Inhaltsverzeichnis
1 Existenz von Lösungen und Lösungsformeln
1.1 Der quadratische Fall
1.2 Der kubische Fall
1.3 Der biquadratische Fall
1.4 Die Suche nach einer allgemeinen Lösungsformel
1.4.1 Anzahlen von Lösungen - Der Fundamentalsatz der Algebra
1.4.2 Der Beweis der Nichtexistenz einer allgemeinen Lösungsformel für Gleichungen vom Grad > 5
2 Anzahl und Lage der reellen Lösungen von Gleichungen höheren Grades
2.1 Grenzen für die Lösungen von Gleichungen höheren Grades
2.2 Anzahl und Vorzeichen der Lösungen von Gleichungen höheren Grades - Die Vorzeichenregel von DESCARTES
2.3 Anzahl und Lage der Nullstellen von reellen kubischen Polynomen
2.3.1 Anzahl der reellen Nullstellen eines kubischen Polynoms
2.3.2 Vorzeichen und Grenzen der Nullstellen reeller kubischer Polynome
2.3.3 Untersuchung aller möglichen Koeffizientenfolgen
2.4 Anzahl und Lage der Nullstellen eines biquadratischen Polynoms
2.4.1 Die Charakteristik eines Polynomenpaares
2.4.2 Grenzen der Nullstellen reeller biquadratischer Polynome
2.5 Anzahl und Lage der reellen Lösungen von Gleichungen beliebigen Grades
2.5.1 Mögliche Anzahl und Vorzeichen - Verallgemeinerung der Ergebnisse zur DESCARTSCHEN Vorzeichenregel im kubischen Fall
2.5.2 Anzahl und Grenzen - STURMsche Kette
2.6 Verkleinern der Grenzen
3 Literaturverzeichnis
3 Literaturverzeichnis:
| [Alt] |
Alten, H. -W. (Hrsg.): 4000 Jahre Algebra. Berlin 2005 |
| [Bew] |
Bewersdorff, Jörg: Algebra für Einsteiger. Braunschweig 2002 |
| [Has] |
Hasse, Helmut: Höhere Algebra II, Gleichungen höheren Grades. Berlin 1927 |
| [Haw] |
Hawlitschek, Kurt: Zur Vorzeichenregel von DESCARTES. In: MNU 53/1 (2000), S. 4-6 |
| [Kas] |
Kaske, Rainer: Quadratische Gleichungen bei AL-KHWARIZIMI.
http://www.raikas.net/alkh1.html; überarbeitete PDF-Version vom 24.11.2007 |
| [Kur] |
Kurosch, A. G.: Algebraische Gleichungen beliebigen Grades. Berlin 1954 |
| [Nob] |
Noble, Ben: Numerisches Rechnen. Mannheim 1966 |
| [Sch] |
Schafarewitsch, I. R.: Über die Auflösung von Gleichungen höheren Grades (Sturmsche Methode). In: Karl, Herbert (Hrsg.): Kleine Ergänzungsreihe zu den Hochschulbüchern für Mathematik, Band XVII. Berlin 1974 |
| [Tha] |
Thaer, Clemens (Hrsg.): Die Elemente von EUKLID. Frankfurt am Main 2005 |
| [Web] |
Weber, Heinrich und Wellstein, Josef: Encyklopädie der Elementar-Mathematik, Erster Band. Leipzig 1906 |
| [Vol] |
Volkenborn, Arnt: Script zur Vorlesung "Algebra" im Sommersemester 2006 an der Universität zu Köln. |
Footnotes
- Vgl. [Kas] S. 4
- Vgl. [Kas] S. 4-7
- Vgl. [Kas] S. 11-12
- Vgl. [Kas] S. 10
- Vgl. [Kas] S. 12
- Dies entspricht einer Gleichung vom Typ 5. bei AL-KHWARIZIMI und diese hat somit zwei positive Lösungen.
- Vgl. [Alt] S. 255 - 257
- Vgl. [Alt] S. 257
- Vgl. [Alt] S. 258
- Hier benutzt CARDANO die Terminologie des EUKLID, vgl. [Tha] S. 239, §37:
"Setzt man zwei nur quadriert kommensurable (mit gemeinsamen Maß zu messende) rationale Strecken zusammen, dann ist die Summe irrational, sie heißt Binomiale." und S. 272, §73:
"Nimmt man von einer rationalen Strecke eine rationale weg, die der ganzen nur quadriert kommensurabel ist, dann ist der Rest irrational, er heißt Apotome."
- Vgl. [Bew] S. 9
- Bei Gleichungen vom Typ x + ax = b können keine negativen Radikanten unter der Quadratwurzel entstehen, da ja a und b nur positive Zahlen sein konnten.
- Vgl. [Bew] S.10
- Vgl. [Bew] S. 12
- Vgl. [Alt] S. 265
- Vgl. [Alt] S. 261
- Der Einfachheit halber verwende man hier weiter x anstelle des substituierten y für die Unbekannte.
- Vgl. [Bew] S. 24
- In verschachtelten Wurzelausdrücken bedeutet in der Form:
- Vgl. [Bew] S. 28-33
- Vgl. [Bew] S. 52, 53
- Vgl. [Alt] S. 272
- Der Begriff Wurzel einer Gleichung steht im Folgenden immer für Lösung einer Gleichung.
- FRANCISCUS VIETA ist die lateinische Form von FRANÇOIS VIÈTE
- Vgl. [Alt] S. 273
- Vgl. [Bew] S. 30
- Vgl. [Bew] S. 29-32
- Vgl. auch [Vol] Satz 2.20 und Beweis; hier wird sogar gezeigt, dass die Eigenschaften: α ist Nullstelle eines Polynoms f, und: (x - α) ist Teiler von f, äquivalent sind.
- Vgl. [Bew] S. 31, Fußnote 24
- Vgl. [Kur] S. 21
- Komplexe Zahlen wurden zu dieser zeit noch als unmöglich oder imaginär bezeichnet, die Bezeichnung complex wurde erst von GAUß eingeführt. Vgl [Alt] S. 308
- Vgl. [Alt] S. 284, 285
- Vgl. [Alt] S. 309
- Vgl. [Alt] S. 280
- Vgl. [Alt] S. 286
- Vgl. [Alt] S. 331
- Nach ABRAHAM DE MOIVRE (1667-1754), vgl. [Bew] S. 17
- Vgl. [Bew] S. 39
- Vgl. [Alt] S. 318-21
- nach JAN HUDDE (1628-1704)
- Vgl. [Alt] S. 320
- Aus Gründen der besseren Übersicht, ist im Folgenden z durch y ersetzt.
- Vgl. [Bew] S. 42, die Nummerierung der Lösungen ist beliebig!
- Diese Aussage findet sich heute noch in dem wichtigen Satz der Gruppentheorie; vgl. [Vol ] Satz 1.5 Satz von LAGRANGE
- Vgl. [Alt] S. 324
- Vgl. [Bew] S. 53-56
- Vgl. [Alt] S. 328-330
- Vgl. [Bew] S. 105
- Vgl. [Bew] S. 112. Für eine irreduzible Gleichung f gilt: aus f = gh folgt immer: entweder grad g = 1 oder grad h = 1. Also eine Zerlegung in nicht-triviale Gleichungen ist hier bereits ausgeschlossen.
- So erhält man auch eine Definition der Forderung "auflösbar in Wurzelausdrücken."
- Vgl. [Sch] S. 5
- Vgl. [Alt] S. 280
- Vgl. [Haw] S.4
- Da kein Koeffizient gleich Null ist, kann man hier die DESCARTsche Vorzeichenregel in der abgewandelten Form anwenden. Man bestimme also die maximale Anzahl der negativen Nullstellen, indem man -x anstelle von x in die Gleichung einsetzt und die Vorzeichenwechsel zählt. Es wird sich später zeigen, dass die DESCARTsche Vorzeichenregel nur in dieser Form korrekt ist.
- Da es in diesem Kapitel nur um die Berechnung von Nullstellen mit hinreichender Genauigkeit geht, genügt hier diese Angabe.
- Dies zeigt man leicht graphisch, der Graph des Polynoms f(-x) entspricht dem an der y-Achse gespiegelten Graphen des Polynoms f(x).
- Vgl. [Web] S.334-336
- Dies dient nur der Vereinfachung der Schreibweise, da ja gilt fc = 0(x) = f(x) - c wird c ∈ R \ {0} also nicht verletzt.
- Da hier a < 0 gilt, ist also 4/27a3 < 0 und somit die kleinere Intervallgrenze
- Diese Formulierung findet man tatsächlich häufiger, z.B. im Internet. Auch wird die Vorzeichenregel zum Teil CARTESISCHE Vorzeichenregel genannt, nach RENATUS CARTESIUS, der lateinischen Form von RENÉ DESCARTES.
- Entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.
- Vgl. [Sch] S. 12
- Vgl. [Vol] Satz 2.18
- Sei M nun immer das Maximum aus den Grenzen von f(x) und von f'(x)
- Vgl. [Web] S. 338
- Vgl. [Web] S. 337ff
- Programm zur Polynomdivision im Internet unter:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm
- Vgl. [Haw] S. 5
- Im allgemeinen Fall der Bestimmung der Charakteristik eines beliebigen Polynomenpaares kann natürlich auch ei, i+1 = 0 vorkommen. Nicht aber in dem Fall der Bestimmung der Anzahl der Nullstellen eines Polynoms über die Charakteristik des Polynoms und seiner Ableitung, da ja hier immer grad fi = grad fi+1 + 1 gelten muss.
- Man sieht hier direkt, dass man mit diesem Verfahren keine Nullstelle mit gerader Vielfachheit größer 1 annähern kann, da in diesem Fall die Sekante keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat.
- Vgl. [Web] S. 342
- Hier wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass b näher an α1 liegt als a, dass man sich also von links an die Nullstelle annähert. Das Verfahren ist aber natürlich auch für den Fall, dass a näher an α1 liegt anzuwenden, hier nimmt man dann den Näherungswert x = a + ξ anstelle von b. Um welchen Fall es sich handelt, erkennt man am Vorzeichen von f(x).
- Auch hier muss wieder gelten, dass das Polynom und seine Ableitung keine gemeinsame Nullstelle haben, also: f(x) = 0 ⇒ f'(x) ≠ 0.
- Vgl. [Nob] S. 38
Gudrun Otto
Lösbarkeit von Gleichungen höheren Grades: Geschichte - Historische Verfahren - Neue Verfahren
ISBN: 978-3-8428-1612-1
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2011
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Lösbarkeit von Gleichungen höheren Grades
Eine Abhandlung über die historische Suche nach Lösungsformeln und Untersuchung von Methoden zur Bestimmung von Anzahl und Lage der Nullstellen konkreter Gleichungen
Vorwort
Dieses Buch befasst sich mit den Lösungen von Gleichungen der Form:
anxn + an-1xn-1 + …… + a1x + a0 = 0
Das Auffinden von Lösungen für Gleichungen höheren Grades beschäftigt Mathematiker aller Regionen und aller Epochen seit nun mehr ca. 4000 Jahren und ist sogar namensgebend für eines der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik. Die Bezeichnung Algebra ist abgeleitet aus dem Titel des Buchs Hisab al-gabr w'al muqabala ("Über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen"), das der arabischen Mathematiker AL-KHWARIZIMI ca. im Jahr 830 veröffentlichte. In diesem Buch beschreibt AL-KHWARIZIMI geometrische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. AL-KHWARIZIMI löst Gleichungen mit den Methoden, die wir heute noch verwenden: Abziehen von gleichen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung ("Ausgleichen"), um gleiche Potenzen zusammenzufassen, und Hinüberschaffen eines negativen Gliedes auf die andere Seite ("Ergänzen"), so dass sich positive Koeffizienten ergeben (negative Zahlen wurden ja noch nicht verwendet).
Von diesen Arbeiten ausgehend, wird im ersten Teil des Buches einen Überblick über die wichtigsten geschichtlichen Entwicklungen gegeben. Hierbei geht es hauptsächlich um die allgemeine Lösbarkeit von Gleichungen, also um die Suche nach Lösungsformeln.
Der zweite Teil widmet sich dann ganz den praktischen Anwendungen, dass heißt hier werden Verfahren entwickelt, mit deren Hilfe man die Lösungen einer Gleichung n-ten Grades näherungsweise berechnen kann. Dabei kommen nur solche Verfahren zum Einsatz, die anschaulich mit den Mitteln der Schulmathematik hergeleitet werden können.
Im heutigen Mathematikunterricht spielen Gleichungen vom Grad n > 2 kaum noch eine Rolle. Ob dies daran liegt, dass es für Gleichungen vom Grad n ≥ 5 keine Lösungsformel mehr gibt und die Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad n = 3 und n = 4 schon recht kompliziert sind, bleibt nur zu vermuten.
Es wird sich aber zeigen, dass es durchaus möglich ist, mit einfachen Mitteln das Thema Lösungen von Gleichungen n-ten Grades komplett zu behandeln. Auch die Lösungsformeln lassen sich, wie man hoffentlich im ersten Teil erkennen wird, auf anschauliche Weise herleiten.
1 Existenz von Lösungen und Lösungsformeln
In diesem Kapitel geht es um die Frage nach der Lösbarkeit von Gleichungen beliebigen Grades. Dabei sollen zunächst die bekannten Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad n = 2, 3, 4 anschaulich hergeleitet werden, bzw. ihre historische Auffindung nachvollzogen werden. Daran anschließend folgt ein Exkurs in die Zeit, als nach einer allgemeinen Auflösungsformel für Gleichungen vom Grad n ≥ 5 gesucht wurde.
Ars Magna deRegulis Algebraicis