Denna bok har som syfte att vara en matematikbok för utveckling av matematiska modeller inom kombinationsmatematiken och inte som anvisningar och råd för spel. Varför boken trots detta utformats på ett sätt som delvis kanske kan tolkas som en spelsystemsbok, ÄR för att det inte på något annat sätt tydligare gått att redovisa dess upptäckt inom kombinationsmatematiken! Med andra ord är det i stort sett omöjligt att på annat sätt redogöra för alla de oändligt många möjliga användningsområden det annars går att applicera dessa matematiska modeller på, vilket gjort att jag tvingats begränsa mig till några av de vanligaste: matematiska modeller för spelsystem såsom Keno, Lotto, Måltips och Stryktips!
Om läsaren väljer att använda bokens information, modeller, system med mera för spelande i praktiken är läsaren själv ansvarig för sådan användning i sitt handlande. Det är i så fall även läsarens eget ansvar att följa de lagar och regler som gäller för spel oavsett var geografiskt i världen spelet än sker.
Varken författare eller bokförlag åtar sig något ekonomiskt ansvar för ekonomisk förlust, ekonomisk skada eller utebliven vinst som kan ha uppkommit om innehållet, modeller, system med mera ur denna bok av läsaren omsatts till spel. Varken författare eller förlag bär heller något ansvar för ekonomisk förlust, ekonomisk skada eller utebliven vinst i spel på grund av eventuellt tryckfel eller skrivfel i bokens tabeller, matematiska modeller eller färdiga systemmallar. Allt har dock gjorts för att undvika sådana fel i text, tabeller, modeller och system.
Ansvaret för användandet av system, modeller med mera ur denna bok i praktiskt spelande, vilar med andra ord helt och hållet på den enskilde användaren/spelaren.
Dock, med ovan skrivet, motsätter sig författaren inte att informationen och samtliga modeller och system i denna bok eventuellt användas för eget praktiskt spel av enskilda spelare eller i spelbolagsform.
I övrigt äger författare upphovsrätt och samtliga övriga rättigheter till denna bok om ej annat skriftligen överenskommits mellan författare och annan part. Material får därför inte utan skriftligt medgivande från författare publiceras eller vidarebefordras utöver vad som står skrivet i Lagen om upphovsrätt gällande såväl nationellt som internationellt.
Genom att som läsare läst denna ovan skrivna information har också denna information i sin helhet accepterats.
© J T Schönenberg 2019
Omslagsfoton, illustrationer, tabeller, system: J. T. Schönenberg
Förlag: BoD – Books on Demand GmbH, Stockholm, Sverige
Tryck: BoD – Books on Demand GmbH, Norderstedt, Tyskland
ISBN: 978-91-7851-321-5
Diskreta matematiken, som handlar om heltalen och även fått namnet: Den avancerade matematiken, inkluderar huvudgrenen kombinatoriken. Kombinatoriken har i sin tur tre grenar: Permutationer, variationer och kombinationer. Kombinationer, eller kombinationsmatematiken, har innan bara haft en partvingande gren men genom den redovisade utvecklingen i denna bok tillkommer även en andra gren: Icke partvingande kombinationsmatematik. För att få en introducerande inblick i denna andra gren och lite kunna förstå vad denna bok handlar om, kommer här tre viktiga berättelser.
Första berättelsen (berättelsen om Sjörövarkaptenens problem) inleder med ett matematiskt problem som denna optimalt reducerade kombinationsmatematik kan lösa.
Andra och tredje berättelsen ger en viss inblick i hur man bör se på och förstå kombinationsmatematikens minsta beståndsdelars (k) ”beteende” i praktiken, (De Tre Barnens Fotbollsmatch), samt dessa beståndsdelars kombinationsmatematiska ”(k)-mönster”, (Segelflygande Fågeln). Tillsammans förklarar dessa tre berättelser själva grunderna i skapandet av matematiska modeller och system inom Icke partvingande kombinationsmatematiken.
1) Sjörövarkaptenens Problem
En sjörövarkapten hade kidnappat ett ungt par som han fört till sitt näste, en grotta, på en öde ö ute till havs. Eftersom han fann den unga kvinnan vacker och den unge mannen stark och muskulös, berättade han för de båda att han tänkte gifta sig med den unga kvinnan och att den unge mannen skulle bli sjöpirat i hans sjörövarband. Men ett sådant öde ville inte det unga paret vara med om och frågade därför om det inte fanns ett sätt för dem båda att få undslippa sjörövarkaptens plan och istället släppas fria?
Sjörövarkapten kliade sig tankfullt i skägget innan han kom på att han var mycket road av olika spel och tog därför fram fjorton stycken lika stora snäckskal, två små urnor samt penna och papper. Han tog pennan och skrev en av siffrorna 1 till och med 7 på respektive snäckskal av de första sju, lade dem i första urnan och gjorde samma med de övriga sju snäckskalen och lade dem i den andra urnan medan han därefter överräckte pennan och pappret till det unga paret med orden:
”Jag har nu lagt i sju stycken snäckskal i vardera urna, som vart och ett av dem har fått skrivet på sig från siffran 1 till och med siffran 7. Jag kommer därefter att tre gånger ta tre numrerade snäckskal åt gången från den första urnan och tre gånger ta fyra numrerade snäckskal från den andra urnan.
Er uppgift blir att skriva ned några trenummers och fyranummers rader på pappret så att någon av era nedskrivna trenummers rader har minst två matchande nummer med de tre nummer jag kommer att dra bland mina sju numrerade snäckskal från den första urnan samt minst tre matchande nummer av de fyra från den andra urnan. Om ni vid alla mina tre dragningar från första urnan har minst två överensstämmande matchande nummer med de dragna snäckskalen bland era rader, kommer jag att släppa mannen av er fri. Om ni vid alla mina tre dragningar från den andra urnan har minst tre överensstämmande nummer med de fyra snäckskalen jag kommer att dra bland era nedskrivna rader, kommer jag att släppa kvinnan av er fri, annars måste en av er eller båda stanna. Har ni förstått?”
Den unga kvinnan, som utan sjörövarkaptens vetskap var duktig inom kombinationsmatematiken, svarade:
”Ja, vi har förstått! Men hur många trenummers och fyranummers rader får vi skriva ned?”
Det hade sjörövarkapten inte tänkt på men svarade snabbt:
”Ni får skriva ned tio trenummers rader och femton fyranummers rader!”
Entusiastiskt glatt utbrast den unga kvinnan:
”Det klarar jag!”
Sjörövarkapten, som förstod att han gjort ett misstag och sagt fel då han absolut inte vill släppa det unga paret fria, hostade harklande sig och sa:
”(Host), (host)… Jag råkade säga fel… jag menar att ni bara får skriva ned sju trenummers rader och tolv fyranummers rader!”
Den unga kvinnan sa återigen glatt entusiastiskt:
”Ja, det klarar jag!”
Nu blev sjörövarkapten väldigt osäker och kallade därför till sig sin främsta rådgivare, som var väl insatt i matematik. Han tog rådgivaren avsides från det unga paret och berättade för honom om vad han hade ställt upp för två problem åt det unga paret för att de två skulle få bli fria, men att han absolut inte ville släppa de två. Han hade blivit osäker över att den unga kvinnan var så självsäker på att de skulle lyckas bli fria. Vad skulle han göra?
Rådgivaren förklarade för sjörövarkapten att eftersom han satt upp ett matematiskt kombinationsproblem där han skulle dra tre nummer ur sju möjliga, blir det totala antal kombinationer enligt formeln:
Men eftersom sjörövarkapten satt upp som krav att det räcker med att två nummer i någon av det unga parets nedskrivna rader matchar med sjörövarkaptens tre efterhand dragna trenummers rader, handlar det om par och antal par blir enligt samma formel följande:
Det går tre par i varje trenummers rad, exempelvis 1, 2, 3 = 1-2 + 1-3 + 2-3, vilket faktiskt i praktiken i detta system ger 21/3=7 rader! Detta kan man faktiskt beräkna med en och samma formel där man sätter in antal möjliga nummer (n) tillsammans med antal nummer som dras per gång (k) och antal nummer som måste matcha (t) och blir då;
På liknande sätt blir det med samma formel för(n=7), (k=4) och med kravet (t=3) vilket innebär att vid varje fyranummerdragning måste minst tre nummer i någon av deras nedskrivna rader matcha tre nummer av de fyra dragna vilket gör att det krävs det antal rader som man kan beräkna med formeln:
Resultatet 8,75 rader måste avrundas uppåt till 9 fyranummers rader för att teoretiskt täcka samtliga möjliga tripplar. Men detta är i praktiken omöjligt att täcka med enbart 9 rader då det finns en lägre gräns för hur många rader som krävs för en sådan täckning, därför måste det till fler rader.
När då den unga kvinnan så självsäkert sagt att hon klarar av att med sju nedskrivna rader lyckas få minst en rad som med minst två nummer matchar de dragna tre numren och med tolv fyranummers rader få minst en rad med tre nummer som matchar tre av de dragna fyra numren, känner hon till resultatet ur kombinationsmatematikens formler i praktiken! Jag måste först skapa dessa två system i praktiken för att se hur de kan se ut.
Medan rådgivaren med penna och papper började skissa ned hur systemen måste se ut enligt hans beräkningar i verkligheten, stod sjörövarkaptenen och betraktade den vackra unga kvinnan på avstånd och tänkte för sig själv att han minsann inte skulle släppa henne fri för hon skulle bli till hans hustru!
Efter en stund var rådgivaren klar.
”Så här ser min lösning ut!”:sa han och visade upp sitt resultat för sjörövarkaptenen.
”Jag har nu konstaterat att det krävs sju rader för tre nummerkombinationerna för att täcka alla paren och få minst två rätt av tre möjliga och cirka tolv rader för fyra nummerkombinationerna för att täcka samtliga tripplarna för att få minst tre rätt av fyra möjliga. Något annat är intill omöjligt!”.
Segervisst sträckte sjörövarkapten på sig, kliade sig i skägget och gick med rådgivaren i följe tillbaka till det unga paret. Han harklade sig och sa självsäkert:
”Ursäkta mig, men jag sa fel… jag menar fem rader för respektive urnas dragning!”
Därefter vände han sig med en ögonblinkning åt rådgivaren som också han log segervisst.
”FEM RADER?!”: utbrast den unga kvinnan förfärat. Både sjörövarkaptenen och rådgivaren skrattade.
”Ja! Fem rader och inte en rad över det!”:utbrast sjörövarkaptenen.
Surmulet betraktade den unga kvinnan de båda och frågade:
”Kan man lita på det nu? Är det ditt sista bud…?”
Sjörövarkapten blev för ett ögonblick allvarlig och svarade:
”Ja, det är mitt sista bud! Jag säger det inför min rådgivare som vittne! Om ni, mot förmodan, skulle klara av att lösa uppgiften med enbart fem nedskrivna rader för någon eller för båda urnorna, kan någon av er eller båda med en fulltankad motorbåt på stranden lämna ön som fria människor! Men så kommer det inte att bli för uppgiften är omöjlig att lösa!” Därefter skrattade sjörövarkapten och rådgivaren framåtböjda så de kiknade av skratt. Den unga kvinnan sa:
”Än är det inte över… Jag ska försöka…”
Medan sjörövarkapten och rådgivaren fortsatte skratta, gick hon avsides med papper och penna en stund innan hon till sist skrev ned fem rader för respektive urnas dragningar som hon överlämnade till rådgivaren som höll upp dem medan sjörövarkapten skrattande stack ned sin hand i första urnan för att dra de första tre snäckskalen. När han drog upp de första tre snäckskalen, jämförde de alla dem genast med de fem rader som rådgivaren höll upp. Jo, det fanns en rad med två matchande nummer bland de fem nedskrivna.
”Där hade ni tur!”: sa sjörövarkapten och lade tillbaka skalen för att dra en andra gång. Han drog en andra gång och även då blev det åter två matchande nummer rätt! Nu slutade både sjörövarkapten och rådgivaren att skratta och blev mer allvarliga.
”Det var som…”: grymtade sjörövarkapten medan han lade tillbaka skalen för att dra en tredje och sista gång.
Han drog den tredje och sista gången och ännu en gång blev det två matchande nummer bland de fem raderna med de tre dragna snäckskalen.
”Ja, med sådan tur innebär det att du får lämna ön som en fri man!”:sa han dämpat besviket och nickade menande till den unge mannen.
”Men nu återstår dragningarna för dig, min sköna!”:utbrast han entusiastiskt och tittade på den unga kvinnan medan han stack ned handen i den andra urnan för att dra de första fyra snäckskalen. Han drog en först gång och det fanns även där en rad med tre matchande nummer av fyra bland raderna.
”Det var då…”:grymtade sjörövarkaptenen medan han lade tillbaka snäckskalen för en andra dragning.
Han drog en andra gång och återigen blev det tre av fyra matchande nummer. Sjörövarkaptenen började nervöst skälva medan han lade tillbaka skalen för tredje och sista dragningen.
”Du kan omöjligt ha sådan tur även en tredje gång…?”:muttrade kaptenen.
”Det är inte tur… det är skicklighet!”:sa den unga kvinnan segervisst.
Sjörövarkaptenen drog en sista gång och än en gång fanns det tre matchande nummer av fyra bland de fem raderna.
Sjörövarkapten insåg att spelet blivit till förlust för honom men försökte förgäves nervöst ändå vinna:
”Ska vi ta bäst av tio…?”: föreslog han medan han återigen lade tillbaka skalen i urnan.
Den unga kvinnan vände sig mot den unge mannen, tog honom lugnt i handen och sa till honom:
”Kom! Nu åker vi hem, spelet är över… vi vann!”
Lugnt lämnade de båda grottan, satte sig i den fulltankade motorbåten på stranden och lämnade ön för att köra hem till friheten, medan sjörövarkapten och rådgivaren förgäves fortsatte dra nya rader för att finna en rad som de fem nedskrivna raderna inte matchade!
Vad jag vet står de två där fortfarande och desperat drar rad efter rad efter rad efter rad… medan det unga paret levde lyckliga i alla sina dagar!
Vilka fem rader för respektive urna skrev den unga kvinnan ned?
(Svaret finns på sidan →-→)
2) De Tre Barnens Fotbollsmatch
Tre barn, en pojke och två flickor, hade lyckats ta sig in på stadens stora fotbollsarena för att spela fotboll. När de kom ned till planen sa pojken till de båda flickorna att de skulle springa och ställa sig i varsitt mål som målvakter, medan han själv sprang till mittcirkeln med deras medhavda boll.
De båda flickorna gjorde som de blivit tillsagda och pojken lade bollen mitt på mittlinjen på avsparkspunkten i mittcirkeln. Men väldigt snabbt kom han på att om de båda flickorna stod som målvakter i varsitt mål, fanns det bara en enda utespelare: han själv! Därför kallade han på den ena flickan så de båda spelade som två utespelare mot ett mål.
Men innan han kom på sin kloka tanke hade han redan konstaterat att då han stod mitt på mittlinjen, hade varje planhalva två spelare eftersom de båda planhalvorna ”äger” mittlinjen! Men så fort han tog ett steg in på den ene eller den andre planhalvan, var det två spelare på den ena planhalvan och en ensam spelare, målvakten, på den andra oavsett på vilken planhalva han steg in på!
En oerhört viktig insikt att ha med sig för utveckling av system inom kombinationsmatematiken!
3) Segelflygande Fågeln
Tänk dig att du nu är en segelflygande fågel över en liggande rektangulär simbassäng med en trappstege ned i bassängen i rektangelns nedre vänstra hörn samt en likadan i bassängens övre högra hörn.
Nu kommer två skolklasser med stimmiga åttaåriga elever och deras två lärare och skall bada!
I de båda klasserna finns vardera en liten grupp av flickor som absolut inte vill bada då de menar att pojkarna är busigt elaka och stänker vatten i ögonen på dem! Men de båda lärarna är bestämda och säger att alla ska bada eller i varje fall gå ner och doppa sig i bassängen! Lärarna menar att de kommer hålla ögonen på alla i bassängen och något bus kommer inte att förekomma!
I de båda klasserna finns också vardera en grupp med några bråkiga pojkar som är rivaler till varandra mellan klasserna och hotar varandra med att de ska doppa varandra under vattnet!