© 2019, Christian Valéry Nguembou Tagne
« Cette œuvre est protégée par le droit d’auteur et strictement réservée à l’usage privé du client. Toute reproduction ou diffusion au profit de tiers, à titre gratuit ou onéreux, de tout ou partie de cette œuvre, est strictement interdite et constitue une contrefaçon prévue par les articles L 335-2 et suivants du Code de la Propriété Intellectuelle. L’auteur se réserve le droit de poursuivre toute atteinte à ses droits de propriété intellectuelle devant les juridictions civiles ou pénales. »
Éditeur : BoD - Books on Demand GmbH,
12/14 rond-point des Champs Élysés, 75008 Paris
Impression : BoD - Books on Demand GmbH, Allemagne
ISBN : 978-2-322-11193-0
Dépôt légal : avril 2019
À la mémoire de
PAULINE CHUEM
(1906 – 2011)
Conformément à son titre, cet ouvrage est une chronique de l’épreuve de mathématiques au baccalauréat C et E du Cameroun, pour les onze sessions de 2008 à 2018. Il est composé de onze chapitres correspondants à ces sessions. Chaque chapitre se décline en trois sections. La première section reprend l’énoncé original du sujet. La deuxième section propose dans la foulée un corrigé du sujet. La troisième section, conclusion du chapitre, est dédiée à des notes et commentaires succincts sur l’énoncé ou le corrigé proposé.
Traditionnellement, les annales sont des outils mis à la disposition des apprenants pour la préparation aux épreuves des examens officiels des divers ordres d’enseignement. Le présent texte s’inscrit dans cette tradition didactique. En effet, il présente des corrigés détaillés, des notes informatives, des commentaires explicatifs, et un index thématique pour une lecture ciblée et un apprentissage méthodique.
En plus d’être des textes didactiques, les annales sont manifestement des documents d’archives. Cette dimension historique a été un moteur de la rédaction de ce livre, qui est le premier opus d’une collection visant la constitution d’archives pour le présent et la postérité.
Francfort-sur-le-Main, le 15 avril 2019
Christian V. Nguembou Tagne
formalis-mathematica.net
Ce sujet comporte trois exercices et un problème. Le premier exercice s’adresse exclusivement aux candidats de la série C. Le deuxième est réservé aux postulants de la série E. L’exercice 3 et le problème sont communs à tous les aspirants des deux séries C et E.
Exercice 1 (C) : Équation diophantienne – Suites de complexes.
1. Résoudre dans Z2 l’équation 12x − 5y = 3.
2. On considère la suite de nombres complexes (Zn)n∈N définie par
pour tout n ≥ 0. On désigne par Mn le point image de Zn dans le plan complexe d’origine O.
Exercice 2 (E) : Suites réelles.
Soient les deux suites numériques u et v définies pour tout n ∈ N∗ par
1. Démontrer que la suite converge vers
2. Soient les fonctions numériques f , g et h définies par
puis
et
Montrer que f(x) ≥ 0, puis g(x) ≥ 0 et h(x) ≥ 0 pour chaque réel positif x.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n.
4. En déduire que
pour tout entier naturel non nul n, et calculer la limite de la suite u.
Exercice 3 : Projection orthogonale – Sphère – Tétraèdre.
Soit l’espace E rapporté à un repère orthonormé direct On considère les points A(3,−2, 2) ; B(6, 1, 5) ; C(6,−2,−1) et D(0, 4,−1).
1. Déterminer le produit vectoriel et en déduire que les points A, B et C sont non alignés.
2.(a) Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
(b) Écrire une équation cartésienne du plan (P1) orthogonal à la droite (AC) passant par A.
(c) Vérifier que le plan (P2) d’équation x+y+z−3 = 0 est orthogonal à la droite (AB) et passe par A.
3. Donner l’expression analytique de la projection orthogonale p sur le plan (P2).
4.(a) Écrire une équation cartésienne de la sphère (S) de centre B et de rayon
(b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble
5.(a) Calculer les produits scalaires En déduire que la droite (AD) est orthogonale au plan (ABC).
(b) On rappelle que le volume du tétraèdre ABCD est
où a est l’aire du triangle ABC. Déterminer alors la valeur de V.
Problème : Probabilités et coniques – Fonctions – Similitudes.
Partie A.
On considère trois urnes U, V et W contenant chacune des boules portant le numéro 1 ou le numéro 2. Le probabilité de tirer une boule numérotée 1 de U est P1 = 0,4; celle de tirer 1 de V est P2 = 0,5; et enfin celle de tirer 1 de W est P3 = 0,7.
On tire une boule de U, une boule de V et une autre de W. Soient a, b et c les numéros respectifs de ces boules.
Soit (Q) le plan d’équation ax + by + cz + 6 = 0, et soit (E) la conique d’équation
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
Partie B.
On considère la fonction f définie de [−π,π] \ {0} vers R par
1. Soit la fonction
Étudier la et dresser son tableau de variation sur l’intervalle [−π, π].
2. Démontrer que pour tout t ∈ [−π, π].
3. En déduire que, si x est un réel non nul de [−π, π], alors
où ln désigne le logarithme népérien. Vous distinguerez obligatoirement les cas « x positif » et « x négatif ».
4.(a) En déduire
(b) Peut-on prolonger par continuité f en 0? Justifier la réponse.
5. Montrer que f est dérivable sur [−π, π] \ {0}, puis calculer le nombre dérivé de f en
On considère la fonction h définie de ]0,+∞[ vers R par
6. La fonction h est-elle deux fois dérivable sur ]0,+∞[ ?
7. Vérifier que h est solution de l’équation différentielle
pour tout x de l’intervalle ]0,+∞[.
Partie C.
Le plan étant direct, on considère un carré direct ABCD. Par ailleurs, E désignant le milieu du segment [CD], soient F et G des points tels que DEFG soit aussi un carré direct.
1. Faire une figure.
2. Soit s la similitude de centre D qui transforme A en B. Donner le rapport et l’angle de s.
3. Déterminer s(E).
4. Soit Γ le cercle circonscrit à ABCD et I le point d’intersection des droites (AE) et (BF).
(a) Calculer En déduire que I ∈ Γ.
(b) Montrer que les droites (IB) et (ID) sont orthogonales.
5. On suppose le plan rapporté au repère orthonormé et AB = 3.
(a) Donner l’écriture
complexe de s.
(b) On pose Soit Montrer que est une base et donner la matrice de l’application linéaire associée à s dans cette base.
Solution de l’Exercice 1 (C).
1.
Soit S l’ensemble des solutions dans Z2 de l’équation
Le nombre premier 5 n’intervient pas dans la décomposition en facteurs premiers 22 × 3 de 12. De ce fait, les nombres 12 et −5 sont premiers entre eux. Selon le théorème de BÉZOUT, il existe donc un couple (u, v) ∈ Z2 tel que 12u − 5v = 1. Ainsi, (3u, 3v) ∈ S. Autrement dit, le couple (3u, 3v) est une solution particulière de l’equation (∗) dans Z2. Il en résulte que
Ainsi, pour conclure la résolution de l’équation (∗), il suffit de déterminer le couple (u, v) dont l’existence est garantie par le théorème de BÉZOUT. À cet effet, nous mettons à contribution l’algorithme d’EUCLIDE. Ce dernier livre
De ce fait,
Donc, u = −2 et v = −5. Cependant, 5l + 3u = 5l−6 = 5(l−1) − 1 et 12l + 3v = 12l−15 = 12(l − 1) − 3 pour chaque l ∈ Z. Par conséquent,
2.
Soit la suite de nombres complexes définie par
pour tout n ≥ 0. Soit du reste Mn le point d’affixe Zn dans le plan complexe d’origine O.
(a) Montrons par récurrence que
pour tout entier naturel n. De toute évidence,
Maintenant, supposons que pour un entier naturel n quelconque. Alors,
Cependant, et sin tandis que
pour chaque α ∈ R. De ce fait,
et
Par conséquent,
Il en résulte que
Ceci conclut la démonstration par récurrence sur n de l’égalité (∗∗).
(b) Soit E l’ensemble des entiers naturels n pour lesquels Mn appartient à la demi-droite [Ox). Par définition, n ∈ E si et seulement si abscisse et ordonnée du point Mn sont respectivement positive ou nulle, et nulle. Or, par définition, abscisse et ordonnée de Mn sont respectivement partie réelle et partie imaginaire de Zn. Puisque
il s’ensuit que n ∈ E si et seulement si
c’est-à-dire
En outre, cos2 α + sin2 α = 1 pour tout réel. Donc, cos α = 0 si et seulement si sin α ∈ {−1, 1}. De ce fait, la conjonction (†) est équivalente à
Notoirement, le réel est l’unique satisfaisant cos α = 0 et sin α = −1. Un réel α vérifie donc cos α = 0 et sin α = −1 si et seulement s’il existe un entier relatif a tel que Par conséquent, un entier naturel n appartient à E si et seulement s’il existe un entier relatif a tel que
c’est-à-dire ou encore 3 = 12a − 5n. Ainsi, un point Mn, avec n ∈ N, appartient à la demi-droite [Ox) si et seulement s’il existe un entier relatif a tel que le couple (a, n) soit solution de l’équation (∗) de la question (1). Par conséquent, l’ensemble E des entiers naturels n, pour lesquels Mn appartient à la demi-droite [Ox), est déterminé par
Or l’inégalité est équivalente à De ce fait,
Solution de l’Exercice 2 (E).
Soient u et v les suites numériques définies pour tout par
1.
Montrons que la suite converge vers À cet effet, notons que chaque terme de cette suite est le produit de l’inverse d’un monôme par la somme d’une suite arithmétique. Notamment,
Il s’agit en l’espèce de la somme des n + 1 premiers termes consécutifs de la suite arithmétique ayant 0 pour terme initial et 1 pour raison, c’est-à-dire
Par conséquent,
pout tout n ∈ N∗. Cependant, De ce fait,
2.
Soient les fonctions numériques f , g et h définies par
puis
et
La fonction f est dérivable sur R, en tant que somme de deux fonctions dérivables : l’identité et l’opposé du sinus. Du reste,
pour tout x ∈ R. De ce fait, la fonction f est croissante sur R. Donc,
pour tout réel x ≥ 0.
De manière analogue à f , la fonction g, somme d’un polynôme et du cosinus, est dérivable sur R. Par ailleurs,
pour tout réel x ≥ 0. Donc, g est croissante sur l’intervalle [0,+∞[. D’où
pour chaque réel x ≥ 0.
Comme f et g, la fonction h, somme d’un polynôme et du sinus, est dérivable sur R avec
pour tout x ∈ [0,+∞[. Ainsi, la fonction h est croissante sur l’intervalle [0,+∞[. Ceci induit
pour chaque réel x ≥ 0.
Somme toute, pour tout nombre réel x ≥ 0, les images respectives de x par f , g et h sont supérieures ou égales à 0.
3.
À l’évidence, l’égalité n = 1 entraîne Maintenant, supposons la validité de l’inégalité
pour un entier naturel non nul n quelconque. Alors,
Cependant,
et
Par conséquent,
Eu égard à la règle de récurrence, il en résulte que
pour chaque n ∈ N∗.
4.
Soit n ∈ N∗ et i ∈ N tel que 1 ≤ i ≤ n. Alors, Autrement dit,
Du reste, Ceci signifie que
c’est-à-dire
Tout compte fait,
pour chaque i ∈ {1, . . . , n}. Ainsi,
En d’autres termes,
Or, la question (3) assure la validité de l’inégalité Donc,
Par conséquent,
Au demeurant, la suite converge notoirement vers 0. De ce fait,
et
D’après le théorème des gendarmes et selon les inégalités (††), il s’ensuit
Solution de l’Exercice 3.
Soit l’espace E rapporté à un repère orthonormé direct On considère les points A(3,−2, 2) ; B(6, 1, 5) ; C(6,−2,−1) et D(0, 4,−1).
1.
Pour déterminer le produit vectoriel il convient de noter que
et
Alors,
De toute évidence, Les vecteurs sont de ce fait non colinéaires. Ceci signifie que les points A, B et C sont non alignés.
2.
(a) Observons que
Les droites (AB) et (AC), sécantes en A, sont donc perpendiculaires en A. Le triangle ABC est par conséquent rectangle en A.
(b) Soit (P1) le plan orthogonal à la droite (AC) passant par A. Alors, un point M (x, y, z) de l’espace E appartient au plan (P1) si et seulement si Cependant,
et
Par conséquent, x − z − 1 = 0 est une équation cartésienne du plan (P1).
(c) Soit (P2) le plan d’équation x + y + z − 3 = 0. Alors, le vecteur est normal à (P2). Par ailleurs,
Ainsi, le point A appartient à (P2). Du reste,
Le vecteur est de ce fait colinéaire au vecteur normal au plan (P2) contenant le point A. Par conséquent, (P2) est orthogonal à la droite (AB) en A.
3.
Soit p la projection orthogonale sur le plan (P2). Alors, pour des points M(x, y, z) et M′(x′, y′, z′), l’égalité M′ = p(M) est satisfaite si et seulement si M′ ∈ (P2) et s’il existe un réel λ tel que , où Ceci équivaut à la validité du système suivant :
D’où
Donc,
Par conséquent, la projection orthogonale sur le plan (P2) est donnée de manière analytique par
où
4.
(a) Soit (S) la sphère de centre B et de rayon Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, une équation cartésienne de (S) est
ou encore
(b) Soit La nature de L dépend de la valeur de la distance du cente B au plan (P2). Celle-ci,
est en l’occurrence strictement inférieure au rayon de la sphère (S). De ce fait, L est un cercle de centre B′ = p(B) et de rayon
Du reste, d’après la question (3), les coordonnées du point B ′ sont déterminées par
En conclusion, l’ensemble est le cercle de centre B′(3,−2, 2) et de rayon
5.
(a) Par définition,
Il a déjà été établi plus haut que
Donc,
et
Il en résulte que la droite (AD) est perpendiculaire simultanément aux droites (AB) et (AC). Ces dernières, sécantes en A, définissent le plan (ABC). La droite (AD) est de ce fait orthogonale au plan (ABC) en A.
(b) Le volume du tétraèdre ABCD est
où a désigne l’aire du triangle ABC. Ce dernier étant rectangle en A, nous avons
Donc, Cependant,
Par conséquent,
Solution du Problème.
Partie A.
On considère trois urnes U, V et W contenant chacune des boules portant le numéro 1 ou le numéro 2. Le probabilité de tirer une boule numérotée 1 de U est P1 = 0,4; celle de tirer 1 de V est P2 = 0,5; et enfin celle de tirer 1 de W est P3 = 0,7.
On tire une boule de U, une boule de V et une autre de W. Soient a, b et c les numéros respectifs de ces boules.
Soit (Q) le plan d’équation ax + by + cz + 6 = 0, et soit (E) la conique d’équation
Soit Ω l’univers de l’expérience aléatoire définie ci-dessus. Alors, les numéros respectifs a, b et c des boules tirées des urnes U, V et W déterminent des variables sur Ω à valeurs dans la paire {1, 2}. Chacune de ces variables aléatoires correspond à une épreuve de Bernoulli. Leurs lois de probabilité sont donc données respectivement par
puis
ainsi que
(a) Soit l’événement A : « le plan (Q) est parallèle au plan (P) d’équation x+2y+z−4 = 0 ». Pour déterminer sa probabilité P(A), il convient d’observer que (Q) est parallèle à (P) si et seulement si
c’est-à-dire si b = 2a et a = c. Or, 2 est l’unique nombre pair de {1, 2}, ensemble-image de la variable aléatoire b. Ainsi, b = 2 et a = c = 1. De plus,
Donc, pour (a, b, c) ∈ {1, 2}3, l’assertion est équivalente à (a, b, c) = (1,2, 1). De ce fait, (Q) * (P) si et seulement si (a, b, c) = (1,2, 1). Les variables aléatoires a, b et c étant indépendantes, il en résulte que
(b) Le plan (Q) contient le point M(0,−2,−1) si et seulement si
c’est-à-dire si 2b + c = 6. Cependant, b ≤ 2. L’égalité c = 1 induirait donc
Ainsi, pour (b, c) ∈ {1, 2}2, l’égalité 2b+c = 6 entraîne c = 2 et 2b = 4 (c’est-à-dire b = 2). Par ailleurs, la conjonction b = 2 et c = 2 implique 2b + c = 6.
De ce fait, M ∈ (Q) si et seulement si (b, c) = (2,2). La probabilité de l’événement
est par conséquent
(c) La conique (E) est une ellipse si et seulement si
c’est-à-dire ou encore et a b. Dans le mesure où (a, b, c) ∈ {1, 2}3, ceci équivaut à
La probabilité de l’événement,
est déterminée par
(d) Par définition, la conique (E) est une hyperbole équilatère si et seulement si (−1)c = 1 et a = b, c’est-à-dire c = 2 et a = b. Cette conjonction est équivalente à
car (a, b, c) ∈ {1, 2}3. La probabilité de l’événement,
vaut de ce fait
Partie B.
Soit f la fonction définie de [−π, π] \ {0} vers R par
1.
La fonction
est dérivable, et donc continue, sur R, en tant que somme d’un polynôme et de l’opposé du cosinus. Du reste, pour tout x ∈ R, nous avons
et
Cependant, cos x ≤ 1 pour chaque réel x, tandis que cos x = 1 si et seulement si x = 2kπ pour un entier n ∈ Z. Ainsi, g′(0) = 0 et g′′(x) < 0 pour chaque x ∈ [−π, 0[ ∪ ]0, π]. Par conséquent, la fonction g′ est strictement décroissante sur l’intervalle [−π, π]. Puisque
il en résulte que g′(x) > 0 pour chaque x ∈ [−π, 0[ et g′(x) < 0 pour tout x ∈ ]0, π]. Au demeurant, la continuité de g sur R livre
et
Par ailleurs,
Ces informations conduisent au tableau de variation ci-dessous.
2.
Ce tableau de variation montre que g(x) ≤ 0, c’est-à-dire pour chaque x ∈ [−π, π]. Par ailleurs, l’inégalité cos x ≤ 1 est consubstantielle à la définition du cosinus. En somme, pour tout x ∈ [−π, π], nous avons
3.
Soit un nombre réel t > 0. Alors, il existe un réel s ∈ ]0, π] et un nombre entier n ∈ N tel que t = s + 2nπ. Ainsi,
Puisque il en résulte que
pour tout t > 0. Nous avons de ce fait
pour chaque x ∈ ]0, π]. Or,
et
Ceci induit
pour tout x ∈ ]0, π].
Dans le même esprit, soit un réel t < 0. Alors, il existe un réel s ∈ [−π, 0[ et un entier relatif k ≤ 0 tel que t = s + 2kπ. Donc,
Par conséquent,
pour tout réel t < 0. Pour chaque x ∈ [−π, 0[, nous avons donc
c’est-à-dire
ou encore
D’où
Tout compte fait, pour chaque x ∈ [−π, 0[ ∪ ]0, π], nous obtenons
4.
(a) Eu égard à la continuité des fonctions polynômes,
D’après le théorème des gendarmes et compte tenu de l’égalité il s’ensuit
(b) La fonction f peut être prolongée par continuité en 0. En effet, bien que n’étant pas définie en 0, elle admet une limite finie en 0. Précisément, si la continuité de f sur les intervalles [−π, 0[ et ]0, π] est établie, alors la fonction
est le prolongement par continuité de f en 0.
5.
Soit x ∈ ]0, π]. Alors, 3x ∈ ]0, 3π]. Or, la fonction
est continue sur l’intervalle ]0,+∞[. Ainsi, la fonction
primitive de l s’annulant en 1, est dérivable sur ]0,+∞[. En outre,
La fonction f est par conséquent dérivable sur ]0, π] avec
pour chaque x ∈ ]0, π]. Un raisonnement analogue montre que f est dérivable sur l’intervalle [−π, 0[ et que
pour tout x ∈ [−π, 0[ ∪ ]0, π]. En particulier,
D’où
6.
Soit la fonction h définie de ]0,+∞[ vers R par