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Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über www.dnb.de abrufbar

Herstellung und Verlag: BoD – Books on Demand GmbH, Norderstedt

ISBN: 9783750458512

Vorwort

„Die Mathematik ist eine Mausefalle. Wer einmal in dieser Falle gefangen sitzt, findet selten den Ausgang, der zurück in seinen vormathematischen Seelenzustand leitet. ...“

So beginnt das Vorwort zu Egmont Colerus legendärem Lehrbuch der Mathematik für interessierte Nichtmathematiker: „Vom Einmaleins zum Integral (1934)“.

Ich bin immer noch in dieser Falle gefangen. Nach Vollendung von Band 1 und Band 2 und deren unerwartet erfolgreicher Veröffentlichung, habe ich nicht loslassen können und weiter an einem Konzept gearbeitet, dass es mathematisch nicht so begabten ermöglicht, tiefer in diese Materie einzusteigen.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch ist für diejenigen geschrieben worden, die sich mit der komplexen Materie der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik beschäftigen müssen. Es kann für jeden Schüler einer weiterführenden Schule als begleitende Lektüre verwendet werden. Ich hoffe auch, dass sich einige Lehrer mit meiner Darstellung des mathematischen Stoffes anfreunden können. Darüber hinaus kann dieses Buch für das Grund- und Hauptstudium von Studierenden naturwissenschaftlicher und technischer Fächer nützlich sein.

Es wendet sich speziell an diejenigen, welche eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Ich habe versucht, die mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten darzustellen, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

An dieser Stelle möchte ich allen danken, die mit ihrer Hilfe und ihren Anregungen konstruktiv am Zustandekommen dieses Buches beteiligt waren. Mein besonderer Dank gilt Herrn Witali Gutschmidt für die fachlich kompetente Durchsicht und Korrektur des Manuskriptes und seine vielen Vorschläge zur verbesserten Gestaltung.

Schwerte, im Frühjahr 2019

Werner Fricke

Inhaltsverzeichnis

1. Grundlagen der Kombinatorik
1.1 Die Permutation
1.1.1 Permutation ohne Wiederholung (oW)
1.1.2 Permutation mit Wiederholung (mW)
1.2 Die Variation
1.2.1 Variation ohne Wiederholung (oW)
1.2.2 Variation mit Wiederholung (mW)
1.3 Die Kombination
1.3.1 Kombination ohne Wiederholung
1.3.2 Kombination mit Wiederholung
1.3.2.1 Beispiele für die Kombination mit Wiederholung
1.3.2.2 Berechnung der Kombination mit Wiederholung
1.4 Zusammenfassung und tabellarische Übersicht
2. Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.1 Allgemeines
2.2 Beispiele für Laplace-Experimente
2.2.1 Der idealisierte Münzwurf
2.2.1.1 Der einfache Münzwurf
2.2.1.2 Der zweifache Münzwurf
2.2.1.3 Der dreifache Münzwurf
2.2.1.4 Der vierfache Münzwurf
2.2.2 Der idealisierte Würfelwurf
2.2.2.1 Der einfache Würfelwurf
2.2.2.2 Der zweifache Würfelwurf
2.2.2.3 Der dreifache Würfelwurf
2.2.3 Ziehung von Kugeln aus einer Urne
2.2.3.1 Ziehung von Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen
2.2.3.1.1 Ziehung von 2 Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen
2.2.3.1.2 Ziehung von 3 Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen
2.2.3.2 Ziehung von Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen
2.2.4 Anzahl Würfe für das Eintreten bestimmter Ereignisse
2.3 Der Wahrscheinlichkeitsbaum
2.3.1 Aufbau und Regeln eines Wahrscheinlichkeitsbaums
2.3.2 Beispiele für Wahrscheinlichkeitsbäume
2.3.2.1 Zweifacher Münzwurf
2.3.2.2 Dreifacher Münzwurf
2.3.2.3 Zweifacher Würfelwurf
2.3.2.4 Dreifacher Würfelwurf
2.3.2.5 Ziehung von 2 Kugeln mit Zurücklegen
2.3.2.6 Ziehung von 3 Kugeln mit Zurücklegen
2.3.2.7 Ziehung von Kugeln ohne Zurücklegen
2.4 Definitionen, Regeln und Axiome
2.4.1 Das Zufallsexperiment
2.4.2 Die de Morgan´schen Regeln für Ereignisse
2.4.3 Definitionen für die Wahrscheinlichkeit
2.4.3.1 Definition nach Laplace
2.4.3.2 Definition nach v. Mises
2.4.3.3 Eigenschaften von relativen Häufigkeiten
2.4.3.4 Die Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov
2.4.4 Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten
2.4.4.1 Ermittlung der Wahrscheinlichkeit bei Laplace – Experimenten
2.4.4.2 Ermittlung der Wahrscheinlichkeit bei vorhersehbaren Experimenten
2.4.4.3 Ermittlung der Wahrscheinlichkeit bei Versuchsreihen
2.4.5 Der allgemeine Additionssatz für beliebige Ereignisse
2.4.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
2.4.6.1 Beispiele für bedingte Wahrscheinlichkeiten
2.4.6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Definition und Berechnungsformel
2.4.6.3 Verwendung von Vierfeldertafeln
2.4.6.4 Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten
2.4.7 Unabhängige Ereignisse
2.4.8 Totale Wahrscheinlichkeit
2.4.9 Satz von Bayes
2.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen
2.5.1 Zufallsvariable
2.5.2 Verteilung und Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen
2.5.2.1 Beispiele Verteilung und Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen
2.5.2.2 Definitionen einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung
2.5.2.3 Definitionen einer diskreten Verteilungsfunktion
2.5.3 Verteilung und Verteilungsfunktion stetiger Zufallsvariablen
2.5.3.1 Übergang von diskreter zu stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilung
2.5.3.2 Definition von stetigen Verteilungen und Verteilungsfunktionen
2.5.3.3 Beispiele für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.5.3.4 Bedeutung stetiger Dichte- und Verteilungsfunktionen
2.6 Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.6.1 Kenngrößen von tatsächlich vorgenommenen Zufallsexperimenten
2.6.1.1 Kenngröße arithmetischer Mittelwert x
2.6.1.2 Kenngröße Varianz s²
2.6.1.3 Kenngröße Standardabweichung s
2.6.1.4 Kenngröße Variationszahl ν
2.6.1.5 Definitionen Mittelwert, Varianz, Standardabweichung, Variationszahl
2.6.1.6 Beispiele Mittelwert, Varianz, Standardabweichung und Variationszahl
2.6.2 Kenngrößen von theoretischen Zufallsexperimenten
2.6.2.1 Kenngrößen von diskreten theoretischen Zufallsvariablen
2.6.2.1.1 Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen μ oder E(X)
2.6.2.1.2 Varianz einer diskreten Zufallsvariablen σ^₂
2.6.2.1.3 Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen σ
2.6.2.1.4 Variationszahl einer diskreten Zufallsvariablen ν
2.6.2.1.5 Definitionen der Kenngrößen diskreter theoretischer Zufallsvariablen
2.6.2.1.6 Beispiele für diskrete theoretische Zufallsvariablen
2.6.2.2 Kenngrößen von stetigen theoretischen Zufallsvariablen
2.6.2.2.1 Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen μ oder E(X)
2.6.2.2.2 Varianz einer stetigen Zufallsvariablen σ^₂
2.6.2.2.3 Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen σ
2.6.2.2.4 Variationszahl einer stetigen Zufallsvariablen ν
2.6.2.2.5 Definitionen der Kenngrößen stetiger theoretischer Zufallsvariablen
2.6.2.2.6 Beispiele für stetige theoretische Zufallsvariablen
2.7 Spezielle Verteilungen und ihre Kenngrößen
2.7.1 Gleichverteilung oder Rechteckverteilung
2.7.1.1 Definition und Kenngrößen
2.7.1.2 Anwendungen der Gleichverteilung
2.7.1.3 Zusammenfassung Gleichverteilung
2.7.2 Dreiecks- oder Simpson- Verteilung
2.7.2.1 Gleichschenklige oder symmetrische Dreiecksverteilung
2.7.2.2 Ungleichschenklige oder asymmetrische Dreiecksverteilung
2.7.2.3 Zusammenfassung Dreiecksverteilung
2.7.3 Binomialverteilung
2.7.3.1 Definition und Kenngrößen
2.7.3.2 Anwendungen der Binomialverteilung
2.7.3.3 Zusammenfassung Binomialverteilung
2.7.4 Hypergeometrische Verteilung
2.7.4.1 Definition und Kenngrößen
2.7.4.2 Anwendungen der hypergeometrischen Verteilung
2.7.4.3 Zusammenfassung hypergeometrische Verteilung
2.7.5 Poisson – Verteilung
2.7.5.1 Definition und Kenngrößen
2.7.5.2 Anwendungen der Poisson-Verteilung
2.7.5.3 Zusammenfassung Poisson-Verteilung
2.7.6 Exponentialverteilung
2.7.6.1 Definition und Kenngrößen
2.7.6.2 Anwendungen der Exponentialverteilung
2.7.6.3 Zusammenfassung Exponentialverteilung
2.7.7 Weibull – Verteilung
2.7.7.1 Definition und Kenngrößen
2.7.7.2 Bestimmung der Parameter
2.7.7.3 Umrechnung verschiedener Schreibweisen der Weibull-Verteilung
2.7.7.4 Anwendungen der Weibull-Verteilung
2.7.7.5 Zusammenfassung Weibull-Verteilung
2.7.8 Normalverteilung oder Gauß–Verteilung
2.7.8.1 Definition und Kenngrößen
2.7.8.2 Standardnormalverteilung
2.7.8.3 Summe von normalverteilten Zufallsvariablen
2.7.8.4 Zentraler Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.7.8.5 Anwendungen der Normalverteilung
2.7.8.6 Zusammenfassung Normalverteilung
2.7.9 t – Verteilung oder Student–Verteilung
2.7.9.1 Definition und Kenngrößen
2.7.9.2 Anwendungen der t–Verteilung
2.7.9.3 Zusammenfassung t–Verteilung
2.7.10 Chi–Quadrat–Verteilung
2.7.10.1 Definition und Kenngrößen
2.7.10.2 Anwendungen der χ2–Verteilung
2.7.10.3 Zusammenfassung χ2–Verteilung
2.7.11 F–Verteilung (Fisher Verteilung)
2.7.11.1 Definition und Kenngrößen
2.7.11.2 Anwendungen der F–Verteilung
2.7.11.3 Zusammenfassung F–Verteilung
3. Grundlagen der Statistik
3.1 Einleitung
3.2 Merkmalsausprägungen
3.3 Analyse qualitativer Daten
3.3.1 Häufigkeit von Merkmalsausprägungen
3.3.2 Vertrauensbereich für den Anteilswert
3.3.3 Vertrauensbereich für die Differenz zweier Anteilswerte
3.4 Beschreibende (deskriptive) Statistik
3.4.1 Grundlegende Begriffe
3.4.2 Darstellung statistischer Daten mit Häufigkeiten
3.4.3 Lagemaße von Häufigkeitsverteilungen
3.4.3.1 Modalwert oder Modus xMod
3.4.3.2 Zentralwert oder Median
3.4.3.3 α – Quantil
3.4.3.4 Arithmetischer Mittelwert
3.4.3.5 Arithmetischer Mittelwert bei klassierten Daten (gewogenes Mittel)
3.4.3.6 Geometrischer Mittelwert
3.4.3.7 Gegenüberstellung von Zentralwert und arithmetischer Mittelwert
3.4.3.8 Zusammenfassung Lagemaße
3.4.4 Streumaße von Häufigkeitsverteilungen
3.4.4.1 Spannweite, mittlere Spannweite und Streuzahl
3.4.4.2 Quartilsabstand QA und Box-Plot
3.4.4.3 Durchschnittliche absolute Abweichung
3.4.4.4 Varianz, Standardabweichung und Variationszahl
3.4.4.5 Varianz, Standardabweichung und Variationszahl bei klassierten Daten
3.4.4.6 Zusammenfassung Streumaße
3.5 Schließende (induktive) Statistik
3.5.1 Stichprobe und Grundgesamtheit
3.5.2 Vertrauensbereich für den arithmetischen Mittelwert
3.5.3 Vertrauensbereich für Varianz und Standardabweichung
3.5.4 Statistische Testverfahren
3.5.4.1 Allgemeines zu Testverfahren
3.5.4.2 Zweiseitige und einseitige Tests
3.5.4.3 Allgemeine Vorgehensweise bei der Testdurchführung
3.5.4.4 Prinzipielle Vorgehensweise bei der Testentwicklung
3.5.4.5 Test des arithmetischen Mittelwertes
3.5.4.5.1 Beispiele
3.5.4.5.2 Zusammenfassung Test des arithmetischen Mittelwertes
3.5.4.6 Test von Varianz und Standardabweichung
3.5.4.6.1 Beispiele
3.5.4.6.2 Zusammenfassung Test von Varianz und Standardabweichung
3.5.4.7 Test für die Differenz zweier arithmetischer Mittelwerte
3.5.4.7.1 Beispiele
3.5.4.7.2 Zusammenfassung Test für die Differenz zweier arithmetischer Mittelwerte
3.5.4.8 Test für die Differenz zweier Varianzen / Standardabweichungen (F–Test)
3.5.4.8.1 Beispiele
3.5.4.8.2 Zusammenfassung Test Diff. zweier Varianzen/Standardabweichungen (F–Test)
3.5.4.9 Test auf Zufälligkeit nach Swed und Eisenhart
3.5.4.9.1 Beispiele
3.5.4.9.2 Zusammenfassung Test auf Zufälligkeit nach Swed und Eisenhart
3.5.4.10 Kolmogorov–Smirnov–Anpassungstest auf Normalverteilung (n≤ca. 50)
3.5.4.10.1 Beispiele
3.5.4.10.2 Zusammenfassung Kolmogorov–Smirnov–Test auf Normalverteilung
3.5.4.11 Chi–Quadrat–Anpassungstest
3.5.4.11.1 Beispiele
3.5.4.11.2 Zusammenfassung Chi – Quadrat – Anpassungstest
3.5.4.12 Test auf Ausreißer nach David, Hartley und Pearson
3.5.4.12.1 Beispiele
3.5.4.12.2 Zusammenfassung Test auf Ausreißer nach David, Hartley und Pearson
3.5.4.13 Test auf Ausreißer nach Grubbs
3.5.4.13.1 Beispiele
3.5.4.13.2 Zusammenfassung Test auf Ausreißer nach Grubbs
3.6 Regressionsanalyse
3.6.1 Einflussgrößen
3.6.2 Einfache Korrelation
3.6.2.1 Beispiele einfache Korrelation
3.6.2.2 Zusammenfassung einfache Korrelation
3.6.3 Einfaches Bestimmtheitsmaß
3.6.3.1 Beispiele einfaches Bestimmtheitsmaß
3.6.3.2 Interpretation des Bestimmtheitsmaßes
3.6.3.3 Auswirkung zufälliger Streuung auf das Bestimmtheitsmaß
3.6.3.4 Zusammenfassung einfaches Bestimmtheitsmaß
3.6.4 Zusammenhang zwischen Korrelation und Bestimmtheitsmaß
3.6.4.1 Multiples Bestimmtheitsmaß und multiple Korrelation
3.6.4.2 Beispiele multiples Bestimmtheitsmaß und multiple Korrelation
3.6.4.3 Zusammenfassung multiples Bestimmtheitsmaß u. multiple Korrelation
3.6.5 Regressionsrechnung
3.6.5.1 Regressionsrechnung mit einer Einflussgröße
3.6.5.1.1 Lineare Regression mit einer Einflussgröße
3.6.5.1.2 Nichtlineare Regression mit einer Einflussgröße
3.6.5.1.3 Beispiele Regression mit einer Einflussgröße
3.6.5.2 Regressionsrechnung mit zwei Einflussgrößen
3.6.5.2.1 Lineare Regression mit zwei Einflussgrößen
3.6.5.2.2 Nichtlineare Regression mit zwei Einflussgrößen
3.6.5.2.3 Beispiele Regression mit zwei Einflussgrößen
3.6.5.3 Regressionsrechnung mit k > 2 Einflussgrößen
3.6.5.3.1 Lineare Regression mit k > 2 Einflussgrößen
3.6.5.3.2 Nichtlineare Regression mit k > 2 Einflussgrößen
3.6.5.3.3 Beispiele Regression mit k = 3 Einflussgrößen
3.6.5.4 Zusammenfassung Regressionsrechnung
3.6.6 Vertrauensbereich (Konfidenzintervall) der Regressionsfunktion
3.6.6.1 Vertrauensbereich bei einfacher Regression
3.6.6.1.1 Beispiele Vertrauensbereich bei einfacher Regression
3.6.6.1.2 Zusammenfassung VB bei einfacher Regression
3.6.6.2 Vertrauensbereich bei multipler Regression
3.6.6.2.1 Beispiele Vertrauensbereich bei multipler Regression
3.6.6.2.2 Zusammenfassung VB bei multipler Regression
3.6.7 Die Korrelationsmatrix
3.6.7.1 Beispiele Korrelationsmatrix
3.6.7.2 Zusammenfassung Korrelationsmatrix
3.6.8 Die Residualanalyse
3.6.8.1 Beispiele zur Residualanalyse
3.6.8.2 Zusammenfassung Residualanalyse
3.6.9 Beispiele für den Einsatz der Regressionsanalyse
3.6.9.1 Papier schneiden
3.6.9.2 Brennschneiden
3.6.9.3 Abbildung von Funktionen
3.6.9.4 Trendextrapolation
3.6.10 Vermeidbare Fehler beim Einsatz der Regressionsanalyse
3.6.10.1 Berücksichtigung der Anzahl Messpunkte
3.6.10.2 Häufung von Daten mit Extremwerten
3.6.10.3 Zwei Häufungen von Daten
3.6.10.4 Hinzunahme von nicht signifikanten Einflussgrößen
3.6.11 Einsatz eines EDV-Programms für die Regressionsanalyse
3.6.12 Zusammenfassung Regressionsanalyse
4. Statistische Tabellen
5. Literaturhinweise
6. Stichwortverzeichnis
Inhaltsübersicht Band 1
1 Grundlagen der Mengenlehre
2 Allgemeine Grundlagen der Arithmetik und Algebra
3 Gleichungen mit einer Unbekannten
4 Geometrie
5 Trigonometrie
6 Koordinatensysteme
7 Einführung in die Vektorrechnung
8 Folgen und Reihen
9 Algorithmen zur Lösung von Gleichungssystemen
10 Funktionen und deren grafische Darstellung
11 Grenzwerte von Funktionen
12 Differentialrechnung
13 Einführung in die Integralrechnung
Inhaltsübersicht Band 2
1 Fortgeschrittene Integralrechnung
2 Funktionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen
3 Differentialgleichungen
4 Numerische Integration
5 Einführung in die lineare Algebra
6 Potenzreihenentwicklungen
7 Komplexe Zahlen

1 Grundlagen der Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anzahl möglicher Anordnungen bei einem Versuch. Sie wird auch als Untersuchung des Abzählens von einzelnen Ereignissen bezeichnet. Die Kombinatorik umfasst eine weites Gebiet, von dem wir hier nur folgende Elemente untersuchen wollen:

Permutation
Variation
Kombination

Diese Methoden sind ein wichtiges Hilfsmittel für die Lösung von Problemstellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Vorbemerkung:

Im Folgenden ist häufig davon die Rede, dass bestimmte Elemente oder Objekte angeordnet werden oder aus einer Grundmenge oder Obermenge entnommen werden. In Abschnitt 2.2.3 werden dann Experimente behandelt, die sich mit der Ziehung von Kugeln (Elemente oder Objekte) aus einer Urne beschäftigen. Dabei fallen auch Begriffe wie

ohne Wiederholung
mit Wiederholung
ohne Zurücklegen
mit Zurücklegen

Ohne Wiederholung: Ein Objekt darf nur einmal ausgewählt werden. Damit steht es bei der weiteren Auswahl nicht mehr zur Verfügung.

Mit Wiederholung: Ein Objekt darf mehrmals ausgewählt werden. Es steht bei jeder weiteren Auswahl erneut zur Verfügung.

Ohne Zurücklegen: Bei der Ziehung von Kugeln aus einer Urne darf die einmal gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgelegt werden. Sie steht also bei weiteren Ziehungen nicht mehr zur Verfügung.

Mit Zurücklegen: Bei der Ziehung von Kugeln aus einer Urne wird die einmal gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt werden. Sie steht also bei weiteren Ziehungen erneut zur Verfügung.

Es existieren also folgende zwei Synonyme:

Das Anordnen von Elementen ohne Wiederholung entspricht exakt der Ziehung von Objekten aus einer Urne ohne Zurücklegen.
Das Anordnen von Elementen mit Wiederholung entspricht exakt der Ziehung von Objekten aus einer Urne mit Zurücklegen.

1.1 Die Permutation

Bei der Permutation wird untersucht, auf wie viele verschiedene Weisen sich die Elemente oder Objekte einer gegebenen Menge anordnen lassen. Je nachdem, ob die Objekte einfach oder mehrfach auftreten, spricht man von Permutation ohne oder mit Wiederholung.

Im Folgenden wollen wir anhand einfacher Beispiele den zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten näher kommen, um anschließend die daraus resultierenden Formeln abzuleiten.

1.1.1 Permutation ohne Wiederholung (oW)

Bei einer Permutation ohne Wiederholung kommt jedes Element der betrachteten Menge genau einmal vor. Als Elemente kommen z.B. folgende Objekte in Frage:

unterschiedliche Zahlen
verschiedenfarbige Kugeln
unterschiedliche Buchstaben
beliebige unterschiedliche Objekte

Man kann das Grundprinzip der Permutation ohne Wiederholung sehr gut anhand der Anordnung von Zahlen demonstrieren. Alle anderen Objekte verhalten sich analog.

Beispiele:

(1) Wie oft kann man die Zahl 1 unterschiedlich anordnen?

Dies ist natürlich eine triviale Frage, denn man kann ein einziges Objekt natürlich nur einmal anordnen, die Antwort lautet also P_oW(n=1) = 1

(gelesen: Permutation ohne Wiederholung von n gleich 1 gleich 1).

(2) Wie oft kann man die Zahlen 1 und 2 unterschiedlich anordnen?

Hier wird man sofort sagen: (1, 2) und (2, 1) sind die möglichen Anordnungen. Wir erhalten also:

(3) Wie oft kann man die Zahlen von 1 bis 3 unterschiedlich anordnen?

Wir erhalten folgende Anordnungen:

(1, 2, 3) ; (2, 1, 3) ; (1, 3, 2) ; (2, 3, 1) ; (3, 1, 2) ; (3, 2, 1)

Man kann dieses Ergebnis wie folgt beschreiben:

Wir vertauschen (permutieren) zunächst die Zahlen 1 und 2 und belassen dabei die Zahl 3 auf der dritten Position. Danach ziehen wir die 3 um eine Position nach links (Mittelposition) und vertauschen wieder die Zahlen 1 und 2. Zum Schluss ziehen wir die 3 wieder um eine Position nach links (1. Position) und vertauschen nochmals die Zahlen 1 und 2. Wir können also die Zahl 3 an drei verschiedenen Stellen positionieren und dabei jeweils die Zahlen 1 und 2 permutieren.

Wir erhalten also folgende Permutationen:

(4) Wie oft kann man die Zahlen von 1 bis 4 unterschiedlich anordnen?

Hier gehen wir genauso vor wie in (3). Wir positionieren die Zahl 4 an der vierten, dritten, zweiten und ersten Stelle und permutieren jeweils die Zahlen 1, 2 und 3 wie in (3).

(1, 2, 3, 4) ; (2, 1, 3, 4) ;	(1, 3, 2, 4) ; (2, 3, 1, 4) ;	(3, 1, 2, 4) ; (3, 2, 1, 4)
(1, 2, 4, 3) ; (2, 1, 4, 3) ;	(1, 3, 4, 2) ; (2, 3, 4, 1) ;	(3, 1, 4, 2) ; (3, 2, 4, 1)
(1, 4, 2, 3) ; (2, 4, 1, 3) ;	(1, 4, 3, 2) ; (2, 4, 3, 1) ;	(3, 4, 1, 2) ; (3, 4, 2, 1)
(4, 1, 2, 3) ; (4, 2, 1, 3) ;	(4, 1, 3, 2) ; (4, 2, 3, 1) ;	(4, 3, 1, 2) ; (4, 3, 2, 1)

Wir erhalten also folgende Permutationen:

(5) Wie oft kann man die Zahlen von 1 bis 5 unterschiedlich anordnen?

Ich glaube das Prinzip ist jetzt klar und wir können das Ergebnis sofort hinschreiben:

Damit haben wir das Grundprinzip der Permutation ohne Wiederholung gezeigt. Wenn wir dieses Prinzip auf beliebige Mengen mit n Elementen ausdehnen, erhalten wir die folgende Formel:

(gesprochen n-Fakultät) n = Anzahl de Elemente der Menge

Man erhält also die Anzahl der Permutationen einer Menge mit n Elementen, indem man die Zahlen 1 bis n miteinander multipliziert. Man kann dies auch wie folgt schreiben:

1.1.2 Permutation mit Wiederholung (mW)

Bei einer Permutation mit Wiederholung kommen ein oder mehrere Elemente der betrachteten Menge mehrfach vor. Da diese mehrfach vorkommenden Elemente nicht unterschieden werden können, kann eine Vertauschung dieser nicht festgestellt werden.

Wir wollen das Grundprinzip der Permutation mit Wiederholung ebenfalls anhand der Anordnung von Zahlen demonstrieren. Alle anderen Objekte verhalten sich analog.

Zunächst müssen wir jedoch den Begriff der Gruppe einführen:

Eine Gruppe ist eine Anordnung von identischen Elementen innerhalb einer Menge. Die Anzahl der Elemente der Gruppe wird mit g bezeichnet. Befinden sich mehrere Gruppen innerhalb einer Menge, dann werden deren jeweiligen Anzahlen mit g₁, g₂, g₃ usw. bezeichnet.

Hierzu ein Beispiel:

Menge M = {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3}

Anzahl der Elemente der Menge:	n = 7
Anzahl der Elemente der Gruppe 1:	g₁ = 2
Anzahl der Elemente der Gruppe 2:	g₂ = 3
Anzahl der Elemente der Gruppe 3:	g₃ = 2

Beispiele für Permutationen mit Wiederholung:

(1) Wie oft kann man die Zahlen 1 und 1 unterschiedlich anordnen?

Es gilt n = 2 und g = 2. Da man zwischen der Anordnung (1, 1) und der vertauschten Anordnung (1, 1) nicht unterscheiden kann, gibt es lediglich eine Anordnung. Rein rechnerisch erhalten wir:

Dies kann man wie folgt interpretieren:

Zähler: Wir haben zwei Elemente, die wir auf 2 Arten anordnen können:

Nenner: Wir haben eine Gruppe mit 2 Elementen, deren Anordnungen wir nicht unterscheiden können: P_(g=2) = 1 ⋅ 2 = 2!

Durch die Division wird deren Vertauschung rückgängig gemacht.

(2) Wie oft kann man die Zahlen 1, 1 und 2 unterschiedlich anordnen?

Es gilt n = 3 und g = 2. Es gibt folgende Anordnungen:

(1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; (2, 1, 1)

Wir erhalten also:

Im Zähler haben wir wieder die insgesamt möglichen Anordnungen:

Im Nenner steht die Anzahl der nicht unterscheidbaren Anordnungen der Gruppe:

(3) Wie oft kann man die Zahlen 1, 2, 3, 3 und 3 unterschiedlich anordnen?

Es gilt n = 5 und g = 3. Es gibt folgende Anordnungen:

(1, 2, 3, 3, 3) ;	(2, 1, 3, 3, 3) ;	(3, 1, 2, 3, 3) ;	(3, 2, 1, 3, 3)
(1, 3, 2, 3, 3) ;	(2, 3, 1, 3, 3) ;	(3, 1, 3, 2, 3) ;	(3, 2, 3, 1, 3)
(1, 3, 3, 2, 3) ;	(2, 3, 3, 1, 3) ;	(3, 1, 3, 3, 2) ;	(3, 2, 3, 3, 1)
(1, 3, 3, 3, 2) ;	(2, 3, 3, 3, 1) ;	(3, 3, 1, 2, 3) ;	(3, 3, 2, 1, 3)
		(3, 3, 1, 3, 2) ;	(3, 3, 2, 3, 1)
		(3, 3, 3, 1, 2) ;	(3, 3, 3, 2, 1)

Wir erhalten also:

Zähler: Anzahl der insgesamt möglichen Anordnungen:

Nenner: Anzahl der nicht unterscheidbaren Anordnungen der Gruppe:

(4) Wie oft kann man die Zahlen 1, 1, 3, 3 und 3 unterschiedlich anordnen?

Es gilt n = 5, g₁ = 2 und g₂ = 3. Es gibt folgende Anordnungen:

(1, 1, 3, 3, 3)	; (3, 1, 3, 1, 3)
(1, 3, 1, 3, 3)	; (3, 1, 3, 3, 1)
(1, 3, 3, 1, 3)	; (3, 3, 1, 1, 3)
(1, 3, 3, 3, 1)	; (3, 3, 1, 3, 1)
(3, 1, 1, 3, 3)	; (3, 3, 3, 1, 1)

Wir erhalten also:

Zähler: Anzahl der insgesamt möglichen Anordnungen: P_(n=3) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 5!

Nenner: Anzahl der nicht unterscheidbaren Anordnungen der Gruppe 1 multipliziert mit der Anzahl der nicht unterscheidbaren Anordnungen der Gruppe 2:

Bei einer Permutation mit Wiederholung berechnet man zunächst die Anzahl n! der Permutationen mit der Gesamtmenge der Elemente n. Hierdurch erhält man natürlich eine gewisse Anzahl identischer, nicht unterscheidbarer Anordnungen. Diese rechnet man dadurch wieder heraus, dass man die Anzahl n! durch das Produkt der Permutationen der Gruppenmengen dividiert.

Beispiel:

Gegeben sind folgende Elemente:	A, A, A, D, D, D, D, F, F, B, B, B, Z, Z, Z, Z, Z, H
Anzahl der Elemente der Menge:	n = 18
Anzahl der Elemente der Gruppe 1:	g₁ = 3	Gruppe mit Elementtyp A
Anzahl der Elemente der Gruppe 2:	g₂ = 4	Gruppe mit Elementtyp D
Anzahl der Elemente der Gruppe 3:	g₃ = 2	Gruppe mit Elementtyp F
Anzahl der Elemente der Gruppe 4:	g₄ = 3	Gruppe mit Elementtyp B
Anzahl der Elemente der Gruppe 5:	g₅ = 5	Gruppe mit Elementtyp Z
Anzahl der Elemente der Gruppe 6:	g₆ = 1	Gruppe mit Elementtyp H

Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung berechnet sich wie folgt:

Damit haben wir das Grundprinzip der Permutation mit Wiederholung gezeigt. Wenn wir dieses Prinzip auf beliebige Mengen mit n Elementen ausdehnen und beliebig viele Gruppen zulassen, erhalten wir folgende Formel:

	mit	n : Gesamzahl der Elemente
		m : Anzahl der Gruppen
		g₁ : Anzahl der Elemente in Gruppe 1
		g₂ : Anzahl der Elemente in Gruppe 2
		...
		g_m: Anzahl der Elemente in Gruppe m

1.2 Die Variation

Bei der Variation wird untersucht, auf wie viele verschiedene Weisen k Objekte aus einer Menge von n Objekten (n > k) einer Grundmenge unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden können.

Können Objekte dabei mehrfach ausgewählt werden, so spricht man von einer Variation mit Wiederholung, darf dagegen jedes Objekt nur genau einmal auftreten, spricht man von einer Variation ohne Wiederholung.

Wieder wollen wir anhand einfacher Beispiele den zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten näher kommen, um anschließend die daraus resultierenden Formeln abzuleiten.

1.2.1 Variation ohne Wiederholung (oW)

Bei einer Variation ohne Wiederholung werden k Objekte aus einer Grundmenge von n Objekten unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Objekt nur einmal ausgewählt werden darf. Als Elemente kommen dieselben Objekte in Frage wie bei der Permutation.

Auch das Grundprinzip der Variation ohne Wiederholung kann man sehr gut anhand der Anordnung von Zahlen demonstrieren. Alle anderen Objekte verhalten sich analog.

Beispiele:

(1) Gegeben sind die Zahlen 1, 2 und 3. Wie oft können 2 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge ohne Wiederholung ausgewählt werden?

Wir können folgende Anordnungen auswählen:

(1, 2) ; (1, 3) ; (2, 1) ; (2, 3) ; (3, 1) ; (3, 2)

Für das erste Objekt gibt es	3 Auswahlmöglichkeiten (1, 2 oder 3)
Für das zweite Objekt verbleiben	2 Auswahlmöglichkeiten

Insgesamt ergeben sich also Möglichkeiten.

(2) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 4. Wie oft können 2 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge ohne Wiederholung ausgewählt werden?

Wir können folgende Anordnungen auswählen:

(1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 1) ; (2, 3) ; (2, 4) ; (3, 1) ; (3, 2) ; (3, 4) ; (4, 1) ; (4, 2) ; (4, 3)

Für das erste Objekt gibt es	4 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3 oder 4)
Für das zweite Objekt verbleiben	3 Auswahlmöglichkeiten

Insgesamt ergeben sich also Möglichkeiten.

(3) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 4. Wie oft können 3 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge ohne Wiederholung ausgewählt werden?

Wir können folgende Anordnungen auswählen:

(1, 2, 3) ;	(1, 2, 4) ;	(1, 3, 2) ;	(1, 3, 4) ;	(1, 4, 2) ;	(1, 4, 3)
(2, 1, 3) ;	(2, 1, 4) ;	(2, 3, 1) ;	(2, 3, 4) ;	(2, 4, 1) ;	(2, 4, 3)
(3, 1, 2) ;	(3, 1, 4) ;	(3, 2, 1) ;	(3, 2, 4) ;	(3, 4, 1) ;	(3, 4, 2)
(4, 1, 2) ;	(4, 1, 3) ;	(4, 2, 1) ;	(4, 2, 3) ;	(4, 3, 1) ;	(4, 3, 2)

Für das erste Objekt gibt es	4 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3 oder 4)
Für das zweite Objekt verbleiben	3 Auswahlmöglichkeiten
Für das dritte Objekt verbleiben	2 Auswahlmöglichkeiten

Insgesamt ergeben sich also Möglichkeiten.

(4) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 5. Wie oft können 3 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge ohne Wiederholung ausgewählt werden?

Wir können folgende Anordnungen auswählen:

1. Objekt =	(1, 2, 3) ;	(1, 2, 4) ;	(1, 2, 5) ;	(1, 3, 2) ;	(1, 3, 4) ;	(1, 3, 5) ;
	(1, 4, 2) ;	(1, 4, 3) ;	(1, 4, 5) ;	(1, 5, 2) ;	(1, 5, 3) ;	(1, 5, 4)
2. Objekt =	(2, 1, 3) ;	(2, 1, 4) ;	(2, 1, 5) ;	(2, 3, 1) ;	(2, 3, 4) ;	(2, 3, 5) ;
	(2, 4, 1) ;	(2, 4, 2) ;	(2, 4, 5);	(2, 5, 1) ;	(2, 5, 3) ;	(2, 5, 4)

usw. insgesamt 5 mal.

Für das erste Objekt gibt es	5 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3, 4 oder 5)
Für das zweite Objekt verbleiben	4 Auswahlmöglichkeiten
Für das dritte Objekt verbleiben	3 Auswahlmöglichkeiten

Insgesamt ergeben sich also Möglichkeiten.

(5) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 8. Wie oft können 5 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge ohne Wiederholung ausgewählt werden?

Für das erste Objekt gibt es	8 Auswahlmöglichkeiten
Für das zweite Objekt verbleiben	7 Auswahlmöglichkeiten
Für das dritte Objekt verbleiben	6 Auswahlmöglichkeiten
Für das vierte Objekt verbleiben	5 Auswahlmöglichkeiten
Für das fünfte Objekt verbleiben	4 Auswahlmöglichkeiten

Insgesamt ergeben sich also Möglichkeiten.

Jetzt wollen wir das Ergebnis von Beispiel (5) mal ein wenig anders schreiben:

Oberhalb des Bruchstrichs steht	8!	(8 - Fakultät)
Unterhalb des Bruchstrichs steht	(8 – 5)! = 3!	((8 – 5) - Fakultät)

Damit haben wir das Grundprinzip der Variation ohne Wiederholung gezeigt.

Wenn wir dies verallgemeinern, dann können wir schreiben:

Oberhalb des Bruchstrichs steht	n!	(n - Fakultät)
Unterhalb des Bruchstrichs steht	(n – k)!	((n – k) - Fakultät)

Wir erhalten also folgende Formel:

Wir können dies anhand unserer bisherigen Beispiele belegen:

1.2.2 Variation mit Wiederholung (mW)

Bei einer Variation mit Wiederholung werden k Objekte aus einer Grundmenge von n Objekten unter Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Objekt mehrfach ausgewählt werden darf. Als Elemente kommen dieselben Objekte in Frage wie bei der Permutation.

Auch das Grundprinzip der Variation mit Wiederholung kann man sehr gut anhand der Anordnung von Zahlen demonstrieren. Alle anderen Objekte verhalten sich analog.

Beispiele:

(1) Gegeben sind die Zahlen 1, 2 und 3. Wie oft können 2 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge mit Wiederholung ausgewählt werden?

Wir können folgende Anordnungen auswählen:

(1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (2, 1) ; (2, 2) ; (2, 3) ; (3, 1) ; (3, 2) ; (3, 3)

Es gilt:

Objekt: 3 Auswahlmöglichkeiten (1, 2 oder 3)
Objekt: 3 Auswahlmöglichkeiten (1, 2 oder 3)

Insgesamt ergeben sich also V_mW (_{n=3; k=2}) = 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten.

(2) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 4. Wie oft können 2 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge mit Wiederholung ausgewählt werden?

Wir können folgende Anordnungen auswählen:

(1, 1) ;	(1, 2) ;	(1, 3) ;	(1, 4)
(2, 1) ;	(2, 2) ;	(2, 3) ;	(2, 4)
(3, 1) ;	(3, 2) ;	(3, 3) ;	(3, 4)
(4, 1) ;	(4, 2) ;	(4, 3) ;	(4, 4)

Es gilt:

Objekt: 4 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3 oder 4)
Objekt: 4 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3 oder 4)

Insgesamt ergeben sich also Möglichkeiten.

(3) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 4. Wie oft können 3 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge mit Wiederholung ausgewählt werden?

Wir können folgende Anordnungen auswählen:

(1, 1, 1) ;	(1, 1, 2) ;	(1, 1, 3) ;	(1, 1, 4) ;	(1, 2, 1) ;	(1, 2, 2) ;	(1, 2, 3) ;	(1, 2, 4)
(1, 3, 1) ;	(1, 3, 2) ;	(1, 3, 3) ;	(1, 3, 4) ;	(1, 4, 1) ;	(1, 4, 2) ;	(1, 4, 3) ;	(1, 4, 4)
(2, 1, 1) ;	(2, 1, 2) ;	(2, 1, 3) ;	(2, 1, 4) ;	(2, 2, 1) ;	(2, 2, 2) ;	(2, 2, 3) ;	(2, 2, 4)
(2, 3, 1) ;	(2, 3, 2) ;	(2, 3, 3) ;	(2, 3, 4) ;	(2, 4, 1) ;	(2, 4, 2) ;	(2, 4, 3) ;	(2, 4, 4)
(3, 1, 1) ;	(3, 1, 2) ;	(3, 1, 3) ;	(3, 1, 4) ;	(3, 2, 1) ;	(3, 2, 2) ;	(3, 2, 3) ;	(3, 2, 4)
(3, 3, 1) ;	(3, 3, 2) ;	(3, 3, 3) ;	(3, 3, 4) ;	(3, 4, 1) ;	(3, 4, 2) ;	(3, 4, 3) ;	(3, 4, 4)
(4, 1, 1) ;	(4, 1, 2) ;	(4, 1, 3) ;	(4, 1, 4) ;	(4, 2, 1) ;	(4, 2, 2) ;	(4, 2, 3) ;	(4, 2, 4)
(4, 3, 1) ;	(4, 3, 2) ;	(4, 3, 3) ;	(4, 3, 4) ;	(4, 4, 1) ;	(4, 4, 2) ;	(4, 4, 3) ;	(4, 4, 4)

Es gilt:

Objekt: 4 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3 und 4)
Objekt: 4 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3 und 4)
Objekt: 4 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3 und 4)

Insgesamt ergeben sich also V_{mW (n=4; k=3)} = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4³ = 64 Möglichkeiten.

(4) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 5. Wie oft können 3 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge mit Wiederholung ausgewählt werden?

Es gilt:

Objekt: 5 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3, 4 und 5)
Objekt: 5 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3, 4 und 5)
Objekt: 5 Auswahlmöglichkeiten (1, 2, 3, 4 und 5)

Insgesamt ergeben sich also V_{mW (n=5; k=3)} = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5³ = 125 Möglichkeiten.

(5) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 8. Wie oft können 5 Zahlen unter Beachtung der Reihenfolge mit Wiederholung ausgewählt werden?

Es gilt:

Objekt: 8 Auswahlmöglichkeiten (Zahlen 1 bis 8)
Objekt: 8 Auswahlmöglichkeiten (Zahlen 1 bis 8)
Objekt: 8 Auswahlmöglichkeiten (Zahlen 1 bis 8)
Objekt: 8 Auswahlmöglichkeiten (Zahlen 1 bis 8)
Objekt: 8 Auswahlmöglichkeiten (Zahlen 1 bis 8)

Insgesamt ergeben sich also Möglichkeiten.

Damit haben wir das Grundprinzip der Variation mit Wiederholung gezeigt.

Wenn wir dies verallgemeinern, dann können wir schreiben:

1.3 Die Kombination

Bei der Kombination wird untersucht, auf wie viele verschiedene Weisen sich die Elemente einer Obermenge (auch Grundmenge) als Untermenge anordnen lassen. Eine Kombination ist demnach eine Auswahl von Objekten aus einer gegebenen Grundmenge, die nicht alle Objekte der Grundmenge enthalten muss und bei der die Reihenfolge unberücksichtigt bleibt.

Man kann auch sagen, dass eine Kombination die Anzahl der Möglichkeiten angibt, eine bestimmte Menge an Objekten aus einer größeren Gesamtmenge (Grundmenge, Obermenge) auszuwählen.

Können Objekte dabei mehrfach ausgewählt werden, so spricht man von einer Kombination mit Wiederholung. Darf dagegen jedes Objekt nur genau einmal auftreten, spricht man von einer Kombination ohne Wiederholung.

Wieder wollen wir anhand einfacher Beispiele den zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten näher kommen, um anschließend die daraus resultierenden Formeln abzuleiten.

1.3.1 Kombination ohne Wiederholung

Bei einer Kombination ohne Wiederholung darf jedes Element der Grundmenge nur einmal in der Untermenge vorkommen. Als Elemente kommen dieselben Objekte in Frage wie bei der Permutation.

Auch das Grundprinzip der Kombination ohne Wiederholung kann man sehr gut anhand der Anordnung von Zahlen demonstrieren. Alle anderen Objekte verhalten sich analog.

Beispiele:

(1) Gegeben sind die Zahlen 1, 2 und 3. Gesucht ist die Anzahl der Zweierkombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Gegeben:	Grundmenge M = { 1, 2, 3 }
Mächtigkeit der Grundmenge M:	n = 3
Mächtigkeit der Untermenge K:	k = 2
Wir erhalten folgende Anordnungen:	(1, 2) ; (1, 3) ; (2, 3)

Man kann auch Folgendes sagen:

In einer Urne befinden sich drei Kugeln, die mit 1, 2 und 3 beschriftet sind. Auf wie viele Arten können 2 dieser Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

Das Ergebnis lautet also:

Wie kommt nun dieses Ergebnis zustande?

Wir bilden zunächst die entsprechende Variation der Grundmenge ohne Wiederholung.

(1, 2) ; (1, 3) ; (2, 1) ; (2, 3) ; (3, 1) ; (3, 2)

Da bei einer Kombination ohne Wiederholung jedes Element in der Untermenge nur genau einmal vorkommen darf, müssen wir die doppelten Anordnungen streichen. Es verbleiben folgende Anordnungen:

(1, 2) ; (1, 3) ; (2, 3)

(2) Gegeben sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4. Gesucht ist die Anzahl der Zweierkombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Gegeben:	Grundmenge M = { 1, 2, 3, 4 }
Mächtigkeit der Grundmenge M:	n = 4
Mächtigkeit der Untermenge K:	k = 2

Wir erhalten folgende Anordnungen:

(1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 3) ; (2, 4) ; (3, 4)

Man kann auch Folgendes sagen:

In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit 1, 2, 3 und 4 beschriftet sind. Auf wie viele Arten können 2 dieser Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

Das Ergebnis lautet also:

Wie kommt nun dieses Ergebnis zustande?

Wir bilden zunächst die entsprechenden Variationen der Grundmenge ohne Wiederholung.

(1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 1) ; (2, 3) ; (2, 4) ; (3, 1) ; (3, 2) ; (3, 4) ; (4, 1) ; (4, 2) ; (4, 3)

Da bei einer Kombination ohne Wiederholung jedes Element in der Untermenge nur genau einmal vorkommen darf, müssen wir die doppelten Anordnungen streichen. Es verbleiben folgende Anordnungen:

(1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 3) ; (2, 4) ; (3, 4)

(3) Gegeben sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4. Gesucht ist die Anzahl der Dreierkombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Gegeben:	Grundmenge M = { 1, 2, 3, 4 }
Mächtigkeit der Grundmenge M:	n = 4
Mächtigkeit der Untermenge K:	k = 3

Wir erhalten folgende Anordnungen:

(1, 2, 3) ; (1, 2, 4) ; (1, 3, 4) ; (2, 3, 4)

Man kann auch Folgendes sagen:

In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit 1, 2, 3 und 4 beschriftet sind. Auf wie viele Arten können 3 dieser Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.

Das Ergebnis lautet also:

Wie kommt nun dieses Ergebnis zustande?

Wir bilden zunächst die entsprechenden Variationen der Grundmenge ohne Wiederholung.

(1, 2, 3) ;	(1, 2, 4) ;	(1, 3, 2) ;	(1, 3, 4) ;	(1, 4, 2) ;	(1, 4, 3)
(2, 1, 3) ;	(2, 1, 4) ;	(2, 3, 1) ;	(2, 3, 4) ;	(2, 4, 1) ;	(2, 4, 3)
(3, 1, 2) ;	(3, 1, 4) ;	(3, 2, 1) ;	(3, 2, 4) ;	(3, 4, 1) ;	(3, 4, 2)
(4, 1, 2) ;	(4, 1, 3) ;	(4, 2, 1) ;	(4, 2, 3) ;	(4, 3, 1) ;	(4, 3, 2)

Da bei einer Kombination ohne Wiederholung jedes Element in der Untermenge nur genau einmal vorkommen darf, müssen wir die mehrfachen Anordnungen streichen.

Folgende Anordnungen kommen mehrfach vor:

(1, 2, 3);	(1, 3, 2);	(2, 1, 3);	(2, 3, 1);	(3, 1, 2);	(3, 2, 1):	3! = 6 Permutationen der Zahlen (1, 2, 3)
(1, 2, 4);	(1, 4, 2);	(2, 1, 4);	(2, 4, 1);	(4, 1, 2);	(4, 2, 1):	3! = 6 Permutationen der Zahlen (1, 2, 4)
(1, 3, 4);	(1, 4, 3);	(3, 1, 4);	(3, 4, 1);	(4, 1, 3);	(4, 3, 1):	3! = 6 Permutationen der Zahlen (1, 3, 4)
(2, 3, 4);	(2, 4, 3);	(3, 2, 4);	(3, 4, 2);	(4, 2, 3);	(4, 3, 2):	3! = 6 Permutationen der Zahlen (2, 3, 4)

Es verbleiben folgende Anordnungen:

(1, 2, 3) ; (1, 2, 4) ; (1, 3, 4) ; (2, 3, 4)

Jetzt sehen wir bereits das Grundprinzip der Kombination:

Man bildet zunächst die Variationen der Grundmenge ohne Wiederholung V_{oW(n, k)} und eliminiert anschließend alle mehrfach vorkommenden Anordnungen, indem man durch die k Permutationen der Untermenge dividiert. In unserem Beispiel erhalten wir Folgendes:

(4) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 5. Gesucht ist die Anzahl der 3er Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Gegeben:	Grundmenge M = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Mächtigkeit der Grundmenge M:	n = 5
Mächtigkeit der Untermenge K:	k = 3

Wir erhalten folgende Anzahl von Variationen:

Bei dieser Anzahl von k = 3 Elementen kommen k! = 3! Variationen mehrfach vor. Deshalb erhält man folgende Anzahl von Kombinationen:

(5) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 8. Gesucht ist die Anzahl der 5er Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Gegeben:	Grundmenge M = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Mächtigkeit der Grundmenge M:	n = 8
Mächtigkeit der Untermenge K:	k = 5

Wir erhalten folgende Anzahl von Variationen:

Bei dieser Anzahl von k = 5 Elementen kommen k! = 5! Variationen mehrfach vor. Deshalb erhält man folgende Anzahl von Kombinationen:

Damit haben wir das Grundprinzip der Kombination ohne Wiederholung gezeigt.

Wenn wir dies verallgemeinern, dann können wir schreiben:

Mächtigkeit der Grundmenge M:	n
Mächtigkeit der Untermenge K:	k

Wir erhalten folgende Anzahl von Variationen:

Bei einer Anzahl von k - Elementen kommen k! Variationen mehrfach vor. Deshalb erhält man folgende Anzahl von Kombinationen:

Für diesen Ausdruck haben wir schon in Band 1 (/1/ Abschnitt 2.2.4) folgende Schreibweise kennen gelernt:

(gesprochen n über k)

Wir können dies anhand unserer bisherigen Beispiele belegen:

1.3.2 Kombination mit Wiederholung

Bei einer Kombination mit Wiederholung können Objekte mehrfach ausgewählt werden, also auch mehrfach in der Untermenge vorkommen.

Auch das Grundprinzip der Kombination mit Wiederholung kann man sehr gut anhand der Anordnung von Zahlen demonstrieren. Alle anderen Objekte verhalten sich analog.

1.3.2.1 Beispiele für die Kombination mit Wiederholung

(1) Gegeben sind die Zahlen 1, 2 und 3. Gesucht ist die Anzahl der Zweierkombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Wir erhalten folgende Anordnungen:

(1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (2, 2) ; (2, 3) ; (3, 3)

Das Ergebnis lautet also:

Wir sehen, dass im Gegensatz zur Kombination ohne Wiederholung Doppelanordnungen (1, 1) ; (2, 2) und (3, 3) hinzukommen.

(2) Gegeben sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4. Gesucht ist die Anzahl der Zweierkombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Wir erhalten folgende Anordnungen:

(1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (2, 3) ; (2, 4) ; (3, 3) ; (3, 4) ; (4, 4)

Das Ergebnis lautet also:

Wir sehen, dass im Gegensatz zur Kombination ohne Wiederholung Doppelanordnungen (1, 1) ; (2, 2) ; (3, 3) und (4, 4) hinzukommen.

(3) Gegeben sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4. Gesucht ist die Anzahl der Dreierkombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Wir erhalten folgende Anordnungen:

Zunächst diejenigen mit Mehrfachanordnungen:

(1, 1, 1) ;	(1, 1, 2) ;	(1, 1, 3) ;	(1, 1, 4)
(2, 2, 1) ;	(2, 2, 2) ;	(2, 2, 3) ;	(2, 2, 4)
(3, 3, 1) ;	(3, 3, 2) ;	(3, 3, 3) ;	(3, 3, 4)
(4, 4, 1) ;	(4, 4, 2) ;	(4, 4, 3) ;	(4, 4, 4)

Es verbleiben die Kombinationen ohne Wiederholung

(1, 2, 3) ; (1, 2, 4) ; (1, 3, 4) ; (2, 3, 4)

Das Ergebnis lautet also:

Wir sehen, dass im Gegensatz zur Kombination ohne Wiederholung 16 Anordnungen mit Mehrfachnennungen hinzukommen.

(4) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 5. Gesucht ist die Anzahl der Dreierkombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Wir erhalten folgende Anordnungen:

Zunächst diejenigen mit Mehrfachanordnungen:

(1, 1, 1) ;	(1, 1, 2) ;	(1, 1, 3) ;	(1, 1, 4) ;	(1, 1, 5)
(2, 2, 1) ;	(2, 2, 2) ;	(2, 2, 3) ;	(2, 2, 4) ;	(2, 2, 5)
(3, 3, 1) ;	(3, 3, 2) ;	(3, 3, 3) ;	(3, 3, 4) ;	(3, 3, 5)
(4, 4, 1) ;	(4, 4, 2) ;	(4, 4, 3) ;	(4, 4, 4) ;	(4, 4, 5)
(5, 5, 1) ;	(5, 5, 2) ;	(5, 5, 3) ;	(5, 5, 4) ;	(5, 5, 5)

Hinzu kommen die 10 Kombinationen ohne Wiederholung:

(1, 2, 3) ;	(1, 2, 4) ;	(1, 2, 5) ;	(1, 3, 4) ;	(1, 3, 5) ;	(1, 4, 5)
(2, 3, 4) ;	(2, 3, 5) ;	(2, 4, 5) ;	(3, 4, 5)

Das Ergebnis lautet also:

Wir sehen, dass im Gegensatz zur Kombination ohne Wiederholung 25 Anordnungen mit Mehrfachnennungen hinzukommen.

(5) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 6. Gesucht ist die Anzahl der Dreierkombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Hierbei können 6 mal zwei gleiche Zahlen jeweils an Position 1 und 2 stehen. An Position 3 konnten dann jeweils die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 stehen. Es ergeben sich also 6 x 6 = 36 Kombinati - onen mit Mehrfachanordnungen.

Mit den verbleibenden 20 Kombinationen ohne Wiederholung erhalten wir:

(6) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 5. Gesucht ist die Anzahl der Viererkombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

3 gleiche Zahlen an den Positionen 1 bis 3 (5 x 5)

(1, 1, 1, 1) ;	(1, 1, 1, 2) ;	(1, 1, 1, 3) ;	(1, 1, 1, 4) ;	(1, 1, 1, 5)
(2, 2, 2, 1) ;	(2, 2, 2, 2) ;	(2, 2, 2, 3) ;	(2, 2, 2, 4) ;	(2, 2, 2, 5)
(3, 3, 3, 1) ;	(3, 3, 3, 2) ;	(3, 3, 3, 3) ;	(3, 3, 3, 4) ;	(3, 3, 3, 5)
(4, 4, 4, 1) ;	(4, 4, 4, 2) ;	(4, 4, 4, 3) ;	(4, 4, 4, 4) ;	(4, 4, 4, 5)
(5, 5, 5, 1) ;	(5, 5, 5, 2) ;	(5, 5, 5, 3) ;	(5, 5, 5, 4) ;	(5, 5, 5, 5)

2 gleiche Zahlen an den Positionen 1 und 2 und die 1 an Position 3

(1, 1, 1, 1) ;	(1, 1, 1, 2) ;	(1, 1, 1, 3) ;	(1, 1, 1, 4) ;	(1, 1, 1, 5)	0
(2, 2, 1, 1) ;	(2, 2, 1, 2) ;	(2, 2, 1, 3) ;	(2, 2, 1, 4) ;	(2, 2, 1, 5)	4
(3, 3, 1, 1) ;	(3, 3, 1, 2) ;	(3, 3, 1, 3) ;	(3, 3, 1, 4) ;	(3, 3, 1, 5)	4
(4, 4, 1, 1) ;	(4, 4, 1, 2) ;	(4, 4, 1, 3) ;	(4, 4, 1, 4) ;	(4, 4, 1, 5)	4
(5, 5, 1, 1) ;	(5, 5, 1, 2) ;	(5, 5, 1, 3) ;	(5, 5, 1, 4) ;	(5, 5, 1, 5)	4

2 gleiche Zahlen an den Positionen 1 und 2 und die 2 an Position 3

(1, 1, 2, 1) ;	(1, 1, 2, 2) ;	(1, 1, 2, 3) ;	(1, 1, 2, 4) ;	(1, 1, 2, 5)	3
(2, 2, 2, 1) ;	(2, 2, 2, 2) ;	(2, 2, 2, 3) ;	(2, 2, 2, 4) ;	(2, 2, 2, 5)	0
(3, 3, 2, 1) ;	(3, 3, 2, 2) ;	(3, 3, 2, 3) ;	(3, 3, 2, 4) ;	(3, 3, 2, 5)	3
(4, 4, 2, 1) ;	(4, 4, 2, 2) ;	(4, 4, 2, 3) ;	(4, 4, 2, 4) ;	(4, 4, 2, 5)	3
(5, 5, 2, 1) ;	(5, 5, 2, 2) ;	(5, 5, 2, 3) ;	(5, 5, 2, 4) ;	(5, 5, 2, 5)	3

2 gleiche Zahlen an den Positionen 1 und 2 und die 3 an Position 3

(1, 1, 3, 1) ;	(1, 1, 3, 2) ;	(1, 1, 3, 3) ;	(1, 1, 3, 4) ;	(1, 1, 3, 5)	2
(2, 2, 3, 1) ;	(2, 2, 3, 2) ;	(2, 2, 3, 3) ;	(2, 2, 3, 4) ;	(2, 2, 3, 5)	2
(3, 3, 3, 1) ;	(3, 3, 3, 2) ;	(3, 3, 3, 3) ;	(3, 3, 3, 4) ;	(3, 3, 3, 5)	0
(4, 4, 3, 1) ;	(4, 4, 3, 2) ;	(4, 4, 3, 3) ;	(4, 4, 3, 4) ;	(4, 4, 3, 5)	2
(5, 5, 3, 1) ;	(5, 5, 3, 2) ;	(5, 5, 3, 3) ;	(5, 5, 3, 4) ;	(5, 5, 3, 5)	2

2 gleiche Zahlen an den Positionen 1 und 2 und die 4 an Position 3

(1, 1, 4, 1) ;	(1, 1, 4, 2) ;	(1, 1, 4, 3) ;	(1, 1, 4, 4) ;	(1, 1, 4, 5)	1
(2, 2, 4, 1) ;	(2, 2, 4, 2) ;	(2, 2, 4, 3) ;	(2, 2, 4, 4) ;	(2, 2, 4, 5)	1
(3, 3, 4, 1) ;	(3, 3, 4, 2) ;	(3, 3, 4, 3) ;	(3, 3, 4, 4) ;	(3, 3, 4, 5)	1
(4, 4, 4, 1) ;	(4, 4, 4, 2) ;	(4, 4, 4, 3) ;	(4, 4, 4, 4) ;	(4, 4, 4, 5)	0
(5, 5, 4, 1) ;	(5, 5, 4, 2) ;	(5, 5, 4, 3) ;	(5, 5, 4, 4) ;	(5, 5, 4, 5)	1

2 gleiche Zahlen an den Positionen 1 und 2 und die 5 an Position 3

(1,1, 5, 1) ;	(1, 1,5, 2) ;	(1, 1, 5, 3) ;	(1,1, 5, 4) ;	(1, 1,5, 5)
(2,2, 5, 1) ;	(2, 2,5, 2) ;	(2, 2, 5, 3) ;	(2,2, 5, 4) ;	(2, 2,5, 5)
(3,3, 5, 1) ;	(3, 3,5, 2) ;	(3, 3, 5, 3) ;	(3,3, 5, 4) ;	(3, 3,5, 5)
(4,4, 5, 1) ;	(4, 4,5, 2) ;	(4, 4, 5, 3) ;	(4,4, 5, 4) ;	(4, 4,5, 5)
(5,5, 5, 1) ;	(5, 5,5, 2) ;	(5, 5, 5, 3) ;	(5,5, 5, 4) ;	(5, 5,5, 5)

Die grau hinterlegten Kombinationen sind Dubletten und zählen nicht, weil wir nur die Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge werten. Folgende Kombinationen sind z.B. gleichwertig und werden nur einmal gezählt:

(1, 1, 1, 2) ;	(1, 1, 2, 1) ;	(1, 2, 1, 1) ;	(2, 1, 1, 1)
(4, 4, 3, 2) ;	(4, 4, 2, 3) ;	(4, 3, 4, 2) ;	(4, 3, 2, 4); … ; (2, 3, 4, 4)

Man kann zeigen, dass es keine weiteren 4er Kombinationen mit Mehrfachanordnungen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge für n = 5, k = 4 mehr gibt.

Wir können diese also wie folgt berechnen:

(mmA: mit Mehrfachanordnungen)

Zusammen mit den 5 Kombinationen ohne Wiederholung erhalten wir Kombinationen.

(7) Gegeben sind die Zahlen 1 bis 6. Gesucht ist die Anzahl der Viererkombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

3 gleiche Zahlen an den Positionen 1 bis 3 (6 x 6)

(1, 1, 1, 1) ;	(1, 1, 1, 2) ;	(1, 1, 1, 3) ;	(1, 1, 1, 4) ;	(1, 1, 1, 5) ;	(1, 1, 1, 6)
(2, 2, 2, 1) ;	(2, 2, 2, 2) ;	(2, 2, 2, 3) ;	(2, 2, 2, 4) ;	(2, 2, 2, 5) ;	(2, 2, 2, 6)
(3, 3, 3, 1) ;	(3, 3, 3, 2) ;	(3, 3, 3, 3) ;	(3, 3, 3, 4) ;	(3, 3, 3, 5) ;	(3, 3, 3, 6)
(4, 4, 4, 1) ;	(4, 4, 4, 2) ;	(4, 4, 4, 3) ;	(4, 4, 4, 4) ;	(4, 4, 4, 5) ;	(4, 4, 4, 6)
(5, 5, 5, 1) ;	(5, 5, 5, 2) ;	(5, 5, 5, 3) ;	(5, 5, 5, 4) ;	(5, 5, 5, 5) ;	(5, 5, 5, 6)
(6, 6, 6, 1) ;	(6, 6, 6, 2) ;	(6, 6, 6, 3) ;	(6, 6, 6, 4) ;	(6, 6, 6, 5) ;	(6, 6, 6, 6)

2 gleiche Zahlen an den Positionen 1 und 2 und die 1 an Position 3

(1, 1, 1, 1) ;	(1, 1, 1, 2) ;	(1, 1, 1, 3) ;	(1, 1, 1, 4) ;	(1, 1, 1, 5) ;	(1, 1, 1, 6)	0
(2, 2, 1, 1) ;	(2, 2, 1, 2) ;	(2, 2, 1, 3) ;	(2, 2, 1, 4) ;	(2, 2, 1, 5) ;	(2, 2, 1, 6)	5
(3, 3, 1, 1) ;	(3, 3, 1, 2) ;	(3, 3, 1, 3) ;	(3, 3, 1, 4) ;	(3, 3, 1, 5) ;	(3, 3, 1, 6)	5
(4, 4, 1, 1) ;	(4, 4, 1, 2) ;	(4, 4, 1, 3) ;	(4, 4, 1, 4) ;	(4, 4, 1, 5) ;	(4, 4, 1, 6)	5
(5, 5, 1, 1) ;	(5, 5, 1, 2) ;	(5, 5, 1, 3) ;	(5, 5, 1, 4) ;	(5, 5, 1, 5) ;	(5, 5, 1, 6)	5
(6, 6, 1, 1) ;	(6, 6, 1, 2) ;	(6, 6, 1, 3) ;	(6, 6, 1, 4) ;	(6, 6, 1, 5) ;	(6, 6, 1, 6)	5

2 gleiche Zahlen an den Positionen 1 und 2 und die 2 an Position 3

(1, 1, 2, 1) ;	(1, 1, 2, 2) ;	(1, 1, 2, 3) ;	(1, 1, 2, 4) ;	(1, 1, 2, 5) ;	(1, 1, 2, 6)	4
(2, 2, 2, 1) ;	(2, 2, 2, 2) ;	(2, 2, 2, 3) ;	(2, 2, 2, 4) ;	(2, 2, 2, 5) ;	(2, 2, 2, 6)	0
(3, 3, 2, 1) ;	(3, 3, 2, 2) ;	(3, 3, 2, 3) ;	(3, 3, 2, 4) ;	(3, 3, 2, 5) ;	(3, 3, 2, 6)	4
(4, 4, 2, 1) ;	(4, 4, 2, 2) ;	(4, 4, 2, 3) ;	(4, 4, 2, 4) ;	(4, 4, 2, 5) ;	(4, 4, 2, 6)	4
(5, 5, 2, 1) ;	(5, 5, 2, 2) ;	(5, 5, 2, 3) ;	(5, 5, 2, 4) ;	(5, 5, 2, 5) ;	(5, 5, 2, 6)	4
(6, 6, 2, 1) ;	(6, 6, 2, 2) ;	(6, 6, 2, 3) ;	(6, 6, 2, 4) ;	(6, 6, 2, 5) ;	(6, 6, 2, 6)	4

Ich glaube jetzt wird das Rechenschema deutlich. Wir erhalten:

Mit den verbleibenden 15 Kombinationen ohne Wiederholung erhalten wir:

1.3.2.2 Berechnung der Kombination mit Wiederholung

In den Beispielen haben wir die Lösungen mehr oder weniger durch Probieren gefunden. Es gibt jedoch auch eine Berechnungsformel, die es gestattet die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge direkt zu berechnen:

Im Folgenden überprüfen wir die Formel anhand der Beispiele aus 1.3.2.1

Zur Ableitung der Formel kann man folgendes Gedankenexperiment durchspielen:

Wenn aus einer Menge von n Elementen k Elemente mit Zurücklegen entnommen werden, so stehen diese bei den nächsten Zügen immer wieder zur Verfügung. Man legt also k – 1 mal 1 Element zurück. Da nach dem k-ten Element kein weiterer Zug durchgeführt wird, steht dieses letzte Element natürlich nicht mehr zur Verfügung.

Wenn wir diese Betrachtung auf die Kombinationen ohne Wiederholung übertragen, dann ist es doch so, als ob die Anzahl der zur Verfügung stehenden Elemente um k – 1 Elemente erweitert würde. Wir tun also so, als würden uns n + k – 1 Elemente zur Verfügung stehen, und wir ziehen k Elemente ohne Zurücklegen aus dieser erweiterten Menge.

Ein Beispiel:

In einer Urne befinden sich 5 Elemente (1, 2, 3, 4, 5). Es sollen 3 Elemente mit Zurücklegen gezogen werden.

Man zieht die erste Kugel, schreibt das Ereignis auf und legt die Kugel wieder zurück.
Man zieht die zweite Kugel, schreibt das Ereignis auf und legt die Kugel wieder zurück.
Man zieht die dritte Kugel und schreibt das Ereignis auf.