Heinrich Hemme
Das Hexen-1×1
100 mathematische Rätsel
mit ausführlichen Lösungen
Anaconda
Die Originalausgabe erschien 2000 bei Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen unter dem Titel Das Hexeneinmaleins. 100 mathematische Rätsel mit ausführlichen Lösungen.
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ISBN 978-3-641-27630-0
V002
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Aus Eins mach Zehn,
Und Zwei lass gehn,
Und Drei mach gleich,
So bist du reich.
Verlier die Vier!
Aus Fünf und Sechs,
So sagt die Hex,
Mach Sieben und Acht,
So ist’s vollbracht:
Und Neun ist Eins,
Und Zehn ist keins.
Das ist das Hexeneinmaleins.
Wer kennt es nicht, Johann Wolfgang von Goethes Hexeneinmaleins aus dem Faust!
Der große englische Rätselerfinder Henry Ernest Dudeney (1857−1930) schrieb in der Einleitung seines 1907 erschienen Buches The Canterbury Puzzles, man könne Knobeleien aus fast allem machen: aus Münzen, Streichhölzern, Spielkarten, Spielsteinen, Draht, Schnur, Zahlen und Buchstaben. Warum also nicht auch aus Goethes Hexeneinmaleins?
Der Arzt Ferdinand Maack (1861−1930), der ein Experte für obskure Mischungen aus Esoterik und Mathematik war, sah 1926 in dem Hexeneinmaleins eine Herstellungsanleitung für ein semimagisches Quadrat dritter Ordnung. Bei einem solchen Quadrat sind neun Zahlen in einem 3 x 3-feldrigen Raster so verteilt, dass die Summen der Zahlen in jeder Reihe und in jeder Spalte gleich sind. Maack glaubte, man müsse zuerst die Zahlen von 1 bis 9 in ihrer natürlichen Reihenfolge in das Quadrat schreiben und sie dann nach den Weisungen des Dichters umsetzen.
| Aus 1 mach 10: | Ersetze die 1 durch eine 10. |
| Und 2 lass gehn: | Die 2 lass stehn. |
| Und 3 mach gleich: | Die 3 bleibt am gleichen Platz. |
| Verlier die 4: | Ersetze die 4 durch eine 0; die verlorengegangene 4 kommt auf den Platz der 9. |
| Aus 5 und 6 mach 7 und 8: | Vertausche die Plätze der 5 und der 6 mit denen der 7 und der 8. |
| Und 9 ist 1, Und 10 ist keins. | Aus 9 Feldern kann man ein magisches Quadrat machen, aus zehn Feldern aber nicht. |
Tatsächlich erhält man dadurch ein semimagisches Quadrat mit der Reihen- und Spaltensumme 15.
Aber hat Goethe mit seinen Versen dies wirklich gemeint? Wohl kaum! Goethe hielt sehr wenig von Zahlenspielereien und wollte bei dem Hexeneinmaleins wahrscheinlich nur mit Wörtern klimpern.
Die hundert Probleme des Hexeneinmaleins dieses Buches sind anderer Art. Um sie zu knacken, braucht man zwar auch Fantasie, aber man muss die Lösungen nicht an den Haaren herbeiziehen.
Die Aufgaben sind unterschiedlich schwer. Einige sind mathematische Scherze, für andere sind Grundkenntnisse der Zahlentheorie, der Geometrie, der Topologie, der Kombinatorik oder der Logik notwendig. In der Regel reichen aber der gesunde Menschenverstand und die Schulmathematik aus.
Ich habe viel Zeit und Mühe darauf verwandt, die Geschichte der einzelnen Probleme zurückzuverfolgen, um ihre Erstveröffentlichung oder sogar ihre Erfinder zu entdecken. Aber ich glaube kaum, dass mir das in vielen Fällen gelungen sein wird. Trotzdem habe ich immer die älteste Quelle angegeben, die ich gefunden habe. Ich bin jedem Leser dankbar, der mir eine ältere Literaturstelle nennen kann.
Ich bedanke mich bei Helmut Postl aus Wien und Torsten Sillke aus Frankfurt für die Hilfe bei diesem Buch.
Heinrich Hemme
Zwei Jahre sind seit dem Erscheinen der ersten Auflage des Buches verstrichen. In dieser Zeit habe ich durch etliche Hinweise von Leserinnen und Lesern und durch eigene Recherchen manche meiner Quellenangaben durch ältere ersetzen und somit die Geschichte der Denksportaufgaben ein wenig weiter zurückverfolgen können.
Zwei Jahrzehnte nach der ersten Auflage dieses Buches liegt nun eine dritte vor. Wie schon bei der zweiten Auflage konnten auch bei der dritten mithilfe der Leserinnen und Leser etliche Quellen durch ältere ersetzt und einige Lösungen korrigiert und erweitert werden.
Aufgaben
1.Neunzehnhundertneunundneunzig
2.Zahlenraten
3.Das Münzdreieck
4.Unendlich viele Wurzeln
5.Linsen und Halbmonde
6.Der Weg des Löwen
7.Der zweite Weg des Löwen
8.Der gefaltete Buchstabe
9.Das Mon
10.Schwäger
11.Fehlersuche
12.Die Schläge der Turmuhr
13.Ein Möbiusband aus Dreiecken
14.Zeichnen eines Quadrates
15.Drei Kreise
16.Send more money
17.Der Streichholzfisch
18.Der Streichholzhund
19.Die Streichholzgiraffe
20.Ein Polygon mit Rahmen
21.Dreiecke mit 60°-Winkeln
22.Der wackelnde Barhocker
23.Die vier Vieren
24.Die nächsten vier Vieren
25.Weitere vier Vieren.
26.Der Lichtstrahl zwischen den Spiegeln
27.Die halbierte Spanplatte
28.Zahlenreihen
29.Vater und Großvater
30.Rollende Zylinder
31.Fakultäten
32.Die geometrische Reihe
33.Die harmonische Reihe
34.Die Dominotreppe
35.Die Rosette
36.Sechs Streichhölzer
37.Die Dreitafelprojektion
38.Eine zweite Dreitafelprojektion
39.Eine minimalistische Skulptur
40.Eurostücke und Cents
41.Zerschneiden eines Kreises
42.Punkte und Geraden
43.Die Spinne und die Fliege
44.Die Kirche
45.Der zerbrochene Stab
46.Weitere zerbrochene Stäbe
47.Vier Karten
48.Wer erschoss den Sheriff?
49.Konzyklische Punkte
50.Die Frensländer Nationalbibliothek
51.Falten eines Würfels
52.Falten eines schwarzen Würfels
53.Burg Frenswegen
54.Die Hausnummer
55.Buchstabenstreichen
56.Kreise und Tangenten
57.Der unbekannte Winkel
58.Der Würfelknoten
59.Das Dreieck im Dreieck
60.Das Mittenzwey-Rechteck
61.Hexaedernetze
62.Würfelnetze
63.Ikosaedernetze
64.Der Zug der Dame
65.Die gefälschte Münze
66.Die Münzreihe
67.Die zweite Münzreihe
68.Calissons
69.Das Quadrat und die vier Dreiecke
70.Celsius oder Fahrenheit?
71.Zehnecke
72.Die vierte Fläche
73.Gefaltete Quadrate
74.Eine Zehn-Sekunden-Aufgabe
75.Der Mittelwertswürfel
76.Der zweite Mittelwertswürfel
77.Die Linie auf dem Tennisball
78.Dreierdifferenz
79.Die Möndchen des Hippokrates
80.Alfreds Alter
81.Schnittpunkte
82.Kartenspiele
83.Buchfolie und Würfel
84.Das Zwölfeck
85.Das Labyrinth
86.Die Halbierung der fünf Kreise
87.Die Fünftelung
88.Die Quadratur der Pentominos
89.Eine weitere Quadratur der Pentominos
90.Viereckige Schachteln
91.Die Zielscheibe
92.Die gleichziffrige Differenz
93.Die Schlösser
94.Zwei Schrauben
95.Hin- und Rückflug
96.Dreiecke
97.Direktor Talers Baum
98.Der zerstreute Kassierer
99.Die beiden Pyramiden
100.Quadratverdopplung
Lösungen
Diese fehlerhafte Gleichung, bei der auf der linken Seite die Jahreszahl Neunzehnhundertneunundneunzig steht, ist aus siebenunddreißig Streichhölzern zusammengesetzt.
Indem man drei Hölzer in eine andere Lage bringt, kann man sie richtigstellen. Welche Hölzer müssen verlegt werden? Der Ausdruck muss dabei eine Gleichung bleiben und darf nicht zu einer Ungleichung gemacht werden.
(Lösung hier)
Alfred hält ein zusammengefaltetes Blatt Papier in der Hand und sagt zu Berta: »Ich habe auf diesen Zettel fünf ungerade Ziffern geschrieben. Rate einmal, welche es sind.« Berta antwortet: »Gib mir etwas mehr Informationen.« »Wenn ich die Zahlen auf dem Zettel zusammenzähle, erhalte ich 14«, sagt Alfred.
Welche Zahlen stehen auf dem Blatt?
(Lösung hier)
Zehn Münzen sind zu einem Dreieck ausgelegt worden, das mit der Spitze nach oben zeigt. Durch Verschieben von so wenigen Münzen wie möglich soll das Dreieck auf den Kopf gestellt werden, sodass anschließend die Spitze nach unten zeigt.
(Lösung hier)
Vereinfachen Sie diese unendlich tief geschachtelten Wurzeln soweit wie möglich.
(Lösung hier)
Diese Figur besteht aus zwei ineinander verschachtelten Quadraten und einem Kreis. Die Bögen im Inneren des kleinen Quadrates sind Halbkreise.
In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der linsenförmigen und der halbmondförmigen weißen Stücke?
(Lösung hier)
Der Löwe ist eine neue Schachfigur, die drei verschiedene Zugmöglichkeiten hat: Entweder ein Feld nach unten oder ein Feld nach rechts oder ein Feld diagonal nach oben links.
Kann man mit dem Löwen auf einem m×n-feldigen Schachbrett einen geschlossenen Rundzug machen, das heißt, kann man nacheinander m·n Züge machen, bei denen jedes Schachfeld genau einmal erreicht wird und der Löwe zum Schluss wieder auf dem Ausgangsfeld steht?
(Lösung hier)
Kann der Löwe aus der vorherigen Aufgabe auf jedem beliebigen m×n-feldigen Schachbrett nacheinander mn-1 Züge machen und bei dieser Tour jedes Feld gerade einmal betreten? Das Startfeld darf dabei frei gewählt werden.
(Lösung hier)
Ein Blockschrift-Buchstabe aus Papier ist einmal gefaltet worden. Dadurch hat er die skizzierte Form bekommen. Der Buchstabe ist kein L. Welcher Buchstabe ist es dann?
(Lösung hier)
Die Skizze zeigt ein Mon, ein japanisches Familienwappen. Es lässt sich leicht aus acht gleich großen Papierquadraten − vier weißen und vier schwarzen − zusammenkleben.
Kann man das Mon auch aus weniger als acht Stücken Papier basteln?
(Lösung hier)
Bei einer Familienfeier stellt sich heraus, dass jeder der anwesenden Männer mit jedem anderen verschwägert ist. Als verschwägert gelten dabei zwei Männer nur dann, wenn einer der beiden nach dem geltenden deutschen Recht mit der lebenden Schwester des anderen verheiratet ist.
Wie viele Männer können höchstens bei der Familienfeier sein?
(Lösung hier)
Carl hat einen Artikel für eine Zeitschrift geschrieben. Er gibt Alfred und Berta je eine Fotokopie seines Artikels und bittet sie, ihn Korrektur zu lesen.