Inhaltsübersicht

Impressum

Veröffentlicht im Rowohlt Verlag, Reinbek bei Hamburg, Juni 2015

Copyright © 2015 by Rowohlt Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt, jede Verwertung bedarf der Genehmigung des Verlages

Umschlaggestaltung ZERO Werbeagentur, München

Umschlagillustration FinePic, München

Innenteilgrafiken Daniel Sauthoff, Hamburg

Schrift DejaVu Copyright © 2003 by Bitstream, Inc. All Rights Reserved.

Bitstream Vera is a trademark of Bitstream, Inc.

ISBN Printausgabe 978-3-499-62898-6 (1. Auflage 2015)

ISBN E-Book 978-3-644-53371-4

www.rowohlt.de

ISBN 978-3-644-53371-4

Mathematik ist überall. Im Alltag ist das aber keineswegs immer offensichtlich. Oder haben Sie sich schon einmal gefragt, warum wir im täglichen Leben das 10er‑System (Dezimalsystem) benutzen und nicht ein 5er‑System oder ein 20er‑System wie die alten Mayas? Ist Ihnen aufgefallen, dass ein Klavier 12 Tasten pro Oktave hat (wenn man die schwarzen mitzählt)? Hängt das vielleicht damit zusammen, dass das Dutzend eine oft gebrauchte Größe ist? Oder hat das ganz andere Gründe? Wo wir gerade bei der 12 sind: Neben der 12 spielen auch die 6, die 60 und die 360 im Alltag eine wichtige Rolle. Woran liegt das?

Sie haben sicher schon bemerkt, dass ein Fußball oft aus Lederstücken in Form von Fünf- und Sechsecken zusammengenäht ist. Wären nicht Quadrate und Achtecke auch sehr schön? Oder geht das gar nicht? Wenn Sie einkaufen, zahlen Sie zum Beispiel mit 10-, 20- oder 50‑Euro-Scheinen. Aber keineswegs mit 30-, 40- oder auch 60‑Euro-Scheinen (und wenn doch, dann nicht sehr lange). Warum? Um diese und andere Alltagsbeobachtungen und ihre Hintergründe geht es in diesem Buch. Denn das meiste davon ist kein Zufall, sondern hat sinnvolle und oft verblüffende Gründe.

Außerdem erfahren Sie, wie Sie Mathematik im Alltag anwenden können. Das wird oft nützlich für Sie sein, zum Beispiel beim Einkaufen, beim Sparen oder Leihen von Geld, beim Überprüfen von Rechnungen, beim Energiesparen, beim Renovieren, Kochen und Backen, bei der Berechnung einer Grundstücksgröße oder bei der Suche nach einem Haus oder einer Arbeitsstelle. Sogar beim Lotto und bei Würfelspielen.

Sicher, gerade in unserer Zeit wäre sogar ein Leben auch ganz ohne Mathematik möglich. Aber ist es auch sinnvoll? Ohne Mathematik lebt es sich nämlich fast immer mehr schlecht als recht. Es ist besser für Sie, wenn Sie die Mathematik des Alltags verstehen und anwenden können. Dazu soll dieses Buch einen Beitrag leisten. Trauen Sie sich also, sich auf diese Mathematik einzulassen und schauen Sie, wie weit Sie kommen!

Um den Spaß noch ein wenig zu erhöhen, habe ich eine Reihe von verblüffenden Rätseln in dieses Buch eingestreut. Mathematikrätsel gibt es viele, aber nur wenige sind verblüffend, weil ihre Lösungen der menschlichen Intuition widersprechen. Sollten Sie ein Rätsel nicht knacken können, dann finden Sie am Ende des Buches nicht nur die Lösung, sondern auch den Lösungsweg und den mathematischen Hintergrund.

Lassen Sie sich also verblüffen!

Am Ende einiger Kapitel befinden sich Abschnitte in Sans Serif. Sie sind für Leser gedacht, die an weiterführenden Überlegungen interessiert sind.

Themen und Rätsel in diesem Buch finden Sie auch auf meiner Homepage. Dazu Beweise sowie andere faszinierende Themen, die den Rahmen dieses Buches sprengen würden. Meine Homepage mit dem Titel «Mathematik – Hintergründe im täglichen Leben» finden Sie unter www.brefeld.homepage.t-online.de

Hamburg, im Juni 2015

«Auf diesen Betrag kommen noch 19 % Mehrwertsteuer.» «Für Ihre Spareinlage erhalten Sie 1,2 % Zinsen.» «Für diesen Kredit zahlen Sie nur 3 % Kreditzinsen.» «Diese Schokolade enthält 43 % Kakaobestandteile.» «Dieser Wein enthält 14 % Alkohol.» «Der Unfallverursacher hatte 2,1‰ Alkohol im Blut.» Angaben wie diese hören oder lesen wir jeden Tag.

Was bedeuten nun die Begriffe «Prozent» und «Promille»? Sind sie vergleichbar mit den physikalischen Begriffen «Meter», «Sekunde», «Kilogramm» und «Kilowattstunde»? Und braucht man einen Taschenrechner mit Prozenttaste, um Prozentrechnungen durchführen zu können?

Die beiden letzten Fragen kann man klar mit Nein beantworten. Eine Prozentangabe wie zum Beispiel 75 % ist nämlich nichts anderes als eine ganz normale Zahl. Dazu müssen Sie sich klarmachen, dass «Prozent» nichts anderes bedeutet als «von Hundert». 75 % ist also gleichbedeutend mit «75 von 100» oder . Verständlicherweise rechnen Sie nicht so gerne mit Brüchen wie . Deshalb gehen wir noch einen Schritt weiter und wandeln den Bruch in eine Ihnen vermutlich geläufigere Dezimalzahl um. entsprechen der Dezimalzahl 0,75.

Um Sie an den Gedanken zu gewöhnen, eine Prozentangabe als ganz normale Dezimalzahl anzusehen, kommen hier einige Beispiele:

Auf dieselbe Weise können wir eine Angabe in Promille mit Hilfe eines Bruches in eine Dezimalzahl umwandeln, denn «Promille» bedeutet «von Tausend». Hier wieder einige Beispiele:

Wie man an den Beispielen leicht erkennt, ist 1 % genauso viel wie 10 ‰. Umgekehrt entsprechen 2,1 ‰ Alkohol im Blut einer Alkoholkonzentration von 0,21 %.

Wozu sind nun diese Überlegungen gut? Viele Menschen glauben, dass Prozent- und Promilleangaben recht anschaulich einen Sachverhalt beschreiben. Wenn man sie aber bittet, mit diesen Angaben eine Rechnung zu machen, reagieren sie oft hilflos.

In der Frage «Wie viel ist 19 % von 850 Euro?» tauchen ja keine Angaben wie «mal», «geteilt», «plus» oder «minus» auf. Dabei ist «19 % von 850 Euro» dasselbe wie die entsprechende Dezimalzahl 0,19 mal 850 Euro. Mit jedem Taschenrechner auch ohne Prozenttaste erhält man sofort das richtige Ergebnis

Praktisch genauso einfach ist es, auf 850 Euro zum Beispiel 19 % Mehrwertsteuer aufzuschlagen. Da der Ausgangswert von 850 Euro 100 % entspricht, wollen Sie hier eigentlich nur wissen, wie viel 100 % + 19 % = 119 % von 850 Euro ist. Und wie Sie wahrscheinlich vermuten, erhalten Sie mit der einfachen Rechnung

das richtige Ergebnis. Wenn Sie also demnächst aus einem Betrag ohne Mehrwertsteuer den Betrag mit Mehrwertsteuer berechnen wollen, dann multiplizieren Sie einfach den angegebenen Euro-Betrag mit 1,19. Wollen Sie jedoch wissen, welcher Betrag sich bei einer Erhöhung um 100 % ergibt, müssen Sie zu den ursprünglichen 100 % weitere 100 % addieren. 200 % von 850 Euro sind dann

Eine Verteuerung um 100 % entspricht also einer Verdoppelung des Preises. Bei einer Preiserhöhung um 200 % würde sich folglich der Preis verdreifachen. Weitere interessante Beispiele für Prozentrechnungen finden Sie im nächsten Kapitel.

Ebenso ist es für Rechnungen oft nützlich, Brüche in Dezimalzahlen umwandeln und damit weiterzurechnen. Beispielsweise ist gleich 3 geteilt durch 4, und das ist 0,75. Ebenso ist = 0,375, = 0,2 und = 0,7. Wenn Sie also von 7 Kilogramm bestimmen wollen, dann sieht die Rechnung ganz einfach so aus:

Als Nächstes möchte ich auf eine Fähigkeit hinweisen, die für Sie im täglichen Leben sehr nützlich sein kann. Ich meine die Fähigkeit, etwas abschätzen zu können. Oft geht es ja gar nicht darum, dass man etwas genau wissen will, sondern nur ungefähr.

Angenommen, der Tank Ihres Autos ist fast leer und Sie wollen tanken. Der Tank fasst 60 Liter und ein Liter Benzin kostet 1,469 Euro. Reicht Ihr Geld, um vollzutanken? Um auf der sicheren Seite zu sein, nehmen Sie einfach an, Sie müssten 60 Liter tanken und ein Liter würde 1,50 Euro kosten. Ihre Abschätzung ergibt dann, dass 60 · 1,50 Euro = 90 Euro auf jeden Fall reichen, um vollzutanken. In den meisten Fällen reicht so eine grobe Abschätzung. Aber auch bei genauen Rechnungen sind Abschätzungen wichtig. Diese Rechnungen werden Sie meistens mit einem Taschenrechner machen. Beim Eingeben der Rechnung können Sie jedoch die verschiedensten Fehler machen. Beispielsweise können Sie eine Ziffer falsch oder doppelt eintippen, Sie können das Dezimalkomma an die falsche Stelle setzen oder die Additionstaste mit der Multiplikationstaste verwechseln. Und oft können Sie dem Ergebnis nicht sofort ansehen, dass beim Eingeben etwas falsch gelaufen ist.

Um grobe Fehler sofort zu bemerken, ist es deshalb sinnvoll, zusätzlich im Kopf eine grobe Abschätzung zu machen. Dazu wird die Rechnung mit stark gerundeten Zahlen durchgeführt. Beispielsweise vereinfachen Sie die Rechnung 4,25 · 2,60 = 11,05 zu 4 · 3 = 12, indem Sie 4,25 zu 4 abrunden und 2,6 zu 3 aufrunden. Weicht das Ergebnis des Taschenrechners deutlich von der Abschätzung ab, dann haben Sie höchstwahrscheinlich beim Eintippen einen Fehler gemacht.

Ein weiteres Beispiel: 670 · 86,98 = 58276,6. Für die Abschätzung müssen Sie hier 700 · 90 ausrechnen. Hier rechnen Sie mit Hilfe des kleinen Einmaleins 7 · 9 = 63 im Kopf, hängen an das Ergebnis die zwei Nullen von der 700 und die eine Null von der 90 hinten an und erhalten als Abschätzung den Wert 63000. Auch diese Abschätzung liegt nicht sehr weit vom richtigen Wert entfernt.

Ein drittes Beispiel: 0,0019 · 840000 = 1596. Diese Rechnung vereinfachen Sie zu 0,002 · 800000. Sie rechnen jetzt 2 · 8 = 16 und hängen hier die fünf Nullen von 800000 an. Allerdings müssen Sie wieder drei Nullen wegnehmen, weil die 2 in der Zahl 0,002 erst an der dritten Stelle nach dem Komma kommt. Also bleiben zwei Nullen und die Abschätzung ergibt 1600 und ist damit in guter Übereinstimmung mit der genauen Rechnung.

Bisher kamen bei den Abschätzungen nur Multiplikationen vor. Geht es um Additionen oder Subtraktionen, sind die Abschätzungen noch einfacher. Addieren Sie zwei Zahlen, dann ist das Ergebnis nicht wesentlich größer als die größere der beiden Zahlen. 7046 + 4277 = 11323 und nicht 49823. Entsprechend ist 1841 + 78 = 1919 und nicht 4919. Haben Sie bemerkt, welche Fehler beim Eintippen in den Taschenrechner hier gemacht worden sind? Ziehen Sie bei der Subtraktion eine kleine Zahl von einer großen ab, muss das Ergebnis grob der größeren Zahl entsprechen. Ziehen Sie eine fast gleich große Zahl ab, erhalten Sie als Resultat eine vergleichsweise kleine Zahl.

Es bleiben noch die Abschätzungen bei Divisionsaufgaben. Hier ist es nützlich, die erste Zahl auf zwei Stellen genau zu runden. So wird aus der Aufgabe = 619 die Abschätzung . Jetzt überlegen Sie, dass ungefähr gleich 6 ist. An die 6 hängen Sie zunächst die drei Nullen von 25000 an. Die eine Null in der Zahl 40 dürfen Sie aber dann nicht zusätzlich anhängen, sondern Sie müssen Sie wegnehmen, weil durch 40 geteilt wird. Es bleiben also zwei Nullen übrig, und die Abschätzung beträgt damit 600.

Zum Schluss dieses Kapitels möchte ich mich mit Ihnen in die Welt der großen Zahlen begeben. Der Begriff «Millionen» ist Ihnen natürlich geläufig, und von Billionen haben Sie auch schon gehört, vielleicht auch von Trillionen, Quadrillionen, Quintillionen und Sextillionen. Wie viele Nullen haben diese Zahlen?

Außer bei den Millionen verbergen sich in den aus dem Lateinischen abgeleiteten Vorsilben die Zahlen 2, 3, 4, 5 und 6. Multipliziert man diese Zahlen mit 6, erhält man sofort die Anzahl der gesuchten Nullen. Bei 17 Billionen folgen nach der 17 deshalb 2 · 6 = 12 Nullen, also schreibt man 17000000000000. Bei 9 Trillionen muss man an die 9 schon 3 · 6 = 18 Nullen anhängen. Wie Sie wissen, sind es bei zum Beispiel 128 Millionen nur 1 · 6 = 6 Nullen. Zusätzlich gibt es noch die «Zwischengrößen» wie zum Beispiel Milliarden, Billiarden und Trilliarden, die jeweils 3 Nullen mehr haben als Millionen, Billionen und Trillionen. Eine Milliarde hat also 9 Nullen.

Immer wieder führt es zu Verwirrung, dass die englischsprachigen Länder diese Begriffe nicht benutzen. Dort folgt auf «million» (6 Nullen) «billion» (9 Nullen), auf «billion» folgt «trillion» (12 Nullen) usw. Man kann hier aus den Vorsilben nicht mehr direkt die Anzahl der Nullen bestimmen.

Anschaulich können wir uns diese großen Zahlen nicht mehr vorstellen. Wie weit reicht denn überhaupt unsere Vorstellung? Wenn wir in einem Stadion mit 85000 Zuschauern sitzen, können wir diese mit unseren Augen noch unterscheiden. Die Zahl 85000 können wir uns also noch veranschaulichen. Man könnte das wohl noch etwas weiter treiben, aber ab etwa einer Million dürfte Schluss sein. Die Anzahl der Zapfen auf der Netzhaut unserer Augen setzt der Anschauung im wahrsten Sinne des Wortes eine Grenze.

Wenn wir uns größere Zahlen veranschaulichen wollen, geht das eigentlich nur, indem wir sie sinnvoll in kleinere Zahlen zerlegen. Wenn wir hören, dass die Staatsverschuldung Deutschlands etwa 2 Billionen Euro beträgt, dann können wir den Betrag gleichmäßig auf die etwa 80 Millionen Bürger in unserem Land aufteilen. Die Rechnung ergibt:

Jeder Bürger – egal, ob jung oder alt – trägt also im Mittel eine Schuldenlast von etwa 25000 Euro. Darunter können wir uns etwas vorstellen.

Auch die etwas mehr als 7 Milliarden Menschen auf der Erde sprengen unsere Vorstellungskraft. Nehmen wir an, Sie sitzen in dem Stadion mit 85000 Zuschauern und stellen sich vor, jeder Zuschauer entspräche wieder einem vollen Stadion mit 85000 Zuschauern. Dann haben Sie ein Gefühl für die gigantische Anzahl der Menschen auf der Erde. Eine schnelle Rechnung wird Sie überzeugen:

Sollten Sie sich schließlich das Jahresgehalt eines Spitzenmanagers von vielleicht 60 Millionen Dollar veranschaulichen wollen, dann nehmen Sie einfach eine Arbeitszeit von 3000 Stunden pro Jahr an und berechnen den Stundenlohn:

Mit diesem Stundenlohn hätten Sie spätestens nach einem Monat für den Rest Ihres Lebens ausgesorgt. Die entsprechende Rechnung überlasse ich Ihnen.

Das Geheimnis der Lücke

Werden in der abgebildeten Figur die vier Puzzle-Teile anders angeordnet, entsteht plötzlich eine Lücke. Ist die Gesamtfläche etwa kleiner geworden?

 

Auflösung auf Seite 171

Nachdem ich im vorigen Kapitel die Bedeutung von Prozentangaben erläutert habe, kommen jetzt einige Beispiele für die Prozentrechnung.

Stellen Sie sich vor, Sie haben sich nach einem neuen Auto umgeschaut, obwohl Sie Ihr altes noch etwa ein Jahr lang fahren wollen. Der Preis dieses neuen Autos war mit 23499 Euro angegeben. Als Sie es ein Jahr später kaufen wollen, hat es sich auf 23999 Euro verteuert. Sie sind enttäuscht und sprechen den Verkäufer darauf an. Er behauptet daraufhin, das entspräche in etwa der allgemeinen Inflationsrate von 1,3 %. Inflationsbereinigt sei das Auto gar nicht teurer geworden. Sagt der Verkäufer die Wahrheit? Wie viel Prozent ist das Auto denn teurer geworden? Um dies herauszubekommen, teilen Sie den neuen Verkaufspreis durch den alten und erhalten den Wert von gerundet 1,021. Um diesen Faktor ist das Auto teurer geworden. Um die prozentuale Verteuerung zu erhalten, nehmen Sie den Faktor 1,021 und ziehen 1, also 100 %, davon ab. Sie erhalten 0,021 = 2,1 %. Der Verkäufer hat also nicht die Wahrheit gesagt. Das Auto ist deutlich teurer geworden, als es der Inflationsrate von 1,3 % entsprechen würde.

Obwohl die letzte Mehrwertsteuererhöhung von 16 % auf 19 % schon etwas zurückliegt, habe ich hier trotzdem ein entsprechendes Beispiel, damit Sie gewappnet sind, falls es noch einmal eine Mehrwertsteuererhöhung gibt: Ein LED-Fernseher kostet inklusive 16 % Mehrwertsteuer 1499 Euro. Die Mehrwertsteuer steigt auf 19 %. Was würde der LED-Fernseher jetzt kosten und um wie viel Prozent würde er teurer? Der Verkäufer gewährt auf den neuen Verkaufspreis ausnahmsweise 2,55 % Rabatt und behauptet, mit dem Rabatt sei das Gerät sogar ein klein wenig billiger als vor der Steuererhöhung. Hat der Verkäufer recht, und was soll der Fernseher nach der Reduzierung kosten?

In dem Preis von 1499 Euro stecken sowohl der Preis ohne Mehrwertsteuer, der 100 % entspricht, als auch die Mehrwertsteuer von 16 %, also zusammen 116 %. Um den Preis ohne Mehrwertsteuer zu berechnen, müssen Sie die 1499 Euro einfach durch 116 %, also durch 1,16 teilen. Das ergibt einen Nettoverkaufspreis von 1292,24 Euro. Auf diesen Preis kommt jetzt die neue Mehrwertsteuer von 19 %. Sie berechnen 119 % von 1292,24 Euro, indem Sie den Eurobetrag mit 1,19 multiplizieren. Sie erhalten den neuen Preis von 1537,77 Euro. Die prozentuale Verteuerung erhalten Sie, indem Sie 1537,77 Euro durch den alten Preis von 1499 Euro teilen und 1 vom gerundeten Ergebnis 1,0259 subtrahieren. Die Rechnung ergibt:

Nun werden Sie denken, dass der Verkäufer geschwindelt hat, weil er Ihnen nur 2,55 % Rabatt auf den neuen Preis geben will, obwohl der Fernseher doch um 2,59 % teurer geworden ist. Aber rechnen wir einmal nach. 2,55 % von 1537,77 sind

Wenn man diesen Rabatt von 1537,77 Euro abzieht, erhält man tatsächlich nur 1498,56 Euro. Der Verkäufer hat also recht.

Einige werden nun denken, dass in dieser Rechnung ein Fehler stecken muss. Wie kann es sein, dass der Preis sinkt, wenn man zuerst einen bestimmten Prozentsatz aufschlägt und danach einen kleineren Prozentsatz abzieht? Aber das ist tatsächlich so. Ich mache Ihnen das ein einem sehr einfachen Beispiel klar. Wenn ein Preis von 100 Euro um 20 % steigt, werden Sie mir sofort zustimmen, dass der neue Preis 120 Euro beträgt. Ein Rabatt auf den neuen Preis von ebenfalls 20 % führt aber zu einer Verringerung des neuen Preises von 0,2 · 120 Euro = 24 Euro. Der Preis sinkt also auf 96 Euro, obwohl erst 20 % aufgeschlagen und dann wieder 20 % abgezogen wurden. Der Grund für diesen kuriosen Effekt liegt darin, dass die 20 % jeweils von verschiedenen Preisen berechnet werden müssen. Preiserhöhungen mit anschließenden Rabattaktionen sind gar nicht so selten. Jetzt wissen Sie, worauf Sie achten müssen.

An dieser Stelle möchte ich auch noch kurz den Unterschied zwischen Prozenten und Prozentpunkten erklären. Wenn die Mehrwertsteuer von 16 % auf 19 % erhöht wird, dann steigt sie um 3 Prozentpunkte, weil 19 % minus 16 % gleich 3 % ist. Die Erhöhung der Mehrwertsteuer in Prozent erhält man stattdessen, indem man 19 % = 0,19 durch 16 % = 0,16 teilt und 1 vom Ergebnis subtrahiert:

Die Mehrwertsteuer selber ist also um beachtliche 18,75 % gestiegen. Den prozentualen Preisanstieg erhält man aber, indem man 119 % durch 116 % teilt und dann 1 abzieht. Hier erhält man:

Diesen Wert haben wir oben auch schon auf andere Weise berechnet. Der Begriff «Prozentpunkte» wird auch bei Wahlen oft gebraucht. Wenn eine Partei ihren Stimmenanteil von 30 % auf 33 % erhöhen konnte, dann sagt man, ihr Stimmenanteil habe um 3 Prozentpunkte zugenommen. Prozentual gesehen ist ihr Stimmenanteil dagegen um beachtliche

gestiegen. Das ist der Prozentsatz, um den die Anzahl der Wähler dieser Partei zugenommen hat (bei gleicher Gesamtzahl).

Dieses Kapitel lasse ich mit einem einfachen Beispiel aus dem täglichen Leben ausklingen. Sie erteilen einem Handwerker einen Auftrag. Angenommen, er nimmt einen Stundenlohn von 46 Euro. Er schätzt, dass er für die Arbeit 8 Stunden braucht und dass die zusätzlichen Kosten für Material, An- und Abfahrt 500 Euro betragen. Alle Beträge sind ohne Mehrwertsteuer gemeint. Wie hoch wäre nach diesen Angaben die Handwerkerrechnung bei einer Mehrwertsteuer von 19 %? Wenn eine Stunde 46 Euro kostet, dann kosten 8 Stunden 8 · 46 Euro = 368 Euro. Zusammen mit den Nebenkosten von 500 Euro sind das 868 Euro. Darauf kommt dann noch die Mehrwertsteuer von 19 %. Der Endbetrag ist dann 119 % von 868 Euro oder

Drei Räuber teilen ihre Beute

Die drei Räuber Axel, Ole und Uwe wollen ihre Beute aufteilen. Axel, der Boss, bekommt mehr als Ole. Ole bekommt mehr als das Greenhorn Uwe. Weil Axel, Ole und Uwe schlecht im Rechnen sind, beschließen sie, dass ihre Anteile an der Beute Stammbrüche sein sollen, also , … usw.

 

Wie viel bekommt jeder der drei Räuber?

 

Auflösung auf Seite 174