Books on Demand
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Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d–nb.de abrufbar.
1. Auflage Mai 2008
2., verbesserte Auflage, Mai 2009
3., Überarbeitete Auflage, Juli 2009
4., berichtigte und überarbeitete Auflage, Dezember 2010
5., ergänzte Auflage, Juni 2012
© 2008–2012 Reimund Homann
Herstellung und Verlag: Books on Demand GmbH, Norderstedt Satz und Coverdesign: Gerhard Uhlhorn
ISBN: 978-3-8482-7500-7
0 Einführung: Was ist Mittelstufenmathematik?
In der nun vorliegenden fünften Auflage wurden gegenüber dem Vorgänger erneut Korrekturen vorgenommen. So wurde das Buch unter anderem setzerisch überarbeitet und zum Teil inhaltlich korrigiert. Außerdem wurde erneut das Stichwortverzeichnis erweitert.
Für Anregungen danke ich (in alphabetischer Reihenfolge) Christian Fiedler, Malte Jäger, Torben Koop, Hardy Landmann M.A., Victor Neisius, Natasa Pavasovic, Hendrik Saalmann sowie von der Northern Business School in Hamburg Kay Wehrenberg.
Für Hilfe bei der technischen Umsetzung danke ich Gerhard Uhlhorn.
Begleitende Informationen sind auf der Webseite
www.mittelstufenmathematik.de
zu finden.
Hamburg, im März 2012
Es gibt wohl kaum ein Schulfach, dem von vielen Schülern mit solch großer Abneigung begegnet wird, wie der Mathematik. Woran liegt dies? Ist es, weil die Mathematik „so schwierig” ist? Liegt es an den vielen Zahlen? Oder an den Erzählungen der Eltern und Großeltern? Was immer es auch sei, bei näherer Betrachtung zeigt sich, dass es eigentlich keinen guten Grund gibt, der Mathematik feindselig gegenüberzustehen. Ich bitte Sie daher, liebe Leserin und lieber Leser, die eventuell bereits gemachten schlechten Erfahrungen mit der Mathematik zumindest für einen Moment beiseite zu legen und den folgenden Kapiteln gleichsam vorurteilsfrei zu begegnen.
Die Mathematik als solche ist nicht schwierig. Sie wird allerdings oftmals so erklärt, dass es für Nicht-Mathematiker schwierig ist, sie zu verstehen. Daher ist der Ansatz dieses Buches, durch eine klare, leicht verständliche Schreibweise besonders denjenigen zu helfen, die bisher Schwierigkeiten mit der Materie hatten.
Inhaltlich wendet sich das Buch an alle, für die die Mittelstufenmathematik als Lernende oder Lehrende relevant ist. Dies sind z.B. Studenten der Wirtschaftswissenschaften, Gymnasiallehrer oder Gesamtschullehrer, Schüler und deren Eltern. Es eignet sich sowohl als Begleitmaterial zum Unterricht als auch als Grundlage zur Wiederholung.
Das Hauptaugenmerk des abgedeckten Stoffbereichs liegt auf den Jahrgängen 8 bis 10 des 13-jährigen Abiturs der Gymnasien. Wo es nötig und sinnvoll erschien, wurde jedoch der Blick auf andere Jahrgänge erweitert. Um den Umfang nicht zu „sprengen”, wurde hierbei weitgehend auf die Geometrie verzichtet. Dies erklärt sich auch dadurch, dass die Oberstufenmathematik ihren Schwerpunkt üblicherweise nicht in der Geometrie, sondern in den Funktionen hat. Weiterhin ist für die Studenten der Wirtschaftswissenschaften die Geometrie nur von untergeordneter Priorität. Den „geometrisch interessierten” Lesern könnte die im Anhang genannte weiterführende Literatur hilfreich sein.
Die meisten Kapitel enthalten übungsaufgaben zur Lernkontrolle. Es empfiehlt sich, die übungen zuerst alleine zu probieren. Gelingt dies nicht, sollte das zugrunde liegende Kapitel zu Rate gezogen werden. Hilft auch das nicht weiter, so ist der Lösungsvorschlag für die jeweilige übungsaufgabe an der Reihe. Wie das Wort jedoch bereits sagt, ist ein Lösungsvorschlag nur ein Vorschlag. Manchmal gibt es mehrere Wege, eine Aufgabe zu lösen.
Zum leichteren Finden der Stichworte des Stichwortverzeichnisses in den jeweiligen Kapiteln sind an den entsprechenden Stellen kleine Dreiecke am Rand der Seiten eingefügt. Sollte einmal ein mathematisches Zeichen unbekannt sein, so hilft vielleicht das im Anhang auf Seite → enthaltene Verzeichnis der verwendeten Zeichen.
Zu den Biografien der Mathematiker ist noch zu erwähnen, dass die Informationen aus dem Internet stammen und dementsprechend (insbesondere die Jahreszahlen) nicht als „unumstößlich richtig” einzuordnen sind.
Begleitende Informationen zu diesem Buch finden sich unter:
www.mittelstufenmathematik.de
Für Unterstützung und Anregungen bei der Erstellung danke ich (in alphabetischer Reihenfolge): Nadine Baierle, Caroline Bergeest, Laura Prasuhn, Adrian Tippenhauer, Ana Tomas, Sara Tomas, Victoria Uhlhorn und Jan-Philipp Weitz.
Für Hilfe bei der technischen Umsetzung danke ich Gerhard Uhlhorn.
Und nun viel Spaß an der Mathematik.
Hamburg, im Mai 2008
Der Begriff „Mittelstufenmathematik” an sich ist in der Mathematik kein fest definierter Ausdruck. Wie der Name jedoch bereits sagt, beschäftigt sich die Mittelstufenmathematik mit denjenigen Teilbereichen der Mathematik, die üblicherweise in der „Mittelstufe”, also in etwa in den Klassen 7 bis 10, gelehrt wird.
In den letzten Jahren hat hierbei jedoch ein Wandel statt gefunden. Durch die Umstellung des deutschen Schulsystems auf das nach 12 Schuljahren zu erreichende Abitur haben sich auch die Themen der Klassenstufen 7 bis 10 etwas geändert. Die in diesem Buch behandelten Themen beziehen sich jedoch hauptsächlich auf den Stoff, der nach dem alten, 13-jährigen System in den genannten Klassenstufen gelehrt wurde. Dementsprechend wurde z.B. die Analysis, die im alten System üblicherweise erst im 11. Schuljahr gelehrt wurde, nicht in das Buch integriert. Auch ist der Stoff der als „Unterstufe” bekannten Klassenstufen 5 und 6 weitgehend außen vor gelassen worden.
Theoretisch sind alle Zahlen von —∞ bis ∞ denkbar. Nimmt man alle diese Zahlen zusammen, so ist diese Menge die Menge der reellen Zahlen .
Die Menge der reellen Zahlen lässt sich in zwei Teilmengen aufteilen: Die Menge aller Zahlen, die periodisch oder abbrechend (abbrechend bedeutet, dass eine endliche Anzahl von Nachkommastellen vorhanden ist) sind, ist die Menge der rationalen Zahlen . Die Menge aller Zahlen, die nicht-periodisch und nicht abbrechend sind, ist die Menge der irrationalen Zahlen .
Nimmt man alle positiven Brüche zusammen, so hat man die Menge der Brüche .
Alle ganzen Zahlen zusammengenommen ergeben die Menge der ganzen Zahlen .
Vereinigt man alle positiven ganzen Zahlen und 0, so erhält man die Menge der natürlichen Zahlen . Weiterhin ist es möglich, nur den positiven oder negativen Teil einer Menge zu bezeichnen: So ist z.B. + die Menge aller positiven reellen Zahlen. Hierbei gilt demnach:
| + | = | |
| + | = | \ {0} |
| − | = | \ |
Für die Addition von reellen Zahlen gelten folgende Gesetze:
Bei der Addition der reellen Zahlen ist die Reihenfolge irrelevant.
Es gilt:
a + b = b + a
Dies ist das so genannte Kommutativgesetz der Addition.
Weiterhin sind bei der Addition der reellen Zahlen die Position einer Klammer sowie die Existenz einer Klammer irrelevant. Es gilt:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
Dies ist das so genannte Assoziativgesetz der Addition.
Bei der Subtraktion der reellen Zahlen gilt folgender Merksatz:
Minus vor der Klammer dreht die Vorzeichen um.
Es gilt also:
a − (−b) = a + b bzw. c − (d) = c − d
Folgendes Beispiel verdeutlicht die Anwendung dieses Merksatzes:
8 − (−3) = 8 + 3 = 11
Wird die Subtraktion in der Form durchgeführt, dass eine negative Zahl addiert wird, so gilt folgender Zusammenhang:
a + (−b) = a − b
Prinzipiell gilt für die Multiplikation der reellen Zahlen folgendes:
Die Multiplikation reeller Zahlen erfolgt durch die Multiplikation der Beträge und Ermittlung des Vorzeichens gemäß den Vorzeichenregeln für die Multiplikation der reellen Zahlen.
Die Vorzeichenregeln der Multiplikation der reellen Zahlen sind folgende:
Die Multiplikation reeller Zahlen mit homogenen Vorzeichen ergibt eine positive Zahl.
Die Multiplikation reeller Zahlen mit heterogenen Vorzeichen ergibt eine negative Zahl.
Oder etwas leichter ausgedrückt:
Weiterhin gilt für die Multiplikation der reellen Zahlen:
Bei der Multiplikation der reellen Zahlen ist die Reihenfolge irrelevant.
Es gilt:
a · b = b · a
Dies ist das so genannte Kommutativgesetz der Multiplikation.
Weiterhin ist bei der Multiplikation der reellen Zahlen die Position einer Klammer sowie die Existenz einer Klammer irrelevant.
Es gilt:
(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
Dies ist das so genannte Assoziativgesetz der Multiplikation. Außerdem gilt für a, b, c ∈ :
a · (b + c) = a · b + a · c
Dies ist das so genannte Distributivgesetz. Hier sind Position und Existenz der Klammer nicht irrelevant. Um die Klammer aufzulösen muss ausmultipliziert werden.
Prinzipiell gilt für die Division der reellen Zahlen folgendes:
Die Division reeller Zahlen erfolgt durch die Division der Beträge und Ermittlung des Vorzeichens gemäß den Vorzeichenregeln für die Division der reellen Zahlen.
Die Vorzeichenregeln der Division der reellen Zahlen sind folgende:
Die Division reeller Zahlen mit homogenen Vorzeichen ergibt eine positive Zahl.
Die Division reeller Zahlen mit heterogenen Vorzeichen ergibt eine negative Zahl.
Oder erneut leichter ausgedrückt:
Weiterhin gilt: Durch 0 darf nicht geteilt werden.
Zahlen, die die Rechenoperationen anderer Zahlen „neutralisieren”, werden Inverse genannt. So ist z.B. −3 das Additionsinverse von 3, wie folgendes Beispiel zeigt: Addiert man zur 5 die 3, so erhält man die 8. Addiert man nun die −3, so erhält man erneut die 5. Die −3 hat also die 3 „neutralisiert”. Für Inverse gelten folgende Zusammenhänge:
Das Additionsinverse von a ist −a.
Das Multiplikationsinverse von a ist .
Die Begriffe „Subtraktionsinverses” und „Divisionsinverses” sind in der Mathematik unüblich.
Zahlen, deren Rechenoperationen keine Wirkung auf eine andere Zahl haben, werden Neutrale genannt. So ist z.B. 0 bezüglich der Addition neutral, da z.B. 7 + 0 = 7 gilt. Für Neutrale gelten folgende Zusammenhänge:
Das neutrale Element der Addition und Subtraktion ist 0.
Das neutrale Element der Multiplikation und Division ist 1.
Weiterhin gilt die Regel:
Zuerst ist die Klammer (wobei in der Klammer Punkt- vor Strichrechnung gilt) auszurechnen, dann Punkt- vor Strichrechnung.
So gilt z.B.: (3 + 4 · 2) · 5 = (3 + 8) · 5 = 11 · 5 = 55
Auch gilt: 5 – 4 – 9 : 3 = 20 – 3 = 17
Aufgaben:
Lösungsvorschläge:
zu Aufgabe I: