Henry Ernest Dudeney (1857–1930)
116 neue Denk- und Knobelspiele
Aus dem Englischen
von Jens Knipp und Kai Kilian
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Titel der englischen Originalausgabe: Amusements in Mathematics.
London: T. Nelson & Sons, 1917. Die Auswahl von 116 der insgesamt
430 dort präsentierten Denk- und Knobelspiele übernahmen die
Übersetzer Jens Knipp und Kai Kilian.
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind
im Internet unter www.dnb.de abrufbar.
© 2011 Anaconda Verlag,
in der Verlagsgruppe Random House GmbH,
Neumarkter Str. 28, 81673 München.
ISBN 978-3-7306-9036-9
V002
www.anacondaverlag.de
Die Chinesen sind ein eigentümliches Volk und pflegen auf merkwürdig verkehrte Weise an Dinge heranzugehen. Man sagt ihnen nach, dass sie Sägen verwenden, die ausschließlich auf Zug arbeiten; dass sie Dielenbretter glätten, indem sie den Hobel auf den Körper zubewegen anstatt von ihm weg; und dass sie beim Hausbau zuerst das Dach errichten, wonach sie, nachdem dieses in die richtige Position gehoben ist, darunter weiterbauen. Die Währungseinheit des Landes bildet, mit schwankendem Wert, das Tael. Dieses wurde im Laufe der Zeit immer dünner, bis schließlich ein Stapel von 2.000 Stück keine drei Zoll Höhe mehr maß. Das gewöhnliche Bargeld besteht aus Messingmünzen unterschiedlicher Dicke mit einem runden, quadratischen oder dreieckigen Loch in der Mitte, wie auf unserer Abbildung zu sehen. Sie werden wie Knöpfe auf Fäden aufgereiht. Nehmen wir an, dass elf Münzen mit rundem Loch 15 Chingchangs wert sind, elf Stück mit quadratischem Loch 16 Chingchangs und elf mit dreieckigem Loch 17 Chingchangs: Wie kann ein Chinese mir eine halbe Krone wechseln, ohne andere Münzen als die genannten zu verwenden? Ein Chingchang ist genau 2 Pence und 
eines Chingchangs wert.
Das abgebildete Ziffernblatt zeigt ein wenig vor 42 Minuten nach 4 Uhr an. Die Zeiger werden etwas später als 23 Minuten nach 8 Uhr erneut auf die gleichen Positionen zeigen. Allerdings werden die Zeiger die Plätze getauscht haben. Wie tauschen die Zeiger ihre Plätze zwischen 3 Uhr nachmittags* und Mitternacht? Und von allen Uhrzeitenpaaren, die hierbei angezeigt werden: Wie lautet der exakte Zeitpunkt, wann der Minutenzeiger am nächsten an der Ziffer IX liegt?
Eines Abends stellte man fest, dass eine der großen Uhren im Cogitators’ Club derart stehen geblieben war, dass sich der Sekundenzeiger – wie die Abbildung zeigt – exakt zwischen den anderen beiden Zeigern befand. Ein Mitglied forderte einige der Freunde auf, ihm zu sagen, zu welcher Zeit genau (wäre die Uhr nicht stehen geblieben) der Zeiger erneut zwischen Stunden- und Minutenzeiger stehe. Können Sie den exakten Zeitpunkt ermitteln?
Auf der Abbildung sehen wir eine Zeichnung von Sir Edwyn de Tudor, wie er soeben zur Rettung seiner Herzdame eilt, der liebreizenden Isabella, die von einem bösen benachbarten Baron gefangen gehalten wurde. Sir Edwyn überschlug, dass er, führe er fünfzehn Meilen pro Stunde, genau eine Stunde zu früh das Schloss erreichte, während er bei einer Geschwindigkeit von 10 Meilen pro Stunde genau eine Stunde zu spät wäre. Nun war es jedoch von höchster Wichtigkeit, dass er exakt zum verabredeten Zeitpunkt dort einträfe, um die geplante Rettung zum Erfolg zu führen, und der Zeitpunkt der Verabredung war pünktlich um 17 Uhr, wenn die gefangene Lady ihren Nachmittagstee nähme. Das Rätsel ist herauszufinden, wie weit genau Sir Edwyn fahren musste.
Ein Mann kaufte einen Restposten Wein in Fässern und ein Fass, das Bier enthielt. Auf der Abbildung sind die Fässer zu sehen, beschriftet mit der Anzahl von Gallonen, die sie jeweils enthielten. Er verkaufte eine bestimmte Menge Wein an einen Mann und die doppelte Menge an einen anderen, behielt das Bier jedoch für sich selbst. Es gilt nun herauszufinden, welches der Fässer das Bier enthält. Wissen Sie, welches es ist? Natürlich verkaufte der Mann die Fässer so, wie er sie erworben hatte, ohne sich in irgendeiner Weise am Inhalt zu vergehen.
Wie man im Schaubild sieht, sind die neun Ziffern im Quadrat so angeordnet, dass die Zahl in der zweiten Reihe das Doppelte derer in der ersten Reihe ist, und die Zahl in der letzten Reihe beträgt das Dreifache von derjenigen in der ersten Reihe. Es gibt drei weitere Möglichkeiten, die Ziffern mit dem gleichen Resultat anzuordnen. Können Sie sie herausfinden?
Ein Mann besaß in seinem Büro drei Schränke, deren jeder neun Fächer aufwies, wie in der Abbildung zu sehen ist. Er wies seinen Angestellten an, jedes der Fächer von Schrank A mit einer einstelligen Zahl zu versehen und dies bei Schrank B und C zu wiederholen. Da wir 0 hier eine Zahl nennen dürfen und es ihm nicht verboten war, sie zu verwenden, hatte er offenkundig die Wahl, irgendeine der zehn Ziffern bei jedem Schrank fortzulassen.
Nun, der Auftraggeber hatte nicht gesagt, dass die Fächer in irgendeiner numerischen Reihenfolge zu beziffern seien, und zu seiner Überraschung stellte er nach getaner Arbeit fest, dass die Zahlen offensichtlich völlig willkürlich durcheinandergebracht worden waren. Als er seinen Angestellten um Erklärung bat, gab der exzentrische Geselle zurück, er habe den Einfall gehabt, die Ziffern so zu arrangieren, dass sie in allen Fällen eine einfache Addition bildeten, wobei die beiden oberen Reihen die Summe in der dritten Reihe ergäben. Aber der überraschendste Punkt war dieser: Die Addition auf Schrank A ergab die kleinstmögliche, diejenige auf Schrank C hingegen die größtmögliche Summe, und alle neun Ziffern in den drei Summen waren unterschiedlich. Nun gilt es herauszufinden, wie dies zu bewerkstelligen ist. Nur einstellige Ziffern sind erlaubt, und die 0 darf nicht an der Hunderterstelle erscheinen.
Ich habe neun Zählsteine, die jeweils eine der neun Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 tragen. Ich habe sie auf dem Tisch solcherart in zwei Gruppen angeordnet, wie in der Abbildung gezeigt, dass sie zwei Multiplikationen bilden, und festgestellt, dass beide Rechnungen das gleiche Produkt ergeben. Sie werden sehen, dass 158 mit 23 multipliziert 3.634 ergibt und dass 79 multipliziert mit 46 ebenfalls 3.634 sind. Das Rätsel, dass ich nun stelle, lautet, die Zählsteine dergestalt neu zu ordnen, dass man das größtmögliche Produkt erhält. Wie kann man sie am besten platzieren? Denken Sie daran, dass beide Gruppen das gleiche Produkt ergeben müssen, und in einem Fall müssen drei Steine mit zweien, im anderen Fall zwei mit zweien multipliziert werden, so wie hier gezeigt.
Der Pierrot in der Illustration hat eine Haltung eingenommen, die ein Multiplikationszeichen darstellt. Er weist damit auf den merkwürdigen Umstand hin, dass 15 multipliziert mit 93 exakt die gleichen Ziffern ergibt (1.395), nur in anderer Reihenfolge. Das Rätsel besteht darin, vier beliebige (unterschiedliche) Ziffern zu finden und so anzuordnen, dass die Zahl auf der einen Seite des Pierrot multipliziert mit derjenigen auf der anderen Seite die gleichen Ziffern ergibt. Es gibt nur sehr wenige Möglichkeiten, dies zu bewerkstelligen, und ich werde alle denkbaren angeben. Können Sie sie herausfinden? Sie dürfen entweder zwei Ziffern auf beiden Seiten des Pierrot platzieren, wie in dem abgebildeten Beispiel, oder aber eine einzelne Ziffer der einen und drei Ziffern auf der anderen Seite. Wenn wir nur drei statt vier Ziffern verwendeten, wären die einzigen Möglichkeiten diese: 3 mal 51 ergibt 153, und 6 mal 21 ergibt 126.
Wo eine große Anzahl von Handwerkern an einem Gebäude beschäftigt ist, pflegt man jedem Mann eine kleine Marke zuzuweisen, die seine Nummer trägt. Bei der Ankunft hängt man sie an ein Brett, wo sie als Nachweis pünktlichen Erscheinens dient. Nun bemerkte ich einmal, wie ein Vorarbeiter einige dieser Marken von seinem Brett nahm und sie an einem Schlüsselring befestigte, den er in seiner Tasche trug. Dies gab mir augenblicklich die Idee für ein gutes Rätsel ein. Und genau so entstehen tatsächlich Rätselideen, wie ich meinen Lesern verraten will. Man kann eine Idee nicht wirklich selbst erzeugen: Sie passiert einfach – und man muss sie aufmerksam aufgreifen, wenn es geschieht.
Auf dem Bild sieht man zehn dieser Marken auf einem Ring, versehen mit den Ziffern 1 bis 9 und 0. Das Rätsel besteht darin, die Marken in drei Gruppen zu teilen – ohne dabei eine vom Ring zu entfernen –, sodass die erste Gruppe multipliziert mit der zweiten wiederum die dritte ergibt. Wir können sie zum Beispiel in drei Gruppen einteilen (2 – 8 9 0 7 – 1 5 4 6 3), indem wir die 6 und die 3 zur 4 herumdrehen, doch leider ergeben die beiden ersten Zahlen nicht die dritte als Produkt. Schaffen Sie es, die Marken richtig zu sortieren? Natürlich dürfen Sie in jeder Gruppe beliebig viele Marken haben. Das Rätsel verlangt ein wenig Scharfsinn, sofern Sie nicht das Glück haben, durch Zufall die Antwort zu finden.
In der Illustration erklärt Professor Rackbrane gerade eines seiner kleinen Rätsel, mit der er seinen Unterricht aufzulockern pflegt. Er ist der Überzeugung, dass er die Aufmerksamkeit der Schüler abseits der ausgetretenen Pfade erhöhen sowie unkonventionelle und scharfsinnige Denkweisen anregen könne. Wie man sieht, hat er gerade gezeigt, wie vier 5en mithilfe einfacher Rechenzeichen so geschrieben werden können, dass sie 100 ergeben. Selbst die jüngsten Leser werden auf einen Blick bemerken, dass sein Beispiel korrekt ist. Was er nun von Ihnen möchte, ist dies: Ordnen Sie vier 7en (nicht mehr, nicht weniger) mitsamt Rechenzeichen so an, dass sie ebenfalls 100 ergeben. Wären wir angewiesen, vier 9en zu verwenden, hätten wir wohl sofort 
geschrieben, aber die vier 7en verlangen nach mehr Raffinesse. Werden Sie den kleinen Trick entdecken?
Ich habe einen Satz von vier Würfeln, die nicht in der üblichen Weise mit Punkten versehen sind, sondern mit arabischen Ziffern, wie man auf der Abbildung sehen kann. Jeder Würfel trägt natürlich die Zahlen 1 bis 6. Zusammengelegt ergeben sie eine große Anzahl verschiedener Zahlen. Wie sie hier gezeigt werden, bilden sie die Zahl 1246. Wenn ich nun alle vierstelligen Zahlen bilde, die mit diesen Würfeln möglich sind – ohne eine Ziffer je mehr als einmal pro Zahl zu verwenden –, welche Summe werden sie alle zusammen ergeben? Man darf die 6 umdrehen, sodass sie eine 9 zeigt. Weder bitte ich den Leser, noch erwarte ich es, dass er die Mühe auf sich nimmt, eine vollständige Liste aller Zahlen zu erstellen, um sie dann zu addieren. Das Leben ist zu kurz für eine solche Verschwendung von Energie. Finden Sie die Antwort noch auf andere Weise heraus?
Ein Junge, der gerade von der Schule nach Hause gekommen war, wollte seinem Vater eine Kostprobe seiner Reife geben. Er rückte einen großen Tisch mit kreisrunder Platte in eine Ecke des Zimmers, wie auf der Abbildung zu sehen, sodass er beide Wände berührte, und deutete dann auf einen Tintenfleck an der Tischkante.
»Hier habe ich ein kleines Rätsel für dich, Vater«, sagte der Jugendliche. »Dieser Fleck ist genau acht Zoll von der einen und neun Zoll von der anderen Wand entfernt. Kannst du mir den Durchmesser der Tischplatte angeben, ohne sie zu messen?«
Zufällig bekam jemand mit, wie der Junge zu einem anderen sagte: »Damit habe ich den Alten ordentlich beschäftigt«; doch weiß man auch, dass der Vater einem Bekannten gegenüber geäußert hat, er habe die Angelegenheit innerhalb einer Minute im Kopf gelöst. Ich fragte mich oft, welcher von beiden die Wahrheit gesagt hat.
»Ein Mann, den ich kenne«, sagte Teddy Nicholson auf einer Familienfeier, »besitzt eine Schnur mit dreiunddreißig Perlen. Die mittlere Perle ist die größte und kostbarste von allen, und die anderen sind dergestalt ausgewählt und angeordnet, dass, wenn man an einem Ende beginnt, jede Perle 100 Pfund mehr wert ist als die vorausgegangene, bis hin zur großen Perle. Vom anderen Ende beginnend, steigen die Perlen bis zur großen jeweils um 150 Pfund im Wert. Die ganze Kette ist 65.000 Pfund wert. Welchen Wert besitzt die große Perle?«
Fünf Jungen fanden nach dem Mittagessen zufällig eine Packung mit Bonbons. Es war eine unerwartete Beute, und die Folge war eine tüchtige Rauferei, deren Einzelheiten ich hier minuziös wiedergeben möchte, da sich hierin ein interessantes Rätsel verbirgt.
Andrew gelang es, genau zwei Drittel des Paketinhaltes zu ergattern. Bob schnappte sich sogleich drei Achtel der Bonbons, und Charlie konnte drei Zehntel bekommen. Dann betrat der kleine David die Szenerie und griff sich alles, was David übrig gelassen hatte, ausgenommen ein Siebtel, das Edgar durch einen raffinierten Trick kunstreich für sich zurückbehalten konnte. Nun wurde aus Spaß richtiger Ernst, als Andrew und Charlie gemeinsam auf Bob losgingen, der sich wiederum an der Heizung stieß und die Hälfte dessen verlor, was er in Besitz genommen hatte und was daraufhin zu gleichen Teilen von David und Edgar aufgesammelt wurde, die unter den Tisch gekrochen waren und darauf gewartet hatten. Als Nächstes warf sich Bob von einem Stuhl aus auf Charlie und verteilte dessen ganze Beute auf dem Fußboden. Hiervon erwischte Andrew nur ein Viertel, Bob ein Drittel und David zwei Siebtel, während Charlie und Edgar sich die verbleibende Menge jeweils zur Hälfte aneigneten.
Als sie schon dachten, die Schlacht sei vorüber, schlug David plötzlich nach zwei Seiten zugleich aus und verstreute damit drei Viertel dessen, was Bob und Andrew zuletzt aufgesammelt hatten. Diese beiden wiederum retteten davon mit größter Mühe fünf Achtel zu gleichen Teilen, doch die drei Übrigen trugen jeweils ein Fünftel desselben davon. Schließlich wurde über jedes Bonbon Rechenschaft abgelegt, Friede geschlossen, und die im Paket verbliebenen Süßigkeiten wurden gleichmäßig unter ihnen aufgeteilt. Welche ist die kleinstmögliche Anzahl an Bonbons, die sich anfangs in der Schachtel befunden haben kann, und welchen Anteil erhielt jeder der Jungen?
Neulich hatte ich ein Etikett, das die Zahl 3025 in großen Ziffern trug. Es riss versehentlich entzwei, sodass die eine Hälfte 30 zeigte und die andere 25, wie auf der Abbildung zu sehen. Während ich mir die Hälften ansah, begann ich eine Rechnung anzustellen, wobei ich mir dessen kaum bewusst war, und bemerkte schließlich eine kleine Eigentümlichkeit. Wenn wir 30 und 25 addieren und die Summe quadrieren, erhalten wir als Ergebnis die ursprüngliche vollständige Zahl des Etiketts! 30 plus 25 ergibt 55, und 55 multipliziert mit 55 sind 3025. Merkwürdig, nicht wahr? Das Rätsel ist nun, eine weitere Zahl mit vier unterschiedlichen Ziffern zu finden, die in der Mitte geteilt zum gleichen Resultat führt.
Die konkrete Nützlichkeit von Rätseln ist ein Aspekt, den wir gerne übersehen. Tatsächlich habe ich jedoch von Zeit zu Zeit eine recht große Anzahl von Zuschriften von solchen Menschen erhalten, für die sich die Aneignung eines kleinen Prinzips, das einem Rätsel zugrunde lag, in einem gänzlich unerwarteten Zusammenhang als sehr wertvoll erwiesen hatte. Man könnte sogar die Maxime aufstellen, dass ein Rätsel nur geringen Wert besitzt, solange es nicht – über seinen amüsierenden und verwirrenden Charakter hinaus – einen aufschlussreichen und möglicherweise nützlichen Aspekt in sich birgt. Es ist allerdings merkwürdig, wie diese kleinen Wissensversatzstücke sich in die zufälligen Forderungen des Tages fügen, und nicht minder seltsam, auf welche eigenartigen und mysteriösen Handlungen unsere Leser sie zu übertragen scheinen. Was mag beispielsweise das Ziel von Mr Wm. Oxley sein, der mir von Iowa aus schreibt und die Abmessungen eines Feldes zu ermitteln wünscht, das er einzäunen wolle, wobei es jedoch nur exakt so viele Morgen umfassen solle, wie der Zaun Latten besitze?
Der Mann möchte also ein vollkommen quadratisches Feld einzäunen, das so viele Morgen Land umfasst, wie der Zaun über Latten verfügt. Jeder Zaunabschnitt ist sieben Zaunlatten hoch, und zwei Längen erstrecken sich über eine Rute (16½ Fuß): anders gesagt gibt es vierzehn Latten pro Rute, in gerader Linie gemessen. Wie groß muss nun das Feld sein?
Das Rätsel erfordert es, in jedes der zehn Quadrate eine solche Zahl einzufügen, dass die Summe der Quadrate zweier beliebiger nebeneinanderliegender Zahlen gleich der Summe der Quadrate der beiden ihnen gegenüberliegenden Zahlen sei. Die vier Zahlen, die als Beispiele bereits eingefügt wurden, müssen dabei stehen bleiben. 16 zum Quadrat ergibt 256, und das Quadrat von 2 ist 4. Addiert man diese beiden Zahlen, lautet das Ergebnis 260. Das Quadrat von 14 auf der anderen Seite ist 196, und 8 zum Quadrat ergibt 64. Die beiden ergeben in der Summe ebenfalls 260. Nun sollten in exakt der gleichen Weise B und C äquivalent zu G und H sein (wobei die Summe nicht notwendig 260 betragen muss), A und K zu F und E, H und I zu C und D etc.
Sie müssen nichts weiter tun, als die verbleibenden sechs Zahlen einzufügen. Brüche sind nicht erlaubt, und ich werde zeigen, dass keine Zahl mehr als zweistellig sein muss.
Bauer Longmore besaß eine merkwürdige Neigung zur Arithmetik und war in der Gegend als »mathematischer Landwirt« bekannt. Der neue Vikar wusste nichts davon, als er diesem Mitglied seiner Gemeinde eines Tages begegnete und den Bauern im Verlauf eines kurzen Gesprächs fragte: »Wie viele Schafe haben Sie denn alles in allem?« Daher war er ziemlich überrascht, als Longmore erwiderte: »Sie können meine Schafe in zwei verschiedene Gruppen teilen, sodass die Differenz deren jeweiliger Anzahl der Differenz zwischen ihren Quadraten entspricht. Vielleicht möchten Sie, Mr Parson, die kleine Summe selbst ausrechnen?«
Ob der Leser herausfinden kann, wie viele Schafe der Landwirt sein Eigen nennt? Nehmen wir an, er besäße nur zwanzig Schafe und würde sie in Gruppen von 12 und 8 einteilen. Die Differenz von 12 und 8 beträgt 4, doch die Differenz zwischen ihren Quadratzahlen 144 und 64 beträgt 80. Dies kann nicht richtig sein, da 4 und 80 offenkundig nicht gleich sind. Wenn Sie die Zahlen herausfinden, mit denen es funktioniert, wissen Sie, wie viele Schafe Bauer Longmore besitzt.
Ein antiker Bildhauer erhielt den Auftrag, zwei Statuen anzufertigen, beide auf einem kubischen Sockel. Uns betreffen hier lediglich die Sockel. Sie waren unterschiedlich groß, wie man auf der Abbildung sehen kann, und als der Zeitpunkt der Bezahlung erreicht war, entbrannte ein Streit darüber, ob sich das Abkommen auf das Seiten- oder das Raummaß bezog. Doch sobald sie die Sockel abgemessen hatten, war der Streit beendet, denn erstaunlicherweise entsprach das Seitenmaß im Betrag exakt dem Raummaß. Das Rätsel besteht darin, die Maße der beiden Sockel herauszufinden, die diese Eigentümlichkeit in den kleinstmöglichen Zahlen aufweisen. Wenn die beiden Sockel an jeder Seite beispielsweise 3 bzw. 1 Fuß lang wären, läge das Seitenmaß in der Summe bei 4 Fuß und das Volumen bei 28 Kubikfuß, was nicht die gleichen Zahlen sind, sodass diese Maße ausscheiden.
Das folgende Rätsel veranschaulicht, dass es bisweilen von Bedeutung sein kann, das obere und untere Limit einer geforderten Zahl angeben zu können. Dies geschieht recht häufig. Wenn man, um einen alltäglichen Fall zu wählen, einen Mann fragt, wie viele Münzen er in der Tasche hat, wird er vermutlich antworten, er habe nicht die leiseste Ahnung. Wenn man aber weiter fragt, wird man wohl etwas aus ihm herausbekommen wie: »Na ja, ich bin sicher, dass ich mehr als drei Münzen habe, und ebenso sicher bin ich, dass es weniger als fünfundzwanzig sind.« Nun wird das Wissen, dass in meinem Rätsel eine bestimmte Zahl zwischen 2 und 12 liegt, dem Rätsellöser helfen, die genaue Antwort herauszufinden; ohne diese Information gäbe es eine unendliche Anzahl von Antworten, unter denen die korrekte auszuwählen unmöglich wäre.
Dies ist ein weiteres Rätsel, das ich von meinem Freund Don Manuel Rodriguez, einem verschrobenen Pfennigfuchser aus Neukastilien, erhalten habe. Am Silvesterabend 1879 zeigte er mir neun kleine Schatzkisten, und nachdem er mir erklärt hatte, jede Kiste enthalte eine Quadratzahl an Golddublonen – wobei die Differenz beim Inhalt von A und B die gleiche sei wie bei B und C, D und E, E und F, G und H sowie H und I –, forderte er mich auf, ihm die Anzahl der Golddublonen in jedem Kästlein zu nennen. Zuerst glaubte ich, die Aufgabe sei unlösbar, da es eine unendliche Anzahl unterschiedlicher Antworten gebe, doch nach einigem Nachdenken stellte ich fest, dass dies nicht der Fall war. Ich fand heraus, dass zwar jede Kiste Münzen enthielt, der Inhalt von A, B und C jedoch in alphabetischer Reihenfolge an Gewicht zunahm; ebenso verhielt es sich bei D, E und F sowie bei G, H und I. D oder E brauchen jedoch nicht schwerer zu sein als C, wie auch G oder H nicht schwerer als F. Zugleich war ich vollkommen sicher, dass Kästlein A keineswegs mehr als ein Dutzend Münzen enthielt; möglicherweise waren es nicht einmal halb so viele, aber ich war überzeugt, dass es nicht mehr als zwölf waren. Mit diesem Wissen gelangte ich zur richtigen Antwort.
Noch einmal in Kürze: Wir müssen neun Quadratzahlen herausfinden, und zwar dergestalt, dass A, B, C und D, E, F und G, H, I drei Gruppen in arithmetischer Folge sind, deren gemeinsame Differenz in jeder Gruppe gleich ist, wobei A kleiner ist als 12. Wie viele Dublonen lagen in jedem der neun Schatzkästlein?
* Im deutschen Sprachgebrauch natürlich 15 Uhr, aber zur Lösung des Rätsels empfiehlt sich die Beibehaltung der tatsächlichen Ziffern. (Anm. des Ü.)
Hier ist eine Schokoladenplatte, die an den gepunkteten Linien eingeschnitten ist, sodass die zwanzig Quadrate einfach abgetrennt werden können. Übertragen Sie die Fläche auf ein Blatt Papier oder ein Stück Karton und versuchen Sie dann, sie dergestalt in neun Teile zu zerschneiden, dass sie insgesamt vier Quadrate von exakt gleicher Größe ergeben.
Die Figur, die den Tischler in der Darstellung so verwirrt, stellt eine Gehre dar. Wie man sieht, besitzt sie die Proportionen eines Quadrats, in dem ein Viertel entfernt wurde. Das Rätsel besteht darin, sie in fünf Stücke zu zerschneiden, die zusammenpassen und so ein Quadrat ergeben. Ich zeige hier einen in Amerika veröffentlichten Versuch, diese Leistung mit vier Stücken zu vollbringen – und zwar auf der Basis des sogenannten »Stufenprinzips« –, doch es handelt sich dabei um einen Irrtum.
Wir sollen zuerst die Stücke 1 und 2 abschneiden und in die dreieckige Fläche legen, die durch die gepunktete Linie angezeigt wird, um so ein Viereck zu bilden. So weit, so gut.
Nun sollen wir das alte Stufenprinzip anwenden, wie es in der Abbildung gezeigt wird, und das Quadrat bilden, indem wir Stück vier um eine Stufe nach unten bewegen. Unglücklicherweise kommt dadurch aber kein Quadrat zustande, sondern nur ein Rechteck. Nehmen wir für die drei langen Seiten der Gehre jeweils eine Länge von 84 Zoll an. Dann wird unser dreiteiliges Rechteck vor dem Zerschneiden entlang der Stufen 84 × 63 Zoll betragen. Die Stufen müssen demnach 10,5 Zoll hoch und 12 Zoll breit sein. Daher verkürzen wir durch die Herabsetzung um eine Stufe die 84-Zoll-Seite um 12 Zoll und verlängern die 63-Zoll-Seite um 10,5 Zoll. Somit bemisst sich unser Viereck schließlich auf 72 × 73,5 Zoll, was ganz gewiss kein Quadrat ist! Tatsache ist, dass das Stufenprinzip nur bei solchen Rechtecken anwendbar ist, deren Seitenlängen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen. Wenn beispielsweise in unserem Fall die kürzere Seite 61
(anstatt 63) Zoll lang wäre, würde die Stufenmethode funktionieren. Denn dann wären die Stufen 10
Zoll hoch und 12 Zoll breit. Man wird bemerken, dass 61 × 84 dem Quadrat von 72 entspricht. Bis dato ist keine Lösung mit vier Teilen gefunden worden, und bezweifle, dass eine solche überhaupt möglich ist.
Schon oft hatte ich Gelegenheit, die pragmatische Nützlichkeit von Rätseln zu bemerken, die aus der Anwendung jener Tricks und »Kniffe«, die wir beim Lösen von Rätseln in unserer Freizeit lernen, auf Probleme des alltäglichen Lebens resultiert.
Der Tischler in unserer Darstellung möchte das Stück Holz in so wenige Stücke wie möglich zerteilen, um eine quadratische Tischplatte zu bauen, ohne dabei jedoch Material zu vergeuden. Wie soll er dabei vorgehen? Wie viele Stücke wird er benötigen?
Ein Tischler hatte zwei Holzstücke von der Form und relativen Größe, wie sie in der Abbildung zu sehen sind. Er wollte sie in so wenige Stücke wie möglich zersägen, sodass er sie ohne Verschnitt zusammenfügen und zu einer quadratischen Tischplatte verarbeiten könne. Wie sollte er vorgehen? Es ist unnötig, Abmessungen vorzugeben, denn sollte das kleinere Stück (das ein halbes Quadrat bildet) auch ein wenig zu groß oder deutlich zu klein geraten, beeinflusst dies den Lösungsweg keineswegs.
Hier ist ein kleines Ausschneide-Problem. Ich nehme einen Papierstreifen, der fünf mal ein Zoll misst, und indem ich ihn in fünf Stücke zerschneide, forme ich daraus ein Quadrat, wie auf der Abbildung zu sehen. Eine interessante Aufgabe ist es nun, dies mit lediglich vier Stücken zu bewerkstelligen.
