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© 2021 Reinhard Gobrecht
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Herstellung und Verlag:
BoD - Books on Demand GmbH, Norderstedt
ISBN: 9783739288734
"Die Erkenntnis, als Wissenschaft, muß nach einer Methode eingerichtet sein. Denn Wissenschaft ist ein Ganzes der Erkenntnis als System und nicht bloß als Aggregat. - Sie erfordert daher eine systematische, mithin nach überlegten Regeln abgefaßte Erkenntnis."
Immanuel Kant, Logik (Allgemeine Methodenlehre §95)
Das Buch beinhaltet logische Grundsätze. Dabei werden die Wörter Grundsatz, Satz, Gesetz, Prinzip, Axiom meistens synonym gebraucht. Da Axiome immer vom System, vom Kontext abhängig sind, können sie in manchen Systemen Axiome sein, während sie in anderen Systemen beweisbar sein können. Streng genommen sind Axiome also Grundsätze, d. h. unbeweisbar, während Sätze beweisbar sind. Prinzipien bezeichnen Anfänge und sind deswegen auch streng genommen identisch mit Grundsätzen, können aber auch als Gesetze bezeichnet werden. Prinzipien referenzieren aber auch auf die Kernpunkte, das Wesen einer Sache.
Für manche Grundsätze wurden verschiedene Namen in der Literatur gefunden, diese sind dann alle an der jeweiligen Stelle (Tabelle oder Beschreibung) mit angegeben. Einige der Grundsätze wurden von verschiedenen Philosophen genannt und auch verwendet, aber ohne explizite Namensgebung. Wegen der besseren Auffindbarkeit und Systematik, wurde diesen ein möglichst selbsterklärender Name gegeben.
Einige der Grundsätze enthalten ontologische Aspekte, da sie nicht nur logische sondern allgemein auch ontologische Grundsätze sein können. Das gilt z. B. für das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch oder für den Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Die ontologischen Aspekte werden also in diesem Buch mit angegeben.
Von den Grundsätzen in diesem Buch sind z. B. betroffen: Aussagen- und Prädikatenlogik, mehrwertige Logik, modale Logiken und Zeitlogik.
Wozu braucht man logische Grundsätze (Prinzipien)?
Wenn man ein Argument (einen Schluss) erstellen möchte, benötigt man Prinzipien.
Was ist ein Argument (ein Schluss)?
Durch ein Argument führt man die Wahrheit einer Aussage (Schlusssatz bzw. Konklusion) auf andere Aussagen zurück, deren Wahrheit bereits bekannt oder unmittelbar einsichtig ist. Diese anderen Aussagen, auf die man die Wahrheit zurückführt, heißen Prämissen. Einen Schlusssatz oder eine Folgerung kann man ganz allgemein aus einer Prämisse oder aus mehreren Prämissen ziehen.
Beispiel mit 2 Prämissen:
Prämisse 1
Prämisse 2
----------------
Schlusssatz (Konklusion)
Wenn man ein solches Argument erstellen möchte, benötigt man 4 Dinge:
Die Prämissen können z. B. kontingent wahr, notwendig wahr, wahrscheinlich wahr oder möglicherweise wahr sein. Der Schluss als Ganzes ist nur so gut, wie die Gesamtheit der Prämissen, d. h. z. B., dass ein Schluss aus einer notwendigen und einer kontingenten Prämisse, selbst nur kontingent sein kann. Ein strenger wissenschaftlicher Schluss besteht aus notwendig wahren Prämissen. Vgl. hierzu auch Prinzip 22: Prinzip der Schlüsse und Prinzip 21: Prinzip der Beweisführung. Schlüsse aus falschen Prämissen können durch richtige Regeln entstanden sein. Wenn die Prämissen jedoch falsch waren, ist das Argument als Ganzes nicht brauchbar. Die logische Korrektheit eines Argumentes ist allein nicht hinreichend, sondern zusätzlich müssen die Prämissen wahr sein, damit ein Argument einen Sinn macht. Wenn die Prämissen wahr sind und der Schluss ebenfalls wahr ist, zwischen beiden aber kein Zusammenhang besteht ist das Argument auch nicht brauchbar, d. h., dass der Kontext unbedingt wichtig ist. Ein Argument muss daher logisch korrekt sein und die Prämissen müssen wahr sein, dann ist gewährleistet, dass auch der Schluss wahr ist; zusätzlich sollte aber das Argument in einem zusammenhängenden Kontext stehen.
Vgl. hierzu auch [Tet5] oder [Sal1].
Allgemeine Symbole
| A, B, C, D | Abkürzung für Aussagen oder Mengen oder Ereignisse oder Eigenschaften oder Begriffe (Großbuchstaben) |
| A, B, M | Klassen: A=Axiom, B=Begriffsbildung, M=Methode |
| a,b,c,d,e,f,g,x,y,z | Abkürzung für Gegenstände oder Begriffe (Kleinbuchstaben) |
| F, G, H | Abkürzung für Eigenschaften von Gegenständen oder Begriffen |
| GZ | das Ganze |
| kW | kontingente Wahrheit |
| L | Logik |
| logW | logisch Wahres |
| nW | notwendige Wahrheit |
| ontW | ontologisch Wahres |
| PräG | Prämissengehalt (Sachgehalt der Prämisse) |
| q.e.d. | quod erat demonstrandum |
| R | Relation |
| RG | Reinhard Gobrecht |
| Sa | Sachgehalt |
| SaU | Sachgehalt Ursache |
| SaW | Sachgehalt Wirkung |
| SchG | Schlussgehalt (Sachgehalt eines Schlusses) |
| T | Teil |
| U | Ursache |
| W | Wirkung |
| w.z.z.w. | was zu zeigen war |
Modalitäten
 |
Modalität notwendig |
| ◊ | Modalität möglich |
| D | Modalität denkbar |
| E | Modalität erlaubt |
| G | Modalität glauben |
| M | Modalität möglich |
| N | Modalität notwendig |
| O | Modalität sollen |
| W | Modalität wissen |
temporale Operatoren
| G | es wird immer der Fall sein, dass |
| H | es war immer der Fall, dass |
| F | es wird einmal der Fall sein, dass |
| P | es war einmal der Fall, dass |
Mathematische Symbole
| - | Subtraktion |
| + | Addition |
| * | Multiplikation |
| : | Division |
| < | kleiner |
| > | größer |
| = | gleich |
| /= | ungleich |
| √ | Quadratwurzel |
| f,g,h,... | Funktionen |
Logische Symbole
| gdw | genau dann wenn |
| ~ | nicht |
| ¬ | nicht |
| → | impliziert (logische Folgerung) |
| ↔ | Äquivalenz |
 |
oder (inklusiv) |
| oder | oder (inklusiv) |
 |
und |
| und | und |
 |
entweder oder |
| ∀x | für alle x (Allquantor) |
| ∃x | es gibt ein x (Existenzquantor) |
Mengensymbole
| ∈ | Element von |
| { } | Mengenklammern |
| ⊂ | Teilmengenbeziehung |
| ∩ | Durchschnitt von Mengen |
| ∪ | Vereinigung von Mengen |
| card | Kardinalzahl, Mächtigkeit |
Zitatsymbole
| “ | Symbol für Zitate der Belegstellen, Anfang + Ende |
| >> oder > | Symbol für Zitate innerhalb der Belegstellen, Anfang |
| << oder < | Symbol für Zitate innerhalb der Belegstellen, Ende |
| ‘ | Symbol für Zitate innerhalb der Belegstellen, Anfang + Ende |
Griechische Symbole
Δ, Φ
| Kl.=Klasse (A=Axiom, B=Begriffsbildung, M=Methode) *) *) Die vorgeschlagene Klasseneinteilung ist nur eine mögliche Sichtweise |
||
| Nr. Kl. |
Namen des Prinzips / Formalisierung | Quellen |
| 1 A |
Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch Prinzip vom (verbotenen) Widerspruch (Principium contradictionis) (Gesetz des Widerspruchs) (Gesetz des Nicht-Widerspruchs) (Kontradiktionsprinzip) (Es ist unmöglich dass, dasselbe sei und nicht sei.) ~(a und ~a) (Eine Aussage und ihre Verneinung können nicht gleichzeitig wahr sein.) ~(A und ~A) (Dass nämlich dasselbe demselben und in derselben Beziehung unmöglich zugleich zukommen und nicht zukommen kann.) ~(Fa und ~Fa) |
[Pam3] [P26] [A3] [E2] [O2] [D10] [Loc8] [L4] [L45] [L10] [B1] [W6] [K20] [Lotz5] [R1] [R23] [C4] [EML6] [SchlA1] [Beu1] [Tu/Wo4] |
| 2 A |
Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten (Principium exclusi tertii) (Tertium non datur) (Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.) (A oder ~A) (Jegliches ist entweder oder ist nicht.) (a oder ~a) (Jeglichem kommt entweder eine Eigenschaft zu oder nicht zu.) Fa oder ~Fa |
[A19] [A94] [A117] [Cic1] [L4] [L45] [W2] [W3] [K62] [F48] [Wit8] [R1] [EML6] [SchlA2] [Wo2] [Cop3] |
| 3 A |
Bivalenzprinzip Prinzip der Zweiwertigkeit (Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.) (A oder ~A) (Jegliches ist entweder oder ist nicht.) (a oder ~a) (Jeglichem kommt entweder eine Eigenschaft zu oder nicht zu.) Fa oder ~Fa |
[P50] [A2] [A19] [Cic1] [L4] [L45] [W2] [W3] [F47] [Wit8] [Wo1] |
| 4 A |
Prinzip der Identität ('Nichts' und 'Etwas') (Gesetz der Identität) (Principium identitatis) (Alles ist mit sich selbst identisch.) (Jedes Ding ist, was es ist.) (Alles Seiende besitzt eine gewisse Konstanz des Seins.) (Konstanz der Begriffe) a=a (Jede Aussage stimmt mit sich selbst überein.) A=A (Schiff des Theseus) |
[A17] [A41] [A116] [Loc29] [L45] [B1] [B3] [K79] [Heg1] [Lotz5] [F1] [F2] [F15] [WR4] [Hei4] [Schl4] [C4] [Mey2] [R/K2] [Ro6] [Br/Ba1] [Bert2] |
| 5 A |
Prinzip der Identität des Ununterscheidbaren (←) und Prinzip der Ununterscheidbarkeit des Identischen (→) (Principium identitatis indiscernibilium) (Identisch ist genau das, was in allen Eigenschaften übereinstimmt.) (Alles ist verschieden von anderem.) ∀x∀y [ x=y ↔ ∀F (F(x) ↔ F(y))] |
[Loc11] [L1] [L10] [L14] [F15] [Wit10] [R14] [Tet2] [Str2] [Z5] [Men4] [Gob3] |
| 6 A |
Prinzip vom ausgeschlossenen unendlichen Regress (Regressus in infinitum) (Ursachen- / Definitionen- bzw. Prämissenregress) |
[A1a] [A1b] [A76] [T2] [NK11] [Loc18] [R4] [Ro2] [Br/Ba10] |
| 7 A |
Prinzip der Unerklärbarkeit der ersten Prinzipien (Grenze der Beweisbarkeit) | [A36] [A37] [A76] [T4] [Pas5] [Br/Ba10] |
| 8 A |
Prinzip der Undefinierbarkeit der ersten Begriffe (ersten Worte – einfachen Ideen) (Grenze der Definierbarkeit) |
[A1b] [T4] [Loc18] [Loc19] |
| 9 B |
Prinzip der Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit a priori - a posteriori) P(A) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt -------------------------------------------------- Anzahl aller möglichen Ergebnisse (Ergebnisse errechnet aufgrund einer Versuchsreihe, d. h., Statistik liegt vor.) |
[P49] [A96] [Pas12] [Pas13] [Loc24] [L47] [H10] [K47] [Poin2] [R6] [Pop7] [Car/St3] [Boch7] |
| 10 B M |
Prinzip der Gleichwahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit a priori) Indifferenzprinzip (Gleichverteilung) (Laplace-Formel) (Prinzip vom mangelnden zureichenden Grunde) P(A) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt -------------------------------------------------- Anzahl aller möglichen Ergebnisse (Ergebnisse angenommen, Statistik liegt nicht vor.) |
[Car/St2] |
| 11 B |
Prinzip der Unendlichkeit (aktuelle und potenzielle Unendlichkeit) Unendlichkeitsaxiom der Mengenlehre Zenons Paradoxie: Achilles und die Schildkröte Kontinuumshypothese: card {Menge der reellen Zahlen} =  ₁ |
[A107] [A89] [A136] [A137] [A138] [A139] [E3] [Plo79] [Plo80] [NK3] [NK8] [NK9] [NK41] [L55] [K72] [Bol1] [Bol2] [Bol3] [Bol5] [R22] [Pus5] [Beu2] [Beu4] [Teu1] [Be/Mu2] [Be/Mu3] [Be/Mu4] [Bert1] [Link10] [Hoff4] |
| 12 A |
Prinzip vom Sachgehalt (Der Sachgehalt [Sa] der gesamten wirkenden Ursache [U] ist nicht geringer als jener in der Wirkung dieser Ursache [W].) (SaU >= SaW) (Es gibt keine gehaltserweiternden Schlüsse.) (PräG >= SchG) |
[A9] [AM20] [D1] [D12] [S5] [K104] [Alb1] |
| 13 A |
Prinzip vom leeren Sachgehalt (Aus Nichts wird Nichts.) (Ex nihilo nihil fit.) (Eine >creatio ex nihilo< ist unmöglich.) (SaU=0 >= SaW=0) (Folgerung aus Prinzip 12) |
[Pam3] [A6] [A103] [Luk1] [Ans3] [AM8] [D1] [D10] [W5] |
| 14 A |
Prinzip der Kontinuität (Gesetz der Kontinuität) (lex continui) (Die Natur macht keine Sprünge.) (Natura non facit saltus.) |
[A11] [A63] [L10] [L18] [L49] [K71] [Gob3] |
| 15 A |
Prinzip des Zusammenhangs zwischen logischer und ontologischer Wahrheit (Rechtheit [Anselm von Canterbury]) (Prinzip der Gewissheit [Wolff]) (Realitätsprinzip [Frege]) (Teil der Korrespondenztheorie der Wahrheit) (Aus ontologisch Wahrem folgt logisch Wahres.) ontW → logW |
[Pam2] [A15] [A19] [A71] [Ans5] [AM21] [O6] [S7] [S8] [Loc8] [W4] [K2] [F11] [G1] [Z1] [SchlA3] |
| 16 A |
Grundsatz der Wahrheitsübertragung (Abtrennungsregel / Modus Ponens) (Was immer aus einem wahren Satz folgt, ist wahr.) Aus A und A → B folgt B; sind A und A → B wahr, so auch B. |
[A30] [K68] [R1] [F27] [Boch3] [HS6] |
| 17 B M |
Prinzip der verschiedenen Wahrheiten (notwendig - kontingent) (ewig - zufällig) (Vernunft - Tatsache) (Beziehungen von Vorstellungen – Tatsachen) |
[A5] [D5] [D10] [L5] [L23] [H8] [K8] [F46] [Z3] [Mat1] [Link3] [Gob3] [Gob7] |
| 18 A |
Prinzip der Wahrheitsüberprüfung bei universellen und partikulären Urteilen (universelles Urteil : ∀ x Fx ) (partikuläres Urteil : ∃ x Fx ) |
[Pop2] [Pop4] [Z2] [Boch2] |
| 19 M |
Prinzip der Falsifikation (Lösung des Abgrenzungsproblems) (Wissenschaftlichkeit einer Theorie) (Gegenbeispiel / Modus Tollens) Aus A → B und ~B folgt ~A. |
[Pop3] [Pop4] [Pop7] [Pop12] [Pop13] [Pop14] [Q3] [Q4] [Keu1] [HS5] [Br/Ba15] |
| 20 M | Prinzip verschiedener Wahrheitsgrade (Wissensgrade) (Gewissheitsgrade) (Allgemeinheitsstufen) |
[A9] [A43] [Pop3] |
| 21 A M |
Grundsatz der Beweisführung (was woraus zu beweisen ist) (Archimedischer Punkt) (Agrippa-Trilemma) (Münchhausen-Trilemma) |
[A44] [A45] [A37] [A76] [D33] [L35] [Alb1] [Alb2] [Erns2] [Pus3] [Mat1] |
| 22 B M |
Prinzip der Schlüsse (Definition eines Schlusses) (wissenschaftlicher Schluss = Beweis) (kontingenter Schluss - dialektischer Schluss - hypothetischer Schluss - Analogieschluss) (indirekter Schluss = reductio ad absurdum – apagogischer Schluss = demonstratio apagogica) (Syllogismen) |
[A46] [A66] [A67] [A75] [Al-F2] [K22] [K25] [K39] [K40] [K50] [R15] [Tet3] [Z8] [Men2] [Cop5] [Tu/Wo1] [Str7] |
| 23 B M |
Prinzip der 2 Beweisarten (a priori - a posteriori) (Warum-Beweis - Dass-Beweis) |
[A43] [O1] [L21] [F46] [Gob4] [Gob8] |
| 24 M |
Prinzip der Wahrheitstafelmethode | [Wit1] [Bec1] [Prie1] |
| 25 B |
Prinzip der Unterscheidung (notwendige Bedingung - hinreichende Bedingung) ("A ist hinreichend für B" und "B ist notwendig für A": A → B.) (A = hinreichende Bedingung) → (B = notwendige Bedingung), wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr |
[Spi1] [Bre1] [Wa/Ra1] [Boch5] [Link5] |
| 26 B M |
Prinzip der Urteile (Definition von Urteil - Aussage) (Urteilsarten) | [P37] [P50] [A42] [A81] [O8] [K15] [K30] [K65] [R5] [Wit3] [Wa/Ra4] [Wa/Ra8] |
| 27 B M |
Prinzip der absolut ersten Wahrheiten (Prinzip der Axiome) | [L35] [L36] [L43] [Gob3] [Gob5] |
| 28 M |
Grundsatz vom Wesen der Implikation (Paradoxien der Implikation) (Aus einem wahren Urteil folgt kein falsches Urteil, wenn A → B wahr ist.) A → B der klassischen Logik |
[A30] [K67] [F40] [WR5] [StL8] |
| 29 A M |
Prinzip einer Aussage über Zukünftiges (Seeschlacht-Argument) (Notwendig ist, dass ein zukünftiges Ereignis A entweder eintritt oder nicht.) Gegenwart: (entweder A oder ~A) wird notwendig eintreten und eine Einzelbewertung ist nicht möglich Zukunft: entweder A oder ~A, ist eingetreten und eine Einzelbewertung ist möglich |
[A94] [Cic1] [Br/Ba5] [Pus4] |
| 30 B M |
Prinzip der Definitionen (Wesen der Definition) (Definitionsarten) |
[P43] [A68] [AM23] [Loc18] [K46] [F52] [Car3] [WR2] [Cop1] [Wa/Ra7] [Bre1] [Str3] [Boch1] |
| 31 B M |
Prinzip vom Wesen eines Prinzips (Unterscheidung: Prinzip – Ursache) (Grundsatz, Axiom) |
[A97] [A124] [AM1] [AM12] [GBru2] [GBru3] [D20] [K53] [F44] [Gob6] |
| 32 B |
Prinzip logischer Wahrheitsmöglichkeiten (1. logische Identität – Tautologie – logisches Gesetz – Theorem) (2. logischer Widerspruch - Kontradiktion – Antilogie) (3. erfüllbar – verifizierbar) (4. widerlegbar) |
[Wit11] [Men1] |
| 33 B M |
Prinzip der Verifizierbarkeit (einer Aussage) Satz der Verifizierbarkeit |
[Boch2] |
| 34 B M |
Prinzip der Intersubjektivität (der Verifizierbarkeit) |
[K86] [Pop11] [Boch2] |
| 35 M |
Induktionsprinzip (empirische Verallgemeinerung) (Dass etwas mit mehr oder minder großer Wahrscheinlichkeit wahr sein wird, aber nicht notwendig wahr.) (Dass etwas mit mehr oder minder großer Wahrscheinlichkeit zukünftig eintritt, aber auch möglich ist, dass es nicht eintreten kann.) (A₁, A₂,..An) → An+1 := aus n Ereignissen der Vergangenheit wird auf das nächste zukünftige Ereignis geschlossen. |
[A10] [A21] [SeEm2] [Bac1] [K6] [K40] [F38] [Poin3] [R2] [R4] [Car/St1] [Q1] [Boch6] [Beu2] |
| 36 A |
Prinzip 1 vom Ganzen (Ganzes und Gesamtheit) (Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile.) GZ > T₁ + T₂ + ...+ Tn |
[P53] [A4a] [A4b] [A109] [Al-F1] |
| 37 A |
Prinzip 2 vom Ganzen (Das Ganze ist größer als der Teil.) GZ > T |
[E1] [Loc9] [K79] |
| 38 B |
Prinzip vom Notwendigen
unmöglich ist.) NA = ~M (~A) (iterierte Modalitäten) |
[A5] [A48] [K102] [Det8] [Det9] [Det11] [StL1] [Mey3] [Mey4] [Mey5] [Tu/Wo3] [Z13] [Löff4] [Löff5] |
| 39 B |
Prinzip vom Möglichen
notwendig ist.) MA = ~N(~A) |
[A5] [K18] [K101] [Det8] [Det11] [StL1] |
| 40 A |
Prinzip vom Wirklichen (Ab-esse-ad-posse-Prinzip) (Wenn A wirklich ist, dann ist A auch möglich.) A → MA |
[A13] [Löff1] |
| 41 A |
Prinzip des Modalgefälles (Wenn A notwendig ist, ist A wirklich und damit auch möglich.) NA → A → MA Daraus folgt (Kontraposition): (Wenn etwas unmöglich ist, kann es auch nicht sein) und (wenn etwas nicht ist, dann kann es auch nicht notwendig sein.) ¬ MA → ¬ A → ¬ NA |
[A31] [AM15] [Löff1] [Cop4] |
| 42 B |
Prinzip verschiedener Modalitäten (de dicto - de re) de dicto (über die ganze Aussage) Beispiel: ∀x  (Fx→ Gx)de re (über das Ding) Beispiel: ∀x (Fx → Gx) |
[Str1] [R/K1] [Det10] [Link6] |
| 43 B |
Prinzip der Kontingenz (Kontingent ist das, welches nicht notwendig aber möglich ist.) A ist kontingent : = MA und ~NA Folgerung: = MA und M(~A) |
[A79] [L36] [K12] [K103] [X1] [Z3] [Det8] [Det11] |
| 44 A |
Prinzip von der Unmöglichkeit eines Rückschlusses bei alternativen Möglichkeiten | [Gob1] |
| 45 A |
Prinzip von der Unmöglichkeit eines Schlusses von einem Teil auf das Ganze (vom Besonderen aufs Allgemeine) (vom Vergangenen auf Zukünftiges) (Induktionsschluss)berührt das Induktionsproblem |
[Ans2] [H9] [Mil2] [R2] [Schl1] [Pop5] [Beu6] [Wa/Ra2] |
| 46 A | Prinzip von der Möglichkeit eines Rückschlusses auf Geschehenes | [A62] |
| 47 A | Prinzip der gleichen Reste (Euklids Axiom 3) (Gleiches von Gleichem weggenommen, belässt gleiche Reste.) ( x = y → x - z = y - z ) |
[A12] [E1] [L41] |
| 48 A | Gesetz der Transitivität (allgemein) (Kettenschluss) (Euklids Axiom 1) (Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.) "Transitivität der Gleichheit (Axiom 1) (A = B und B = C) → A = C weitere: "Transitivität der log. Implikation (Kettenschluss)" (A → B) → ((B → C) → (A → C)) "Transitivität der Teilmengenbeziehung" aus A ⊂ B ⊂ C folgt A ⊂ C "Transitivität der >kleiner-Beziehung< " aus A < B und B < C folgt A < C |
[E1] [EML5] [HS3] |
| 49 A | Prinzip der gleichen Ganzen (Euklid Axiom 2) (Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.) ( x = y → x + z = y + z ) |
[E1] [L41] |
| 50 A | Prinzip der ungleichen Ganzen (Euklid Axiom 4) (Wenn Ungleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen ungleich.) ( x < y → x + z < y + z ) |
[P8] [E1] |
| 51 A | Prinzip der gleichen Verdopplung (Euklid Axiom 5) (Die Doppelten von demselben sind einander gleich.) ( x = y → 2x = 2y ) |
[E1] |
| 52 A |
Prinzip der gleichen Hälften (Euklid Axiom 6) (Die Halben von demselben sind einander gleich.) ( x = y → 1/2x = 1/2y ) |
[E1] |
| 53 A M |
Prinzip der Einsetzung in eine Gleichung (Wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung bestehen.) ( x = y und y = u + v → x = u + v ) |
[F45] [Beu3] |
| 54 M |
Prinzip der Verhinderung von Zirkelschlüssen (illegitime Gesamtheiten) (Zirkelfehlerprinzip) (circulus-vitiosus-Prinzip) (Mengen höherer Stufe) Beispiele: Lügner-Paradoxon Barbier-Paradoxon Russellsche Antinomie Argument vom 'dritten Menschen' |
[WR1] [R8] [P63] [A132] [Br/Ba2] [Pus2] [Beu8] [Hoff5] [Link4] |
| 55 M |
Prinzip der Verhinderung einer petitio principii (Zirkelbeweis) |
[A95] [K45] [Ro5] |
| 56 B M |
Prinzip der Begriffsarten (univok – diversivok – multivok - äquivok – analog bzw. proportional) (empirisch - nicht empirisch) (leer - individual - allgemein) (Grenzbegriff – Vergleichungsbegriff) |
[A33] [AM22] [O9] [L24] [F26] [F18] [K38] [K76] [C1] [C2] [X1] [Z4] [Wa/Ra5] |
| 57 B M |
Prinzip einer Ordnung von Begriffen Gattung – Geschlecht - Art - Kategorien (Definition von Begriffen) (Begriffsbestimmung) (Begriffsanalyse) |
[P35] [P36] [A41] [A68] [A23] [A80] [A110] [Boet1] [K12] [K37] [K70] [Bre1] [Erns1] |
| 58 A B |
Grundsatz der Extension (Umfang) eines Begriffs (Extensionalitätsaxiom) A, B Klassen und F, G Begriffe Extension von F = A und von G = B ∀x (x ∈ А ↔ x ∈ B ) ↔ А = B ↔ F = G. (Komprehensionsaxiom) Zu jedem Begriff F gibt es eine Extension A mit: ∀x (Fx ↔ x ∈ А). |
[K9] [Lotz3] [F30] [F1] [Z4] [Men5] [Str3] |
| 59 B M |
Prinzip der vollständigen Definition eines Begriffs (Grundsatz der Vollständigkeit des Definierens) |
[F48] |
| 60 B |
Grundsatz der Intension (Inhalt) eines Begriffs | [K9] [Lotz3] [F1] [Z4] [Men5] [Str3] |
| 61 M |
Prinzip der Unterscheidung zwischen Umfang und Inhalt eines Begriffs |
[K9] [Lotz3] [Z4] [Men5] [Str3] |
| 62 A |
Prinzip des Zusammenhangs zwischen Umfang und Inhalt eines Begriffs (Reziprozitätsgesetz) |
[K9] [Lotz4] [Z4] [Men5] [Str3] |
| 63 M |
Extensionalitätsprinzip (Kompositionalitätsprinzip) |
[F13] [F43] [Car4] [Tet1] [Z4] |
| 64 B M |
Prinzip eines intensionalen Kontextes (Intensionaler Fehlschluss) (Beispiel: Intensionaler Fehlschluss) 1. A ↔ B (extensional) 2. Hans weiß, dass B (intensional) -------------------------------- 3. Hans weiß, dass A (intensional) |
[StL6] [HS2] [Tet2] [Erns4] [Det5] |
| 65 M |
Substitutionsprinzip (Salva-veritate-Prinzip)(Substitutionsbeispiel aus der Aussagenlogik) (A B) → A (Ausgangsformel)substituiere (B → C) für A ((B → C) B) → (B → C) (Endformel) |
[F12] [F13] [Mey4] [EML11] |
| 66 M |
Substitutionsprinzip des Identischen (Leibniz) (Substitutionseigenschaften) (i) wenn a = b, dann f(a) = f(b), für eine beliebige Funktion f (ii) wenn a = b, dann A(a) ↔ A(b), für eine beliebige Formel A(x) |
[L51] [L52] [L53] [L54] [Q8] [EML11] |
| 67 B M |
Prinzip der Unterscheidung (kontradiktorisch - konträr) (subkonträr - subaltern) |
[A38] [A39] [A42] [Lotz2] [F37] [Wa/Ra3] [Löff3] [Tu/Wo1] |
| 68 B M |
Prinzip der Unterscheidung (analytisch - synthetisch) |
[K17] [F46] [Wa/Ra8] |
| 69 B M |
Prinzip der Unterscheidung (a priori – a posteriori) |
[O1] [L17] [K52] [F46] [Krp2] [Krp3] [Wa/Ra10] |
| 70 B M |
Prinzip der Unterscheidung (psychologisch - logisch) (sprachlich – logisch) |
[Al-F2] [F3] [F21] [F22] [F50] [Pop6] |
| 71 B M |
Prinzip der Unterscheidung (subjektiv - objektiv) |
[K61] [F3] [F13] [F16] [F19] [F23] [F42] [Wa/Ra9] |
| 72 M |
Prinzip vom Kontext (Prinzip des Satzzusammenhangs) (Kontextprinzip) |
[F3] [F25] [Wit2] |
| 73 B M |
Prinzip der Unterscheidung (Beziehung - Begriff - Gegenstand) (Wort / Zeichen – Vorstellungen – Dinge) (allgemeine Wörter – Dinge) (Begriffe höherer Stufe) (Funktionen höherer Stufe) |
[P40] [A83] [A102] [Loc14] [K14] [K74] [F3] [F6] [F7] [F8] [F10] [F18] |
| 74 B M |
Prinzip der Unterscheidung (Gedanke - Sinn - Bedeutung) (Satz – Sinn eines Satzes – Sachverhalt) |
[F12] [F14] [F15] [F17] [F20] [F24] [Wit3] |
| 75 B M |
Prinzip der Unterscheidung (Funktion - Funktionswert - Argument) (Name – Kennzeichnung) |
[F4] [F5] [F6] [F9] [F10] [F32] [Krp1] [Link11] |
| 76 A |
Humes Prinzip (Prinzip der gleichen Anzahlen) (Zwei Anzahlen sind identisch genau dann, wenn es zwischen den einzelnen Einheiten beider Anzahlen eine ein-eindeutige Abbildung gibt.) (Die Anzahl der f = die Anzahl der g ) ↔ (Die f sind ein-eindeutig zuordenbar den g) |
[H3] [F28] [F29] [Link9] [Teu1] |
| 77 A |
Sollen-Können Prinzip (Was geschehen soll, muss auch geschehen können.) (Wenn etwas geboten ist, dann ist es auch möglich.) (OA → MA) |
[K19] [StL3] |
| 78 A |
Prinzip der Unmöglichkeit eines Zusammenhangs zwischen Sein und Sollen (Sein-Sollen-Differenz) (Sein-Sollen-Fehlschluss) (naturalistischer Fehlschluss) (Argument der offenen Frage) (Humes Gesetz) |
[H4] [StL4] [HS1] [Schn1] [M2] [Pus1] |
| 79 A |
Prinzip des Zusammenhangs (geboten-erlaubt) (Wenn etwas geboten ist, dann ist es auch erlaubt.) (OA → EA) |
[StL5] |
| 80 A |
Prinzipien des Zusammenhangs (denkbar- glauben - wissen) (Etwas ist denkbar, genau dann, wenn das Gegenteil nicht geglaubt wird.) (DA ↔ ~G~A) (Wenn etwas geglaubt wird, dann ist es denkbar.) (GA → DA) (Was man weiß, das glaubt man auch.) (WA → GA) (Wenn etwas gewusst wird, dann ist es wahr.) (Man kann nichts Falsches wissen.) (WA → A) (Wenn man etwas nicht weiß, dann glaubt man auch nicht, es zu wissen.) (~WA → ~GWA) (Wenn man etwas nicht weiß, dann weiß man, dass man es nicht weiß - und glaubt also nicht, dass man es doch weiß.) (~WA → W~WA) |
[StL7] |
| 81 A |
Grundsatz der Widerspruchsfreiheit eines rationalen Glaubensbegriffs (Wenn man etwas glaubt, dann kann man nicht zugleich das Gegenteil glauben.) (GA → ~G~A) |
[Mey1] |
| 82 M | Prinzip der Vermeidung von Begriffskonflikten (Vermeidung von Äquivokationen) (Fehlschluss durch Äquivokation) |
[A47] [A48] [NK42] [Loc12] [Loc21] [Q9] [Ro1] [Cop2] |
| 83 M |
Prinzip des Erkennens einer Übereinstimmung oder eines Unterschieds bei Dingen und Begriffen (Vorteile der richtigen Begriffsbestimmung) (Vergleichungsbegriffe) (Verlorener Gegensatz) |
[P48] [A64] [A65] [NK4] [K66] [F41] [Schl4] [Ro3] |
| 84 M |
Prinzip der Vermeidung leerer Hypothesen (leerer Behauptungen) |
[Pop9] [Ro4] |
| 85 A M |
Gesetz der doppelten Negation (Stabilitätsprinzip) (Principium duplex negatio affirmat) (Es ist nicht der Fall, dass es nicht der Fall ist, dass A genau dann, wenn A ist.) ~~ A ↔ A |
[F36] [Wit12] [WR3] [EML2] |
| 86 A M |
Transpositionsprinzip (Kontrapositionsgesetz) (Gesetze der Wendung) (A impliziert B ist äquivalent zu nicht B impliziert nicht A.) (A → B) ↔ (~B → ~A) |
[A100] [K78] [F49] [WR3] [EML3] [HS4] |
| 87 B M |
Prinzip eines disjunktiven Urteils (Satz der Kontravalenz) (Epikur - Descartes - Kant) (Entweder A oder B oder ... N) A B ... NBeispiel 1 Epikur (Übel) (W ¬K) (¬W K) (¬W ¬K) (W K)Beispiel 2 Epikur (Tod) L TBeispiel Descartes (innere oder äußere Ursache D ¬ DBeispiel Kant (Weltentstehung) A B C |
[Epi1] [Epi3] [D11] [K25] [Wun3] [Men3] [EML6] [Br/Ba3] [Br/Ba6] |
| 88 B M |
Prinzip der Wahrheit (Wahrheitstheorien) (Wahrheitsdefinition - Wahrheitskriterium)
|
[Pam2] [P46] [A15] [A19] [Ans5] [Ans6] [Th1] [NK2] [S7] [S8] [Loc7] [K2] [Peir2] [R5] [Schl2] [Q5] [Hei5] [Ein1] [Dav4] [Alb3] [Hab1] [G1] [G2] [Wa/Ra6] [Z1] [Tu/Wo2] [Link1] |
| 89 A |
Schubfachprinzip (Taubenschlagprinzip) (Falls man n Objekte [Merkmale] auf m Mengen [Kategorien] (“Schubfächer“) verteilt und n>m ist, dann gibt es mindestens eine Menge [Kategorie], in der mehr als ein Objekt [Merkmal] ist). |
[Beu/Z1] [Hoff7] |
| 90 M |
Prinzip vom Schluss auf die beste Erklärung (Argument der besten Erklärung) (E=Ereignis,Tatsache H=Hypothese) (Prämisse 1: E ist erklärungsbedürftig. Prämisse 2: H erklärt E am besten Schluss: H ist wahr) |
[Tet4] [Bar1] [Klä1] [Klä2] [Det7] |
| 91 A |
Unableitbarkeitsprinzip (ex falso quodlibet sequitur) (Aus Falschem folgt Beliebiges.) (Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges.) (A ¬ A) → B |
[EML1] [Boch4] [Str5] |
| 92 A |
Prinzip der hypothetischen Abschwächung (verum ex quodlibet sequitur) und Peirce'sches Gesetz (Das Wahre folgt aus Beliebigem.) (Die gegebene Information A wird abgeschwächt, da ihr die Bedingung B vorangestellt wird.) A → (B → A) (Peirce'sches Gesetz) ((A → B) → A) → A |
[EML4] [Boch4] [Link3] |
| 93 A |
Prinzip der formalen Verstärkung (Verschmelzung) (Es reicht aus eine Bedingung einem Satz einmal voranzustellen.) (A → (A → B)) ↔ (A → B) |
[F49] [EML4] |
| 94 A |
Prinzip der kontradiktorischen Prämisse (Prinzip der disjunktiven Abschwächung) (Wenn eine gegebene Information A gilt, dann folgt aus dem Gegenteil ¬ A Beliebiges.) [A → (¬ A → B)] ↔ [(A → (A B))] |
[Gob2] |
| 95 M |
Prinzip der Apagoge (Abduktion) (Aristoteles) (Schluss bzw. Syllogismus aus einer wahren und einer unsicheren Prämisse) Alles Wissen ist lehrbar. (Obersatz: wahr) Die Tugend ist ein Wissen. (Untersatz: unsicher) ------------------------------------- Die Tugend ist lehrbar. (Konklusion: möglich, wahrscheinlich) |
[A108] |
| 96 M |
Prinzip der Abduktion (Peirce) Prinzip der Einführung einer neuen Idee (Hypothese oder Regel H) Bildung einer erklärenden Hypothese H (Dass etwas so und so sein kann: H.) (Wenn es eine neue Regel H gäbe, aus der T folgt, könnte man die Tatsache T mit H begründen.) Tatsache, die beobachtet wird: T Annahme, dass: H → T -------------------------------------------- Vermutung, dass: H |
[Peir1] |
| 97 M |
Prinzip eines praktischen Schlusses (praktischer Syllogismus) Obersatz (allgemeiner Handlungsgrundsatz: HG) Untersatz (konkreter Einzelfall: E) und die Möglichkeit des Handelnden (Person: P) dies zu tun: HE --------------------------------------------------------- P (sollte) bzw. tut HE (intentionalistische Erklärung) allgemein: (modifiziertes Schema eines praktischen Schlusses) P hat die Absicht A, ein Ziel Z herbeizuführen. P kann A nur dann erfüllen, wenn sie die Handlung H vollzieht. P ist in der Lage und wird nicht gehindert, H zu vollziehen. --------------------------------------------------------- P vollzieht H. |
[A113] [Aco1] [Aco2] [Aco3] [Dav1] [Dav2] [Wrg2] |
| 98 A |
Prinzip von allem und keinem Satz von allem und keinem (Dictum de omni et nullo) (Was dem Allgemeinen, der Gattung als Merkmal zukommt oder nicht zukommt, auch vom Besonderen (der Art, dem Individuum) gilt oder nicht gilt.) (1) ∀ x Fx → Fa (dictum de omni) (2) ∀ x ¬Gx → ¬Ga (dictum de nullo) logische Regeln: (1) ∀ x Fx → Fa (Universelle Spezialisierung) (2) Ga → ∃ x Gx (Existenzielle Generalisierung) |
[A119] [A120] [B5] [K82] [Mil4] [Lotz1] [Wo3] [Löff2] [Mat3] [Link2] |
| 99 B M |
Grundsatz der skeptischen Argumentationsweisen (5 Tropen bzw. Figuren)1. Widerstreit (Dissens) 2. unendlicher Regress 3. Relativität 4. Voraussetzung (Dogmatische Setzung) 5. Zirkel- (-beweis, -schluss) (Diallele) |
[D33] [SeEm1] [Erns2] [Erns3] [Br/Ba9] |
| 100 A M |
Prinzip des klassischen Dilemmas (Fallunterscheidung) (Wenn eine Aussage A unter allen Bedingungen (B und nicht B) richtig ist, dann ist sie immer richtig) ((B → A) (¬ B → A)) → A |
[EML7] [Z10] [Link7] |
| 101 B M | Prinzip der Unterscheidung syntaktische und semantische Wahrheit (ableitbar, beweisbar)syntaktisch: Beweisbarkeit im Kalkül (Objektsprache) semantisch: Gültigkeit aufgrund der Semantik (Aussagenlogik: z. B. Wahrheitstafelmethode) (Metasprache) |
[Z11] [EML10] [Str4] [Hoff2] |
| 102 B | Prinzip der Eigenschaften von Axiomensystemen (Theorien)
|
[EML8] [Z11] [EML9] [EML10] [Mat2] [Tars1] [Boch8] [Hoff1] [Link8] |
| 103 A B | Gödelsche Unvollständigkeitssätze (Peano-Arithmetik) |
[EML8] [Z11] [EML9] [Na/Ne1] [Be/Mu1] [Beu7] [Beu8] [Hoff2] [Hoff3] [Hoff6] |
| 104 A B | Prinzip einer Zeitlogik temporale Operatoren: Notwendigkeitsoperatoren: G es wird immer der Fall sein, dass H es war immer der Fall, dass Möglichkeitsoperatoren F es wird einmal der Fall sein, dass P es war einmal der Fall, dass Definitionen: FA = ¬ G (¬ A) PA = ¬ H (¬ A) Gesetz von der Unwiderruflichkeit des Gegenwärtigen: A → GPA (Wenn A gegenwärtig ist, dann wird A in Zukunft immer vergangen sein) |
[AM15] [StL9] [Str6] [Z12] [Kien1] [Mül1] |
| 105 M |
Prinzip der Einfachheit (Ökonomie) Ockhamsches Rasiermesser (Ockham, Mach, Poincaré, Schlick, Russell, Bochenski) |
[O2] [O4] [Mac1] [Mac2] [Mac3] [Peir3] [Poin1] [R12] [Schl3] [Schl5] [Wit7] [Boch6] [Br/Ba7] [Gob9] |
§ 1 Bedeutung
In der Wirklichkeit ist es unmöglich, dass dasselbe ist und zugleich nicht ist. In der Logik ist es unmöglich, dass dasselbe wahr und zugleich falsch ist. Einer Substanz, einem Gegenstand, einem Ding kann ferner eine Eigenschaft unmöglich zukommen und zugleich nicht zukommen. Nach Aristoteles ist dieses Prinzip das sicherste Prinzip von allen [A3]. Er bezeichnet es auch als Prinzip der anderen Axiome. Aristoteles gibt für dieses Prinzip eine Art indirekten Beweis. Vgl. den Punkt Begründung des Prinzips. Die Bedeutung des Prinzips ist sowohl von ontologischer als auch von logischer Natur.
Nicht ganz eindeutig ist die Namensgebung in der Geschichte des Prinzips. Mal heißt es treffend 'Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch', mal einfach kürzer und weniger treffend 'Widerspruchsprinzip'.
§ 2 Geschichte
Schon Parmenides spricht von Sein oder Nichtsein, das Gegenteil wäre ein Widerspruch, vgl. [Pam3]. Er bezeichnet auch das Nichtsein als undenkbar. Bei Platon wird ebenfalls über die Unmöglichkeit von Widersprüchlichem bei ein und demselben gesprochen, vgl. [P26]. Aristoteles beschreibt dieses Prinzip in seiner Metaphysik als das sicherste und oberste Prinzip von allen [A3]. Nach Ockham gibt es ein theologisches Motiv für das Prinzip: Gott vermag nichts zu tun und zu bewirken, was einen Widerspruch in sich enthielte, vgl. [O2]. Gemäß Ockham ist die Erkennbarkeit von Dingen prinzipiell widerspruchsfrei. Würde das Gegenteil des Prinzips auf Dinge zutreffen, müssten diese grundsätzlich verschieden sein. Für Descartes ist dieses Prinzip eine ewige Wahrheit, ein Axiom [D10]. Zu ewigen Wahrheiten vgl. auch Prinzip 17: Prinzip der verschiedenen Wahrheiten. Locke [Loc8] und Leibniz [L4] und [L45] nennen beide das Prinzip. Nach Leibniz folgen aus diesem Prinzip die Vernunftwahrheiten (notwendigen Wahrheiten), vgl. Prinzip 17. Diese Wahrheiten sind nach Auffassung von Leibniz dem göttlichen und menschlichen Denken gemeinsam [L10]. Bei Kant wird dieses Prinzip in der Kritik der reinen Vernunft als logisches Prinzip beschrieben, vgl. [K20]. Wolff bemerkt zum Prinzip des ausgeschlossenen Widerspruchs folgendes: "Wir erfahren dies als die Natur unseres Geistes, daß er, während er urteilt, daß irgend etwas ist, nicht zugleich urteilen kann, daß dasselbe nicht ist." [W6]. Weitere Belegstellen gibt es bei Russell, u. a.
§ 3 Belegstellen
Parmenides [Pam3] (Fragment 8)
“Wohin, woher gewachsen? Weder: aus Nichtseiendem, werde ich dich sagen oder denken lassen; denn es ist nicht sagbar noch denkbar, daß (etwas) nicht ist. Und welches Bedürfnis hätte es auch veranlassen sollen, später oder früher, aus dem Nichts beginnend, sich zu bilden? Also muß es entweder ganz und gar sein oder nicht. Noch auch wird die Gewalt der Gewißheit zulassen, daß jemals aus einem Seienden irgendetwas über es hinaus wird – aus diesem Grunde hat weder zum Werden noch zum Vergehen die Rechtmäßigkeit es in seinen Fesseln lockernd losgelassen, sondern hält es fest. Die Entscheidung darüber beruht aber hierin: Entweder ist es, oder es ist nicht! Aber es ist nun entschieden, wie es Notwendigkeit ist: daß man den einen Weg liegen lasse als undenkbar, unnennbar, denn es ist nicht der wahre Weg; daß der andre dagegen, wonach es ist, eben der richtige sei. [...]“
Platon [P26] (Entgegengesetztes zur gleichen Zeit)
"Sokrates. Ist es also möglich, daß ein und dasselbe zu gleicher Zeit in der nämlichen Beziehung still stehe und sich bewege?
[...] Laß uns denn noch genauer uns darüber verständigen, damit wir nicht etwa im weiteren Verlauf auf Zweifel stoßen. Wollte nämlich jemand von einem Menschen, der still steht, aber seine Hände und seinen Kopf bewegt, behaupten, daß ein und derselbe zu gleicher Zeit still stehe und sich bewege, so würden wir, denke ich, diese Behauptung nicht als statthaft gelten lassen, sondern nur die, daß ein Teil an ihm still stehe, der andere dagegen sich bewege. [...] Kein derartiger Einwurf also soll uns irre machen noch uns den Glauben beibringen, daß jemals irgend etwas, das sich gleich bleibt, gleichzeitig in dem nämlichen Sinn und in Beziehung auf das nämliche Objekt Entgegengesetztes leiden [oder sein] oder tun könne."
Aristoteles [A3] (das sicherste unter allen Prinzipien)
"Daß ein so beschaffenes Prinzip das sicherste unter allen ist, leuchtet ein; welches aber dies ist, wollen wir nun angeben: daß nämlich dasselbe demselben und in derselben Beziehung [...] unmöglich zugleich zukommen und nicht zukommen kann. Das ist das sicherste unter allen Prinzipien; denn es paßt darauf die angegebene Bestimmung. Es ist nämlich unmöglich, daß jemand annehme, dasselbe sei und sei nicht. [...] Daher kommen alle, die einen Beweis führen, auf diese letzte Annahme zurück; denn dies Prinzip ist seinem Wesen nach zugleich Prinzip der anderen Axiome."
Ockham [O2] (Erkennbarkeit und Widerspruchsfreiheit - theologisches Motiv)
Bemerkung
Punkt (iv) stellt ein theologisches Motiv für das Prinzip dar.
Descartes [D10] (ewige Wahrheit - Axiom)
"[...] eine ewige Wahrheit, welche in unserem Geiste ihren Sitz hat und ein Gemeinbegriff oder ein Axiom genannt wird. Von dieser Art sind die Sätze: Es ist unmöglich, daß dasselbe zugleich ist und nicht ist; das Geschehene kann nicht ungeschehen werden; wer denkt, muß, während er denkt, existieren, [...]."
Locke [Loc8] (Ein Ding kann unmöglich zugleich sein und nicht sein)
“Ich werde mit den spekulativen Prinzipien beginnen und als Beispiel die folgenden berühmten Prinzipien des Beweises nehmen: ‘Was ist, das ist‘ und ‘Ein Ding kann unmöglich zugleich sein und nicht sein‘.“
Leibniz [L4] (Etwas als wahr oder falsch beurteilen)
"Unsere Überlegungen gründen auf zwei großen Prinzipien, demjenigen des Widerspruchs, aufgrund dessen wir das als falsch beurteilen, was Widersprüchliches oder Falsches einhüllt und als wahr, was diesem entgegengesetzt ist,...und dasjenige des zureichenden Grundes, aufgrund dessen wir keine Tatsache als wahr oder existierend annehmen, keine Aussage als wahrhaftig, ohne daß es einen zureichenden Grund gäbe, weswegen es sich so verhielte und nicht anders, obgleich sehr häufig diese Gründe uns nicht bekannt sein können."
Leibniz [L45] (dass ein Satz unmöglich zugleich weder wahr noch falsch sein kann)
“Das Prinzip des Widerspruchs ist im allgemeinen: Ein Satz ist entweder wahr oder falsch; dies schließt zwei wahre Aussagen ein; erstens, daß das Wahre und das Falsche in demselben Satze nicht zusammen bestehen können, oder daß ein Satz nicht zugleich wahr und falsch sein kann; zweitens, daß das Gegenteil oder die Verneinung des Wahren und des Falschen nicht zugleich stattfindet, oder daß es zwischen Wahrem und Falschem kein Mittleres gibt, oder auch, daß ein Satz unmöglich zugleich weder wahr noch falsch sein kann. “
Baumgarten [B1] (§7)
Nichts ist A und nicht A.
Dieser Satz heißt der Satz des Widerspruchs, und der schlechterdings erste Grundsatz.
Wolff [W6]
Kapitel 1: Das Widerspruchsprinzip
Kant [K20] (logisches Prinzip)
"Ein jeder Begriff ist in Ansehung dessen, was in ihm selbst nicht enthalten ist, unbestimmt, und steht unter dem Grundsatze der Bestimmbarkeit; daß nur eines von jeden zween einander kontradiktorischentgegengesetzten Prädikaten, ihm zukommen könne, welcher auf dem Satze des Widerspruchs beruht, und daher ein bloß logisches Prinzip ist, das von allem Inhalte der Erkenntnis abstrahiert, und nichts, als die logische Form derselben vor Augen hat."
Lotze [Lotz5]
Nr. 54 Prinzip des Widerspruchs
Russell [R1]
Kapitel 7 (Satz vom Widerspruch) “Nichts kann zugleich sein und nicht sein.“
Coreth [C4]
Gesetz des Widerspruchs
Gesetz des Nicht-Widerspruchs
Kontradiktionsprinzip
Essler/Martinez/Labude [EML6]
Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch ¬ (A ¬ A)
Schlick, Andreas [SchlA1] (ontologisches Prinzip)
“Im Kern geht es Aristoteles nicht um die Rechtfertigung des Satzes vom Widerspruch als logisches Prinzip, sondern um die ontologische Versicherung, dass alles, was existiert, als Einheit existiert.“
Tugendhat/Wolf [Tu/Wo4]
Der Satz vom Widerspruch
§ 4 Begründung
Vgl. [A3]
Wenn das Prinzip falsch wäre:
Eine Begründung für den logischen Anteil des Prinzips ist nach den Wahrheitstafeln sehr einfach möglich. Man betrachte folgende Wahrheitstafel:
| (A und ~A) | B | (A und ~A) → B |
| f | w | w |
| f | f | w |
Wenn das Prinzip logisch nicht wahr wäre, würde das Gegenteil nämlich ein Widerspruch W = (A und ~A) gelten (linke Tabellenspalte). Da die Aussagen A und ~A kontradiktorisch entgegengesetzt sind, ist nur eine der Aussagen wahr. Damit ist aber die Und-Verknüpfung immer falsch. Damit kann eine beliebige Aussage B aus dem Widerspruch gefolgert werden, denn die Implikation in der rechten Tabellenspalte ist unabhängig vom Wahrheitswert von B immer wahr. Wenn man aber alles folgern kann, widerspricht das der Vernunft; daher ist die logische Bedeutung des Prinzips außer Zweifel. Vgl. auch Prinzip 91: Unableitbarkeitsprinzip.
§ 5 Logische Formalisierung
Logische Bedeutung: Eine Aussage A sowohl als ihre Verneinung ~A können nicht zugleich wahr sein. Formalisierung mithilfe der Aussagenlogik: ~(A und ~A).
Ontologische Bedeutung: (Es ist unmöglich dass, dasselbe sei und nicht sei) oder (dass nämlich dasselbe demselben und in derselben Beziehung unmöglich zugleich zukommen und nicht zukommen kann). Formalisierung mithilfe der Prädikatenlogik: ~ (a und ~a) oder ~(Fa und ~Fa).
§ 6 Anwendung
Eine typische Anwendung des Prinzips ist, im Rahmen eines Beweises aus einer Hypothese, oder aus den Prämissen einen Widerspruch zu folgern, d. h. eine Aussage A und ~A. Damit erreicht man den Nachweis, dass die ursprüngliche Hypothese oder eine der Prämissen falsch sein müssen.
Ein berühmtes Beispiel ist der Beweis, dass √2 irrational ist. Dieser Beweis ist relativ einfach und soll nun durchgeführt werden:
Der Einfachheit halber kann man sich ein Einheitsquadrat vorstellen, d. h. ein Quadrat der Seitenlänge 1cm. Dieses hat dann eine Diagonale der Länge √2. Der Widerspruch soll nun dadurch entstehen, dass gezeigt wird: 'Wenn die Diagonale rational ist, dann ist ein und dieselbe Zahl n sowohl gerade als auch ungerade'.
Nehmen wir also an √2 = m/n mit m und n beides rationale Zahlen und der Bruch sei gekürzt, d. h. nicht beide Zahlen m, n können gerade sein.
Es gilt dann 2 = m2/n2, d. h. m2 = 2n2. Das bedeutet m2 ist gerade. Damit muss aber auch m gerade sein, da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist. Als Konsequenz folgt nun aber, dass n ungerade ist, da nicht beide gerade sein können. Da aber m gerade ist, muss sich m2 durch 4 teilen lassen, denn wenn m=2p, so ist m2 = 4 p2. Damit haben wir 4p2 = 2 n2 bzw. 2 p2 = n2 und das bedeutet n2 ist gerade und damit ist n auch gerade. Widerspruch! q.e.d.
Der Beweis kann z. B. nachgelesen werden in ähnlicher Form bei Russell [R23], im Buch der Elemente bei Euklid [E2] oder bei Beutelspacher [Beu1].
§ 1 Bedeutung
Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten besagt in seiner ontologischen Form, dass jegliches entweder ist oder nicht ist. Eine dritte Möglichkeit, etwas Mittleres (dazwischen) kann es nicht geben. Wenn z. B. etwas noch im "Werden" begriffen ist, wird es dem Sein noch nicht zugerechnet, sondern noch dem Nichtsein; andererseits wenn etwas am "Vergehen" ist wird es dem Nichtsein noch nicht zugeordnet. (Dies ist eine mögliche Sichtweise). Werden und Vergehen sind somit nach dieser Meinung kein Mittleres zwischen Sein und Nichtsein. In der logischen Form besagt das Prinzip, dass eine Aussage entweder wahr oder falsch ist. Nach Frege [F48] bietet diese Prinzip die Möglichkeit einen Bereich scharf einzuteilen und damit zu einer scharfen Definition eines Begriffes zu kommen, vgl. hierzu auch Prinzip 59: Grundsatz der Vollständigkeit des Definierens.
Dieses Prinzip ist äquivalent zu Prinzip 1:
~(A und ~A) ↔ (~A oder ~~A) ↔ (~A oder A) ↔ (A oder ~A)
Die Äquivalenz zu Prinzip 1 beinhaltet in der Richtung Prinzip 2 → Prinzip 1 einen verborgenen Zirkelschluss. Vgl. [W3]