil bildet, heißt in der Mathematik Kettenlinie. Die zwischen zwei Masten gespannte Stromleitung sowie die Absperrungskette zwischen zwei Pfosten haben beispielsweise diese Form. Auch in der Architektur taucht sie auf: Der Längsschnitt der Kuppel der St.-Pauls-Kathedrale in London ist eine auf dem Kopf stehende Kettenlinie.
Die Gleichung der Kettenlinie ist y = A cosh (x /(A +B)) + C, wobei cosh der hyperbolische Kosinus ist und A, B und C Konstanten sind, die durch die Länge der Kette und ihre Durchhängetiefe bestimmt werden.
Zwischen zwei Häusern ist eine Wäscheleine gespannt. Sie ist genau zehn Meter lang und hängt in der Mitte fünf Meter durch. Welchen Abstand haben die beiden Häuser?
Vier Streichhölzer liegen so auf dem Tisch, wie es die Abbildung zeigt. Ein Streichholz soll nun so verschoben werden, dass die Hölzer anschließend ein Quadrat bilden. Ist dieses Problem lösbar?
Direkt nachdem Professor Moriarty die Herrentoilette des Pentagons verlassen hatte, untersuchte Sherlock Holmes gründlich den Raum. In einem Abfalleimer fand er einen Zettel, auf dem Moriarty eine anscheinend kodierte Rechnung notiert hat. Wie lautet die Rechnung im Klartext?
Ein Holzwürfel besteht aus zwei Hälften, die durch zwei Schwalbenschwänze miteinander verbunden sind. Beide Schwalbenschwanzverbindungen sind durchgehend, laufen also jeweils von einer Seite des Würfels zur anderen. Die hintere und die linke Seite sehen also genauso aus wie die vordere und die rechte. Kann man die beiden Würfelhälften trennen, ohne das Holz zu beschädigen?
Stellen Sie sich vor, Sie sind Taxifahrer und müssen ein übergewichtiges Ehepaar mit zwei Kindern zum Flughafen fahren. Die Frau ist 104 Kilogramm schwer, und die beiden Kinder wiegen zusammen 50 Kilogramm mehr als ihr Vater. Das Gewicht des Mädchens plus dem des Taxifahrers ergibt das Gewicht des Mannes. Der Junge wiegt ein Viertel des Gewichts seiner Mutter mehr als seine Schwester. Wie schwer ist der Taxifahrer?