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Este volumen de matemáticas ofrece a los lectores una magnífica oportunidad de acceder a los aspectos fundamentales de las matemáticas y de comprender su lógica, muchas veces misteriosa y sorprendente, pero siempre fascinante. Para facilitar al máximo la comprensión, hemos realizado una obra predominantemente gráfica, partiendo de problemas extraídos de la vida cotidiana y empleando un lenguaje sencillo y claro.

Se ha pretendido dar una visión suficientemente amplia de las diferentes partes en las que se divide la actividad matemática: de la aritmética al álgebra pasando por el análisis, la geometría o la estadística e incluyendo aspectos que tienen una historia muy reciente como la geometría fractal, la lógica borrosa o la teoría del caos.

Al emprender la edición de este volumen de matemáticas nos propusimos realizar una obra práctica, didáctica y accesible, rigurosa y, a la par, amena y clara, útil tanto para el escolar que esté realizando actualmente el aprendizaje de las matemáticas, como para el que en su día encontrase dificultades para comprenderlas y hoy necesite acercarse de nuevo a ellas. No en vano ya casi nadie pone en duda que las matemáticas resultan esenciales para explicar el mundo en el que vivimos y deben formar parte en nuestros días de la cultura básica de cualquier persona. Esperamos que los lectores consideren que hemos acertado.

A menudo asociamos la palabra matemáticas al estudio de los números y a las operaciones que pueden efectuarse con ellos. Pero nada más lejos de la realidad. Las operaciones aritméticas representan sólo una pequeña isla en el amplio océano matemático. El objeto de las matemáticas es enunciar preguntas sobre los fenómenos que observamos y elaborar modelos teóricos abstractos que la ciencia pueda utilizar para estudiar y transformar el universo que nos rodea. De hecho, la palabra matemáticas deriva del griego mathema, que significa conocer o averiguar.

El mismo concepto de número es un ente abstracto que surge cuando nuestros antepasados, se supone que en la misma época en la que descubrieron el fuego, se dieron cuenta de lo que tenían en común un trío de piedras, de personas o de animales: el número tres.

Las matemáticas alcanzaron ya un gran desarrollo en civilizaciones antiguas como la egipcia, la china, la mesopotámica o la de la Grecia clásica. Los árabes trajeron a Europa la mayor parte del saber matemático de dichas civilizaciones y ya en el viejo continente las matemáticas tomaron un impulso imparable: primero con los algebristas del Renacimiento y después con la gran revolución científica de los siglos XVII y XVIII, preludio de la revolución industrial del siglo XIX.

En nuestros días, las matemáticas son una herramienta imprescindible para el desarrollo de las ciencias experimentales como la física, la química o la biología; se aplican con éxito a diversas ramas tecnológicas como la ingeniería, la informática o la arquitectura; facilitan una ayuda inestimable a las ciencias sociales como la economía, la sociología o la psicología, e incluso se emplean en la creación musical o en las artes plásticas.

Los números, o cifras, son entes abstractos que forman una serie ordenada y que indican la cantidad de elementos de un conjunto.

Los egipcios dominaban de tal forma las matemáticas, que hace más de 4.500 años pudieron levantar colosales pirámides de prodigiosa precisión.

Parece lógico pensar que, aplicándose a tan variadas ramas científicas, las matemáticas abarquen multitud de campos. Así es, en efecto. Ya hemos mencionado la aritmética, que nace con el descubrimiento del concepto de número natural y que ha ido evolucionando a lo largo de la historia con la introducción de nuevos conjuntos numéricos en un proceso que llega a su máximo nivel con los estudios del matemático alemán Georg Cantor (1845-1918) sobre los números transfinitos.

El elemento más característico del álgebra es el uso de letras para representar cantidades. Así, por ejemplo, la frase “El volumen de un cilindro se calcula multiplicando la superficie de su base por la longitud de su altura” puede escribirse simplificadamente en lenguaje algebraico así: V = B · h. En este caso, las letras son variables en las que podemos sustituir cantidades diferentes, según sean las dimensiones del cilindro en particular. En otras ocasiones las letras son incógnitas o cantidades desconocidas que se pueden obtener empleando procedimientos más o menos ingeniosos.

La palabra álgebra deriva de Al-gabr, título de una obra del matemático árabe al-Hwarizmi (780-850), pero el primer matemático que utilizó letras para designar a cantidades diversas fue el francés François Viète (1540-1603). El álgebra tomó un gran impulso al relacionarse con la geometría gracias a los trabajos de René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665), padres de la llamada geometría analítica.

El estudio de las relaciones existentes entre dos magnitudes, como la velocidad y el tiempo, dio lugar al concepto de función, básico en el análisis matemático. El cálculo diferencial, obra de Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), es la parte del análisis que se ocupa del estudio de la variación de una función. Ensanchado con los trabajos de Euler (1707-1783) y Gauss (1777-1855), el análisis matemático ha sido esencial para el desarrollo de las ciencias experimentales.

El inglés Isaac Newton (1642-1727) destacó en diversas disciplinas (física, matemáticas, astronomía...), en una época en que la ciencia era un todo interrelacionado.

La geometría es la parte de las matemáticas que estudia el espacio y las figuras y los cuerpos que en él se pueden imaginar.

Los matemáticos del antiguo Egipto conocían bien las formas geométricas básicas, lo que les permitió, entre otras cosas, construir sus famosas pirámides. Pero los grandes avances que experimentó la geometría en la antigüedad fueron obra de matemáticos griegos como Tales de Mileto (630-546 a.C.) o Pitágoras (580-497 a.C). Una obra completada por Euclides trescientos años antes de nuestra era. Estos estudios fueron tan profundos, que hubo que esperar muchos siglos para que se produjeran avances importantes en el campo geométrico: la geometría analítica de Descartes y Fermat y la geometría hiperbólica de Lobatxevski (1792-1856) y Bernhard Riemann (1826-1866).

La teoría de probabilidades nació como un divertimento matemático en un intercambio de cartas entre Pascal (1623-1662) y Fermat, en el que discutían sobre diversas cuestiones relativas a los juegos de azar. A pesar de las aportaciones de matemáticos de la talla de Laplace (1749-1829) y Gauss, la estadística se tomó como una rama menor de las matemáticas hasta bien entrado el siglo XX. Sin embargo, tras los trabajos del ruso Kolmogorov (1903-1987) y del alemán Fisher (1890-1962) en este campo, hoy se considera que la estadística es una de las ramas matemáticas más importantes, debido a sus múltiples aplicaciones.

Un estudio estadístico consta de tres partes. En la primera se observa un fenómeno, se toman los datos correspondientes, se resumen y se relacionan entre sí. En la segunda se buscan teorías que expliquen coherentemente dichas observaciones. En la tercera se hacen previsiones a la luz de dichas teorías.

Aunque los juegos de azar parecen sometidos al capricho de la suerte, detrás suyo hay toda una teoría matemática de la probabilidad.

El camino que vamos a seguir aquí nos permitirá visitar los elementos básicos de los campos matemáticos antes presentados. Comenzaremos con la magia de los números, los distintos sistemas de numeración que empleamos y las sucesivas ampliaciones del conjunto numérico que ha sido necesario hacer para que sea posible efectuar todas las operaciones que realizamos en la actualidad.

Una vez acabada esta etapa, intentaremos poner el álgebra a nuestro servicio, aprendiendo a plantear problemas y, seguidamente a resolverlos mediante sistemas de ecuaciones.

A continuación visitaremos el universo de las relaciones entre las cosas que nos rodean y aprenderemos a usar las funciones más empleadas para expresar matemáticamente dichas relaciones. Sólo entonces estaremos en condiciones de abordar la matemática comercial y de estudiar sus aspectos básicos, como el funcionamiento de los créditos y de las hipotecas.

Nuestro siguiente tema será la geometría plana, es decir la que estudia las figuras en dos dimensiones.

Echaremos un vistazo a la trigonometría, que se ocupa de las relaciones existentes entre los ángulos y las distancias, y que resulta fundamental en el campo de las modernas telecomunicaciones. Nos adentraremos entonces en el estudio de los cuerpos geométricos que pueblan el espacio de tres dimensiones.

Nuestra siguiente etapa constituirá una iniciación a la estadística. Ordenaremos datos, dibujaremos gráficos, hallaremos parámetros y aprenderemos a calcular probabilidades.

No nos gustaría acabar este viaje sin acercarnos a descubrir cuál es el presente y el futuro próximo de la matemática y a conocer algunos retos a los que se enfrenta la matemática de nuestros días, tales como el desarrollo de la teoría del caos, de la geometría fractal o de la lógica borrosa.

Las gráficas nos permiten representar datos (cualitativos, de ordenación o cuantitativos) mediante una construcción que facilita evaluarlos visualmente de manera rápida y comprensiva.

Gracias a los hallazgos arqueológicos y al estudio de los pueblos que viven aún de forma primitiva, sabemos que nuestros antepasados empleaban diversos sistemas para contar y ordenar los objetos. Lo hacían con los dedos, agrupando pequeñas piedras o realizando marcas en huesos y troncos de árboles. El resto más antiguo que se ha encontrado es un hueso de lobo con 55 incisiones, hallado en Europa Central y que tiene unos 50.000 años de antigüedad.

•Utilizamos diez símbolos diferentes para escribir los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por esta razón se dice que es un sistema decimal o de base diez. Diez unidades se agrupan en una decena; diez decenas, en una centena y así sucesivamente. Todo número, por tanto, se puede expresar en forma de potencias de diez:

4.546 = 4 · 1.000 + 5 · 100 + 4 · 10 + + 6 = 4 · 10³ + 5 · 10² + 4 · 10 + 6.

•El valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa. Por eso decimos que es un sistema posicional. Así, por ejemplo, en el número anterior, el cuatro situado a la izquierda vale cuatro mil mientras que el otro vale cuarenta.

Tanto la civilización azteca como la maya alcanzaron un nivel de conocimientos matemáticos muy elevado. Utilizaban sistemas de numeración posicionales, pero que no eran decimales. En la fotografía, Gran Pirámide de Chichén Itzá (México).

Los romanos empleaban siete letras para escribir los números. Sus valores eran: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 y M = 1.000.

Es un sistema de numeración no posicional, que todavía se utiliza para escribir los siglos. También podemos encontrar números romanos en los monumentos conmemorativos y en las esferas de algunos relojes. Para leerlos, tenemos que seguir las reglas siguientes:

•Si encontramos una letra situada a la derecha de otra de mayor valor, las sumaremos:

•Cuando una letra está situada a la izquierda de otra de mayor o igual valor, tendremos que restarlas:

•En el caso de que un grupo de letras esté situado debajo de una raya, multiplicaremos su valor por mil:

En este sistema se emplean sólo dos símbolos: el cero y el uno. Para traducir un número binario emplearemos las potencias de dos:

Para escribir un número en forma binaria tenemos que dividirlo sucesivamente por dos:

Para medir el tiempo y los ángulos, usamos un sistema de base sesenta heredado de los babilonios. Sesenta segundos forman un minuto y sesenta minutos una hora o un grado.

Las cifras o números que utilizamos actualmente se suelen conocer como cifras árabes, pues fueron los árabes quienes las introdujeron en Europa en el siglo X a través de la España musulmana. Al parecer, los árabes tomaron este sistema de numeración de la India.

La esfera de un reloj está dividida en 12 partes. Cada una de éstas se subdivide a su vez en 5 partes, de forma que 12 · 5 = 60.

Si preguntamos a un niño de dos años cuántos años tiene, posiblemente nos contestará extendiendo dos dedos. Los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, ...) son los primeros que aprendemos e, históricamente, fueron los primeros en aparecer. Estudiaremos las operaciones matemáticas que se efectúan con ellos y descubriremos que son absolutamente insuficientes, puesto que en muchos casos dichas operaciones no podrán realizarse.

Con los números naturales podemos confeccionar códigos identificativos, como los códigos de barras.

Si los utilizamos para ordenar los elementos de un conjunto, se llaman primero, segundo, tercero, cuarto, etc.

Cuando sumamos dos números naturales siempre obtenemos como resultado otro número natural. El conjunto de los números naturales comienza en el uno, pero no tiene fin, ya que, por muy grande que sea un número, si le sumamos otro, obtendremos siempre un número mayor. Por eso decimos que es infinito.

Intenta colocar los números que faltan en los círculos, de forma que todas las líneas de esta estrella mágica sumen la misma cantidad.

En muchas ocasiones de la vida cotidiana debemos recurrir a la suma. Marta, por ejemplo, ha sumado el número de discos que posee con el número de discos de su hermano Miguel Ángel. Así, ha calculado la cantidad de discos que tienen entre los dos.

Cuando trabajamos únicamente con números naturales, la resta sólo se puede realizar si el primer número, llamado minuendo, es mayor que el segundo, que recibe el nombre de sustraendo. De este modo, por ejemplo, podremos restar 6 – 2 = 4, pero no podremos restar 7 – 9.

La multiplicación de dos números naturales siempre da como resultado un número natural y equivale a una suma repetida: 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.

Los dos números que se multiplican se llaman factores y el resultado recibe el nombre de producto.

Para calcular el número de localidades de un auditorio podemos multiplicar la cantidad de asientos que hay en cada fila por el número de filas.

La división consiste en repartir una cantidad, llamada dividendo, en un número de partes iguales, denominado divisor. El resultado recibe el nombre de cociente.

Cuando trabajamos únicamente con números naturales, la división no siempre puede realizarse. Con seis libros podemos formar tres grupos de dos. En este caso, decimos que la división es exacta. En cambio, con cinco podremos formar dos grupos y sobrará un libro. En este caso, la división se llama entera y al número que sobra se le denomina resto.

Una potencia es una operación que consiste en multiplicar un número, llamado base, por sí mismo tantas veces como indica otro número, denominado exponente: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

El resultado de una potencia de base y exponente naturales siempre es un número natural.

UNA OPERACIÓN INVERSA

La división es la operación inversa de la multiplicación: al dividir 8 entre 4, tenemos que buscar un número que multiplicado por 4 dé como resultado 8.

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en buscar un número que elevado al índice dé como resultado el radicando:

ya que 2³ = 8.

Existen muchos números naturales que no tienen raíz exacta. En estos casos, sobrará un resto.

Para representar los números naturales dibujamos una recta (en este caso hemos utilizado una regla). En un punto cualquiera colocamos el origen O. Elegimos una medida cualquiera y la vamos llevando hacia la derecha a partir del origen. De esta manera determinaremos la posición de cada número natural.

En un supermercado se venden los huevos en paquetes de una docena. Si compramos tres paquetes, ¿cuántos huevos habremos adquirido? ¿Es posible comprar 37 huevos? La primera pregunta es fácil: hemos comprado 3 · 12 = 36 huevos. En este caso, se dice que 36 es un múltiplo de 12. También podemos decir que 12 es un divisor de 36, ya que

= = 3. Por otra parte, podemos afirmar que es imposible comprar 37 huevos en ese supermercado, porque 37 no es un múltiplo de 12.

El procedimiento para construir esta tabla es obra de K.P. Swallow. La primera tabla de este tipo que se conoce es la criba de Eratóstenes.

Para descomponer un número en factores primos iremos comprobando si es divisible entre dos, entre tres, entre cinco, etc. Podemos utilizar para ello los criterios de divisibilidad.

Una empresa de chocolates fabrica bombones envueltos en papel rojo, que se venden en cajas de doce, y bombones envueltos en papel azul, que se venden en cajas de ocho. ¿Se podrán trasladar los bombones a cajas más pequeñas, que sólo contengan bombones rojos o azules?

Para que no sobre ningún bombón, la capacidad de estas cajas tiene que ser un número divisor de ocho y también de doce.

Si tomamos los factores comunes elevados al menor exponente posible, obtenemos: 2² = 4. El cuatro es el mayor de los números que dividen tanto a ocho, como a doce. Luego sólo podemos trasladar los bombones a cajas de uno, de dos o de cuatro.

El veintiocho es un número perfecto. Sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Entonces, tenemos: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Se dice que un número es perfecto, cuando coincide con la suma de sus divisores, exceptuando a él mismo.

Marta come legumbres cada seis días y su hija Ana, en el comedor del colegio, cada cuatro. Si hoy ambas han tomado legumbres, ¿cuándo volverán a coincidir?

La descomposición factorial de seis es: 6 = 2 · 3 y la de cuatro es 4 = 2 · 2 = 2². Si tomamos los factores comunes elevados al mayor exponente posible y los factores que no son comunes, obtenemos: 2² · 3 = 12. Luego volverán a coincidir dentro de doce días.

María entra en un ascensor en la quinta planta de un edificio. Como quiere ir al séptimo piso, tiene que subir dos pisos, puesto que 7 = 5 + 2. Si hubiera querido bajar tres pisos, también habría podido hacerlo, ya que 5 – 3 = 2. ¿Pero podría haber bajado siete pisos? No.

Supongamos ahora que estamos en otro edificio en el que hay tres sótanos destinados a aparcamiento y que en el ascensor están señalados con los números –1, –2 y –3. ¿Podríamos bajar siete pisos estando en el quinto? Al contar con números negativos, sí que podríamos hacerlo: 5 – 7 = –2, es decir, acabaríamos en el segundo sótano.

LOS QUIPU

Los incas utilizaban un sistema de cuerdas, denominado “quipu”, a las que hacían determinados nudos para realizar sus cálculos.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Para dibujar los números enteros en una recta, seguimos el siguiente proceso:

•Situamos el cero en un punto cualquiera.

•Tomamos una medida cualquiera y la vamos llevando hacia la derecha del cero, representando así a los números enteros positivos, que coinciden con los naturales.

•Vamos llevando la misma medida hacia la izquierda del cero para dibujar los enteros negativos.

Muchas civilizaciones de la antigüedad no utilizaban el cero. ¿Para qué contar un rebaño que no tiene ninguna oveja? ¿Para qué representar con un símbolo a la nada? Pero, ¿cómo escribir el número 408 sin emplear el cero? Los pueblos que usaban sistemas de numeración posicionales lo resolvían dejando un espacio en blanco entre el cuatro y el ocho. Con este método se solían confundir los números 48, 408 y 480, y por esta razón los hindúes optaron por colocar un punto donde antes dejaban un espacio en blanco. Con el paso del tiempo, el punto se convirtió en un círculo.

Los chinos operaban con un ábaco de dos colores: el rojo para los números positivos y el negro para los negativos. En la fotografía, ábaco gigante en una calle de Cesis (Letonia).

Aunque chinos e hindúes han utilizado números negativos desde hace más de mil años, en Europa no empezaron a emplearse hasta el Renacimiento y no fueron totalmente admitidos hasta finales del siglo XIX.

Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta al omitir el signo. El valor absoluto se representa con dos barras verticales: |–3| = 3.

Los naturales, el cero y los negativos constituyen el conjunto de los números enteros.

Para jugar a la suma de enteros, construyamos un tablero de cartón que tenga treinta y una zonas: quince zonas llevan números negativos, –1 al –15; quince llevan números positivos; la zona central corresponde al cero. Dispongamos también de una ficha y de un dado. Las reglas del juego: si llegas a la zona 15, enhorabuena, habrás logrado un gol; si retrocedes a la zona –15, lo sentimos, habrás encajado un gol.

Para sumar dos enteros que tengan el mismo signo, se suman los valores absolutos y se añade dicho signo.

Las caras del dado del juego de la suma de enteros contienen los números 1, 2, 3, –1, –2 y –3.

Se llama opuesto de un número al que tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Así el opuesto del 3 es el –3 y el opuesto del –5 es el 5.

situemos la ficha en la zona cero y lancemos el dado; supongamos que sale un dos

Para sumar dos enteros que tengan distinto signo, se restan los valores absolutos y se añade el signo del que tenga mayor valor absoluto.

lancemos de nuevo y supongamos que salga un –3; moveremos la ficha tres casillas hacia la izquierda y acabaremos en la zona –1. Matemáticamente podemos representar este movimiento así: 2 + (– 3) = –1

lancemos de nuevo y supongamos que sale –2; nuestra ficha acabará en la zona –3. Podemos escribir lo siguiente: (–1) + (–2) = (–3)

Sigamos con nuestro juego de la página anterior, pero construyamos un nuevo dado, al que llamaremos dado de multiplicar, en tres de cuyas caras dibujaremos una estrella con un signo menos y en las otras tres una estrella con un signo más. Este dado servirá para duplicar el movimiento correspondiente al otro dado, el de los números.

Situemos la ficha en la casilla –2 y lancemos los dos dados. Si analizamos los casos posibles, llegaremos a esta conclusión: para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos. Si los dos son del mismo signo el resultado será positivo. Si, por el contrario, son de signos diferentes el resultado será negativo.

Cuatro hermanos tienen que asumir la deuda de su anciano padre: ocho mil euros. ¿Cuánto tendrá que devolver cada uno de ellos?

Cada uno tiene que devolver dos mil euros. En este caso decimos que la división es exacta.

¿Qué hubiera pasado si la deuda hubiera sido de ocho mil treinta euros? La operación no se podría realizar trabajando únicamente con números enteros, pues si cada uno de los hermanos devolviera dos mil siete euros, aún quedaría un resto de la deuda: dos euros. En este caso decimos que la división es entera.

Para medir la altura del terreno, se toma como nivel cero el nivel del mar. Entonces, para medir las profundidades marinas hay que utilizar números negativos.

Cero grados centígrados (se escribe 0 °C) es la temperatura a la que se hiela el agua. En países muy fríos se pueden alcanzar temperaturas de cuarenta grados por debajo de cero. Este tipo de temperaturas se expresan con números negativos: –40 °C.

Para determinar el signo del cociente podemos consultar la tabla de signos, que es semejante a la de la multiplicación.

Dividendo = divisor · cociente + resto

– 9 = 4 · (–2) + (–1)

•Para multiplicar dos potencias de la misma base y exponente natural basta con sumar los exponentes y conservar la misma base:

3² · 3³ = (3 · 3) · (3 · 3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁵ = 3^{2 + 3}

•Para dividir dos potencias de la misma base y exponente natural restaremos los exponentes y dejaremos la misma base, ya que:

•Si el exponente del divisor es mayor que el del dividendo, se origina un exponente negativo que equivale a dividir la unidad entre la misma potencia pero con exponente positivo:

•Si el dividendo y el divisor son iguales, se origina una potencia de exponente cero que, por tanto, equivale a la unidad:

•Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo: (–2)² = (–2) · (–2) = 4.

•Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo: (–2)³ = (–2) · (–2) · (–2) = 4 · (–2) = – 8.

Marina ha intentado cantar una canción compuesta por Alberto, pero el tono de Do le resultaba demasiado grave, por lo que han decidido transportar la canción al tono de La. ¿Sonará la melodía exactamente igual, aunque, naturalmente, más aguda? Para contestar a esta pregunta tendremos que estudiar si la distancia de la nota Do a la nota Re, en el primer pentagrama es la misma que la distancia de la nota La a la nota Si en el segundo.

Desde hace cientos de años se sabe que el sonido de una cuerda tensada depende de su longitud. Cuanto menor es dicha longitud, más aguda es la nota que se produce.

denominador, indica que la unidad se ha dividido en tres partes, mientras que el numerador, dos, indica que se han tomado dos de ellas.

Si multiplicamos al numerador y al denominador de una fracción por el mismo número, la fracción que resulta es equivalente a la que teníamos:

Antes de sumar o restar dos fracciones, tenemos que transformarlas en otras dos equivalentes, pero que tengan el mismo denominador. Calculemos, por ejemplo, la distancia de la nota La a la nota Si:

Por tanto, la distancia de las dos primeras notas en el tono de La es menor que la distancia entre las dos primeras notas en el tono de Do habiendo una ligera diferencia de

partes de cuerda.

Cuando transportamos una canción a otro tono, suena muy parecida, pero no exactamente igual. Eso explica que la música escrita en el tono de Mi bemol resulte melancólica, mientras que en el tono de La suene triunfante.

Para multiplicar dos fracciones no es necesario reducirlas antes a común denominador, basta con multiplicar entre sí los numeradores y los denominadores:

Para dividir dos fracciones, multiplicamos la primera por la inversa de la segunda:

Para dibujar una fracción en la recta, tenemos que dividir la unidad en tantas partes como indique el denominador. Podemos utilizar el siguiente procedimiento:

•Dibujaremos otra recta a partir del origen, O, con la inclinación que queramos.

•Iremos llevando una medida cualquiera tantas veces como indique el denominador hasta llegar a A.

•Uniremos el punto A con la unidad y trazaremos paralelas a la recta obtenida. Dichas paralelas dividirán la unidad en partes iguales.

Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es superior a la unidad, por lo que realizaremos la misma construcción, pero a partir del número entero correspondiente:

Un famoso violinista tenía dos hijos también violinistas. El mayor daba conciertos, mientras que el pequeño estaba a punto de terminar sus estudios musicales. Cuando el padre se jubiló, decidió repartir sus violines entre sus hijos de la siguiente forma: al mayor le dio la mitad más medio violín. Al segundo, la mitad de los que quedaban más medio violín. Él, por su parte, se quedó con un solo violín, su preferido. Al enterarse, los hijos pensaron que su padre estaba de broma. ¿Qué iban a hacer con medio violín?

María practica el salto de longitud. En uno de sus intentos ha logrado saltar 6,59 metros. Esto significa que ha saltado más de seis metros. Para precisar más, dividimos el séptimo metro en diez partes y vemos que el salto supera la quinta división. Volvemos a dividir en diez partes. Observamos que el salto equivale a la suma de seis metros más cinco décimas más nueve centésimas.

FRACCIONES DECIMALES

Los números decimales son una creación colectiva en la que se emplearon cientos de años y que culminó Stevin en el siglo XVI al introducir las fracciones decimales, es decir, las fracciones cuyo denominador es una potencia de diez.

Volvamos al enigma del padre violinista. Si lo pensamos detenidamente, descubriremos que no estaba de broma, sino que poseía siete violines. Entonces, la mitad son 3,5 violines, es decir, tres violines y medio. Al hijo mayor le corresponden: 3,5 + 0,5 = 4. El resto son: 7 – 4 = 3, la mitad son 1,5. El hijo pequeño hereda: 1,5 + 0,5 = 2. El padre se queda uno. Entonces: 4 + 2 + 1 = 7.

Para sumar o restar números decimales hay que colocarlos de manera que las comas coincidan.

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, tenemos que correr la coma hacia la derecha una posición por cada uno de los ceros. Si se acaban las cifras decimales, añadiremos ceros a la derecha.

Para multiplicar dos números decimales cualesquiera efectuamos la operación como si fueran enteros y después colocamos en el resultado tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores juntos.

Una empresa importadora ha comprado 1.000 televisores y ha pagado 717,32 euros por cada uno. Para calcular el coste total, efectuamos la siguiente multiplicación:

Las calculadoras electrónicas (abajo, derecha) nos facilitan mucho la realización de operaciones con números decimales.

En una ciudad de un millón de habitantes se consumen diariamente 98.345 litros de leche. Para calcular la cantidad de leche que toma cada habitante por término medio, efectuamos la siguiente

Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, tenemos que correr la coma hacia la izquierda una posición por cada uno de los ceros. Si se acaban las cifras del número, añadiremos a la izquierda los ceros que sobren en el denominador.

Para dividir dos números decimales cualesquiera, comenzamos multiplicando al dividendo y al divisor por la unidad seguida de los ceros necesarios para conseguir que el divisor se convierta en un número entero; después, efectuamos la división y, al bajar la primera cifra decimal del dividendo, colocamos la coma en el cociente.

Entre dos	Si acaba en cero o en cifra par	12
Entre tres	Si la suma de sus cifras es divisible entre tres	672: 6 + 7 + 2 = 15
Entre cinco	Si acaba en cero o en cinco	45
Entre once	Si la suma de sus cifras situadas en posición impar menos la suma de sus cifras situadas en posición par (o viceversa) es cero o divisible entre once	90.816: Impar: 9 + 8 + 6 = 23 23 – 1 = 22

Resultado de los dados	Movimiento de la ficha	Expresión matemática
En el dado de multiplicar ha salido un signo más y en el otro un 3.	Dos veces en la dirección del dado de números. En total seis casillas a la derecha.	2 · 3 = 6
En el dado de multiplicar ha salido un signo menos y en el otro un 3.	Dos veces en la dirección contraria a la del dado de números. En total seis casillas a la izquierda.	(–2) · 3 = –6
En el dado de multiplicar ha salido un signo más y en el otro un –3.	Dos veces en la dirección del dado de números. En total seis casillas a la izquierda.	2 · (–3) = –6
En el dado de multiplicar ha salido un signo menos y en el otro un –3.	Dos veces en la dirección contraria a la del dado de números. En total seis casillas a la derecha.	(–2) · (–3) = 6

Al dividir una unidad en	Se obtiene	Equivale a
Diez partes iguales	La décima
Cien partes iguales	La centésima
Mil partes iguales	La milésima
De la misma forma podemos obtener la diezmilésima, la cienmilésima, la millonésima, etc.