Eingangstest

Zum Einstieg können Sie mit diesen Aufgaben testen, wo Sie in der Thermodynamik noch Lücken haben, die Sie schließen sollten. Dabei steht jede Aufgabe für ein Kapitel im Buch. Sollten Sie feststellen, dass Sie eine Aufgabe nicht lösen können, ist es vielleicht schlau, zuerst dieses Kapitel durchzuarbeiten, wenn Sie nur noch wenig Zeit haben.

Aufgabe zu Kapitel 2

Berechnen Sie die folgenden Ableitungen bzw. Integrale:

Aufgabe zu Kapitel 3

Die Wärme eines Körpers ist ein Maß für die Bewegungen, die die den Körper bildenden Teilchen ausführen. Welche Bewegungsmöglichkeiten gibt es für die Teilchen in den drei Aggregatzuständen?

Alle Materialien sind durch drei thermodynamische Materialkonstanten gekennzeichnet, den linearen Ausdehnungskoeffizienten, die spezifische Wärmekapazität und die Wärmeleitfähigkeit. Erläutern Sie auf der Basis der Vorstellung, dass Wärme durch Bewegung hervorgerufen wird, die Wärmeausdehnung, die Wärmespeicherung und die Wärmeleitung.

Aufgabe zu Kapitel 4

Ordnen Sie die folgenden thermodynamischen Größen den Begriffen extensive Zustandsgröße, intensive Zustandsgröße und Prozessgröße zu: Druck, Volumen, Temperatur, Arbeit, innere Energie, Entropie, Wärmemenge.
Erläutern Sie Ihre Zuordnung im Fall des Drucks, der inneren Energie und der Arbeit.
Sowohl der Druck als auch die Temperatur sind Maße für die in einem System stattfindenden Bewegungen. Worin unterscheiden sie sich?

Aufgabe zu Kapitel 5

Was ist eine polytrope Zustandsänderung? Was ist der Polytropenexponent? Wie lautet der Polytropenexponent im Fall von isothermen, isochoren, isobaren und adiabatischen Zustandsänderungen?

Aufgabe zu Kapitel 6

Abbildung 1: Das Guggenheim‐Quadrat

Abbildung 1 zeigt das sogenannte Guggenheim‐Quadrat. Leiten Sie daraus die beiden unabhängigen (natürlichen) Variablen der vier thermodynamischen Potentiale innere Energie U, Enthalpie H, freie Energie F und freie Enthalpie G ab.

Wie lautet die Einheit der thermodynamischen Potentiale? Geben Sie für die Enthalpie H das vollständige Differential an.

Aufgabe zu Kapitel 7

Wie lautet das ideale Gasgesetz? Erläutern Sie die darin auftauchenden Größen.
Auf welchen Näherungen beruht das ideale Gasgesetz?
Wie lautet die Van‐der‐Waals‐Gleichung, die diese Näherungen korrigiert?
Ist die Van‐der‐Waals‐Gleichung exakt oder wieder nur eine Näherung?

Aufgabe zu Kapitel 8

CO₂ ist ein lineares dreiatomiges Molekül. Wie viele Freiheitsgrade besitzt ein Kohlendioxidmolekül? Wie sehen diese Freiheitsgrade aus? Wie groß ist der Isentropenexponent? Wie groß ist die innere Energie eines Mols CO₂?

Aufgabe zu Kapitel 9

Erklären Sie den Unterschied zwischen einem thermischen und einem thermodynamischen Gleichgewicht.

Aufgabe zu Kapitel 10

Wie lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik?
Wie ändert sich die innere Energie bei einem isobaren Prozess?
Wie ändert sie sich bei einem adiabatischen Prozess?

Aufgabe zu Kapitel 11

Bei den meisten physikalischen Prozessen spielt die Richtung der Zeitachse keine Rolle. Wenn man die Zeitachse umdreht, verlaufen die Prozesse umgekehrt. In der Thermodynamik ist dies nicht unbedingt der Fall. Es gibt durchaus Prozesse, die nur in eine Zeitrichtung verlaufen können. Wie nennt man derartige Prozesse? Nennen Sie einige Beispiele. Worauf beruht die Vorzugsrichtung der Zeit?

Aufgabe zu Kapitel 12

Schlagen Sie eine Methode vor, mit der der absolute Nullpunkt der Temperatur erreicht werden kann. Lassen Sie dabei Ihrer Phantasie freien Lauf. Inwieweit Ihre Methode technisch realisiert werden kann, spielt keine Rolle.

Aufgabe zu Kapitel 13

Erläutern Sie den Unterschied zwischen einer Wärmekraftmaschine, einer Wärmepumpe und einer Kältemaschine.

Aufgabe zu Kapitel 14

Worin unterscheiden sich der Ottomotor und der Dieselmotor in ihrer Funktionsweise? Worin unterscheiden sich der Ottoprozess und der Dieselprozess thermodynamisch? Welcher der beiden Prozesse hat im Idealfall den größeren Wirkungsgrad?

Aufgabe zu Kapitel 15

Eine Wasseroberfläche besitzt eine Temperatur von 50 °C. Sie bewerkstelligen es im Labor, dass sich oberhalb der Oberfläche des Wassers in einer Anordnung Vakuum, in einer zweiten Luft und in einer dritten ein NH₃‐CH₄‐Gemisch befindet. Ordnen Sie diese Systeme in der Reihenfolge aufsteigender Wasserdampfdrücke. Wie groß ist der Druck im Fall der Luft? Schätzen Sie ihn für die anderen drei Fälle ab.

Aufgabe zu Kapitel 16

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle sechs Zahlen beim Lotto richtig zu tippen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Hauptgewinn zu erzielen (also inklusive Superzahl)?

Aufgabe zu Kapitel 17

Wie lautet die Definition der Entropie im Rahmen der statischen Thermodynamik? Wie lautet die entsprechende Definition der Temperatur?

Lösungen des Eingangstests

Im Folgenden finden Sie die Lösungen des Eingangstests zu diesem Buch. Sie sollten zunächst versuchen, die Aufgaben des Tests eigenständig zu lösen und dann Ihre Überlegungen und Rechnungen mit diesen Lösungen vergleichen. Danach können Sie die Reihenfolge festlegen, in der Sie das Buch durcharbeiten.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 2

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 3

In einem Festkörper können die Teilchen Schwingungen gegeneinander ausführen, in Gasen und Flüssigkeiten zudem Rotations‐ und Translationsbewegungen.
Die Wärmeausdehnung beruht auf der Tatsache, dass mit steigender Temperatur die Teilchen mehr Platz brauchen, um die zunehmenden Bewegungen ausführen zu können.
Die Wärmespeicherung und damit auch die spezifische Wärmekapazität hängt von der Anzahl der Möglichkeiten eines Teilchens in einem Körper ab, eine Bewegung auszuführen. Darüber hinaus spielen auch die Anzahl der Teilchen im Körper und die in der jeweiligen Bewegung gespeicherte Energie eine Rolle.
Die direkte Wärmeleitung beruht auf der Tatsache, dass die Bewegungen der Teilchen am heißen Ende eines Körpers ihren Bewegungszustand durch Stöße auf benachbarte Teilchen übertragen und auf diese Weise Wärme transportiert wird.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 4

Die Einordnung der Begriffe finden Sie in folgender Tabelle.

Intensive Zustandsgröße	Extensive Zustandsgröße	Prozessgröße
Druck	Volumen	Arbeit
Temperatur	Innere Energie	Wärmemenge
	Entropie

Tabelle 1: Die Klassifizierung der thermodynamischen Größen

Eine intensive Zustandsgröße zeichnet sich dadurch aus, dass sie konstant bleibt, wenn dass System vergrößert oder verkleinert wird. Insofern ist der Druck eine intensive Zustandsgröße.
Die innere Energie ist eine extensive Zustandsgröße, da sie sich verdoppelt, wenn man das System verdoppelt.
Die Arbeit ist eine Prozessgröße, da sie nicht geeignet ist, den Zustand eines Systems zu beschreiben. Sie ist vielmehr eine wichtige Größe, um Zustandsänderungen (d. h. Prozesse) zu beschreiben.
Der Druck in einem Fluid (Flüssigkeit oder Gas) wird durch Stöße der Teilchen auf die Gefäßwände (allgemeiner eine Fläche) hervorgerufen. Der dabei übertragene Impuls bewirkt eine Kraft, die auf die Fläche normiert den Druck ergibt.
Zum Druck tragen nur Translationsbewegungen der Teilchen bei. Die Temperatur ist hingegen ein Maß für alle in einem Körper stattfindenden Bewegungen. Dies sind neben den Translationsbewegungen auch Rotationen der Teilchen, die den Körper bilden, sowie Schwingungen der Atome in den Teilchen.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 5

Bei einer polytropen Zustandsänderung gilt:

n wird als Polytropenexponent bezeichnet. Für n gilt:

Isobar: n = 0. Das Volumen ist unabhängig vom Druck (also gilt p ⋅ Vⁿ = pV⁰ = p = konst.).
Isotherm: n = 1. Dies ist das Gesetz von Boyle‐Mariotte.
Adiabatisch bzw. isentrop: n = κ. Dabei ist κ = c_p/c_v der Isentropenexponent.
Isochor: n = ∞. Das Volumen ist konstant.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 6

Die natürlichen unabhängigen Variablen der einzelnen thermodynamischen Potentiale lauten wie folgt:

Innere Energie U: Entropie S und Volumen V
Enthalpie H: Entropie S und Druck p
Freie Energie F: Volumen V und Temperatur T
Freie Enthalpie G: Druck p und Temperatur T

Die Einheit aller thermodynamischen Potentiale ist das Joule. Das totale Differential der Enthalpie lautet:

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 7

Das ideale Gasgesetz lautet:

Dabei ist p der Druck, V das Volumen, T die absolute Temperatur, n die Stoffmenge (in Mol) und R die universelle Gaskonstante.
Bei der Herleitung der idealen Gasgleichung wird angenommen, dass die Gasteilchen kein Eigenvolumen besitzen und nicht miteinander wechselwirken.
Die Van‐der Waals‐Gleichung lautet:

Dabei sind der Kohäsionsdruck a und das Kovolumen b Materialkonstanten.
Auch die Van‐der‐Waals‐Gleichung ist nur eine Näherung.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 8

Das CO₂‐Molekül besteht aus m = 3 Atomen. Daher beträgt die Anzahl der Freiheitsgrade f = 3m = 9.
Da das CO₂‐Molekül linear angeordnet ist, sind Rotationen um die Längsachse des Moleküls nicht möglich. Daher verteilen sich die Freiheitsgrade wie folgt:
Der Isentropenexponent beträgt:
Für die innere Energie ergibt sich der folgende Ausdruck:

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 9

Bei einem thermischen Gleichgewicht ist die Temperatur aller Komponenten des Systems gleich. Selbst wenn sie sich in engem Kontakt miteinander befinden, fließt zwischen ihnen keine Wärme.

Im thermodynamischen Gleichgewicht sind nicht nur die Temperatur, sondern auch die Zustandsgrößen Druck und (mittlere) Stoffmenge konstant.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 10

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet:

Dabei sind ΔU die Änderung der inneren Energie, ΔQ die ausgetauschte Wärmemenge und ΔW die zugeführte/geleistete Arbeit. Letztere sind positiv, wenn sie dem System von außen zugeführt werden; sie sind negativ, wenn sie vom System abgegeben werden.
Bei einem isochoren Prozess ist das Volumen konstant; also muss keine Volumenarbeit geleistet werden. Daher gilt für die innere Energie:
Bei einem adiabatischen Prozess wird keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht. Also gilt:

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 11

Ein Prozess, de nur in eine Zeitrichtung verlaufen kann, wird als irreversibel bezeichnet. Beispiele irreversibler Prozesse sind u. a.:

Eine Vase fällt von einem Regal und zerschellt.
In zwei benachbarten Behältern befinden sich zwei verschiedene Gase. Entfernt man die Trennung zwischen den Behältern, mischen sich die Gase unwiderruflich.
Bringt man zwei Körper unterschiedlicher Temperatur in Kontakt, so gleichen sich die Temperaturen unwiderruflich an.
Verbindet man einen gasgefüllten und einen evakuierten Behälter, so füllt das Gas das gesamte zur Verfügung stehende Volumen aus.

Die Ursache der Festlegung der Zeitachse ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. Er besagt, dass die Entropie in einem geschlossenen adiabatischen System niemals abnimmt. Genau dies wäre allerdings erforderlich, damit die hier dargestellten Prozesse umgekehrt ablaufen können.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 12

Der absolute Nullpunkt der Temperatur kann nicht erreicht werden. Dies ist die zentrale Aussage des dritten Hauptsatzes der Thermodynamik. Sie brauchen Ihre Phantasie gar nicht spielen zu lassen. Das Ziel ist unerreichbar.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 13

Bei allen drei Maschinen gibt es zwei Wärmereservoire.

Bei einer Wärmekraftmaschine wird einem heißen Reservoir Wärme entzogen und zum Teil in Arbeit umgewandelt. Die übrige Wärme wird an eine Wärmesenke abgegeben.
Eine Wärmepumpe dient dazu, einen Körper oder ein System zu erwärmen. Dazu wird Wärme unter Aufwand von Arbeit einem kalten Reservoir entzogen und an den zu erwärmenden Körper weitergegeben.
Eine Kältemaschine dient dazu, einen Körper oder ein System abzukühlen. Dazu wird ihm unter Aufwand von Arbeit Wärme entzogen und an ein Wärmereservoir abgegeben.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 14

Beim Ottoprozess wird der Kraftstoff als Benzin‐Luftgemisch angesaugt und dann durch die Zündkerze gezündet. Beim Dieselmotor wird der Kraftstoff zum geeigneten Zeitpunkt in die Luft eingespritzt, die so stark komprimiert ist, dass sich das Gemisch selbst entzündet.

Thermodynamisch ist der Ottoprozess ein Gleichraumprozess, der Dieselprozess ein Gleichdruckprozess. Für den Ablauf der Kreisprozesse gilt:

Ottoprozess: isentrop → isochor → isentrop → isochor
Dieselprozess: isentrop → isobar → isentrop → isochor

Für die Wirkungsgrade gilt:

Dabei sind κ der Isentropenexponent, ε das Verdichtungsverhältnis der beiden Volumina und φ das Volldruckverhältnis. Bei gleichem Verdichtungsverhältnis ist der Wirkungsgrad eines Ottomotors größer, aber beim Dieselmotor sind höhere Verdichtungsverhältnisse möglich.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 15

Der Gleichgewichtsdruck von Wasserdampf über einer Oberfläche hängt nur von der Temperatur der Wasseroberfläche ab. Insofern ist er für alle drei Fälle gleich. Aus der Magnusformel ergibt sich:

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 16

Wichtig bei der Berechnung der Lottowahrscheinlichkeit ist, dass die Reihenfolge der Ziehung keine Rolle spielt. Zudem werden die gezogenen Kugeln nicht in die Trommel zurückgelegt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die als erste Zahl gezogene Kugel richtig haben, beträgt 6/49. Bei der zweiten Kugel sind nur noch 48 Kugeln in der Trommel, aber sie haben nur noch fünf freie Plätze. Insgesamt gilt also:

6/49 · 5/48 · 4/47 · 3/46 · 2/45 · 1/44 =

Dies lässt sich auch folgendermaßen darstellen:

Die Wahrscheinlichkeit, auch die Superzahl richtig zu haben, beträgt:

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 17

Die Entropie eines Systems ist der Logarithmus seines Phasenraums multipliziert mit der Boltzmannkonstante:

Dabei ist der Phasenraum die Anzahl der Möglichkeiten, einen gegebenen Makrozustand durch Mikrozustände zu realisieren.

Die Temperatur ist als Ableitung der Entropie nach der Energie definiert: