INTRODUCCIÓ A LA TOPOLOGIA
INTRODUCCIÓ A LA TOPOLOGIA
UNIVERSITAT DE VALÈNCIA
Col·lecció: Educació. Materials
Director de la col·lecció: Guillermo Quintás Alonso
Aquesta publicació no pot ser reproduïda, ni totalment ni parcialment, ni enregistrada en, o transmesa per, un sistema de recuperació d’informació, en cap forma ni per cap mitjà, sia fotomecànic, fotoquímic, electrònic, per fotocòpia o per qualsevol altre, sense el permís previ de l’editorial. |
© Els autors, 2011
© D’aquesta edició: Universitat de València, 2011
1a edició: maig 1997
2a edició: octubre 2011
Maquetació: els autors
Disseny de la coberta: Celso Hernández de la Figuera
ISBN: 978-84-370-9210-2
Índex
INTRODUCCIÓ
UN BOCÍ D’HISTÒRIA
Capítol 0. Coneixements previs
0.1 Conjunts i aplicacions
0.2 Numerabilitat
0.3 Els nombres reals
Capítol 1. Espais mètrics
1.1 Definició i exemples d’espais mètrics
1.2 Boles. Espais mètrics fitats
1.3 Oberts. Propietats dels subconjunts oberts
1.4 Entorns. Tancats
1.5 Exercicis
Capítol 2. Espais topològics
2.1 Definició i exemples d’espais topològics
2.2 Tancats. Entorns
2.3 El primer axioma de numerabilitat i la condició de Hausdorff
2.4 Mètriques equivalents
2.5 Exercicis
Capítol 3. Punts especials d’un espai topològic
3.1 Punts d’adherència i conceptes relacionats
3.2 Punts fronterers. Punts interiors
3.3 Caracterització per successions
3.4 Exercicis
Capítol 4. Continuïtat
4.1 Continuïtat en un punt
4.2 Continuïtat global
4.3 Continuïtat uniforme i isometries
4.4 Exercicis
Capítol 5. Subespais topològics
5.1 Topologia induïda
5.2 Adherència, interior i frontera relativa
5.3 Continuïtat i subespais
5.4 Exercicis
Capítol 6. Producte d’espais topològics
6.1 Topologia producte
6.2 Adherència, interior i frontera d’un producte
6.3 Continuïtat i productes
6.4 Exercicis
Capítol 7. Connexió
7.1 Connexió
7.2 Subespais connexos de IR
7.3 Altres propietats de la connexió
7.4 Components connexos
7.5 Connexió per arcs
7.6 Exercicis
Capítol 8. Compacitat
8.1 Definició i exemples
8.2 Subespais compactes. Caracterització dels de IR i de IRn
8.3 Relació amb aplicacions contínues
8.4 Espais mètrics compactes per successions
8.5 Exercicis
Capítol 9. Espais complets
9.1 Espais mètrics complets
9.2 Alguns teoremes sobre espais complets
9.3 Compleció d’un espai mètric
9.4 Exercicis
APÈNDIX A. La recta euclidiana amb l’origen allunyat
APÈNDIX B. Graelles
ÍNDEX DE TERMES
BIBLIOGRAFIA
Introducció
En el pla d’estudis de l’any 1993 de la llicenciatura de Matemàtiques de la Universitat de València figura l’assignatura Topologia elemental. Per tal d’oferir als estudiants un text que done resposta a les especificacions del pla d’estudis, i aprofitant l’ajut de la Universitat, els autors han donat cos a allò que de primer van ser uns apunts i que ara és aquest llibre. L’esmentada assignatura és de segon quadrimestre. Això vol dir que els estudiants ja tenen certs coneixements de l’anàlisi d’una variable real i que, alhora, segueixen un altre curs d’anàlisi de diverses variables. El temps dedicat a l’assignatura és de 60 hores aproximadament, acompanyades de 40 hores més de mòdul Pràctiques de topologia elemental.
Aquest text, adreçat sobretot al mòdul teòric, té dues parts ben diferenciades. La primera la componen els capítols del primer al sisè, on s’expliquen les nocions d’espai mètric i topològic i els conceptes associats. La segona part –capítol setè, vuitè i novè– estudia tres propietats molt importants, com és ara la connexió, la compacitat i la completesa.
La primera part del tex comença amb un capítol dedicat als espais mètrics, que parteix de les nocions intuïtives que els estudiants ja tenen gràcies a l’estudi de l’anàlisi d’una o diverses variables reals, és a dir, de les nocions de distància en el conjunt dels nombres reals IR o en IRn. Després, en el segon capítol definim i treballem els espais topològics, mantenint sempre, com a fil conductor del nostre discurs, el cas particular d’espai topològic associat a una mètrica.
En el tercer capítol s’estudien els diferents tipus de punts de l’espai topològic respecte als subconjunts. Quant als espais mètrics, s’insisteix en la caracterització d’aquests tipus de punts per successions.
El capítol quart està dedicat a la continuïtat. S’hi estudien les aplicacions entre espais topològics que compleixen les mateixes propietats que les aplicacions contínues entre IRn i IRm.
En els dos últims capítols d’aquesta primera part, es presenten totes les nocions estudiades prèviament per als casos de subespais d’un espai topològic i per al producte de dos espais topològics.
La segona part del manual s’inicia amb el capítol dedicat a la connexió. Un resultat fonamental és la caracterització dels intervals de la recta real com els únics subespais connexos en la topologia usual. S’hi inclouen també els conceptes de component connex i de connexió per arcs.
El capítol vuité tracta la compacitat, propietat que moltes vegades permet demostrar que si una condició es compleix localment en un espai topològic, aleshores també és certa globalment. La caracterització dels subespais compactes de IR i de IRn en la topologia usual (teorema de Heine-Borel) és un resultat fonamental d’aquest capítol. S’hi estudia també el concepte d’espai topològic compacte per successions fins a arribar a demostrar que, en el cas d’espais mètrics, les nocions de compacitat i de compacitat per successions són equivalents.
Per acabar, tornem als espais mètrics, els quals van tenir un paper secundari en el segon capítol, per definir el concepte d’espai mètric complet. S’hi estudien el teorema de Baire, el teorema de Cantor o dels conjunts encaixats i el teorema del punt fix o de Banach. Tots tres tenen importants aplicacions en altres branques de la matemàtica. S’hi inclou també un apartat sobre l’existència i la unicitat –tret d’isometries– de la compleció de tot espai mètric.
Cada capítol finalitza amb una sèrie d’exercicis que poden servir per a enfortir l’aprenentatge dels conceptes del text i com a preparació per al mòdul pràctic d’aquesta mateixa assignatura. El senyal al final d’un exercici indica un grau de dificultat superior als dels altres exercicis. Les solucions als exercicis proposats, o almenys les indicacions per resoldre’ls, es poden trobar accedint a la següent adreça alectrònica: <http://topologia.geomet.uv.es>. A més a més, hem afegit un apèndix (apèndix A) on es desenvolupa un estudi detallat d’un espai mètric, de la seua topologia associada i de les seues propietats topològiques i mètriques.
Finalment, no és sobrer fer algunes consideracions sobre l’exposició.
Hem considerat convenient afegir un tema 0 referent a la teoria de conjunts, a la numerabilitat i als nombres reals i les seues propietats, que recull les nocions importants d’aquests temes i que sovint es necessiten per al desenvolupament del curs.
Els dibuixos explicatius formen part de l’assignatura. No són, de cap manera, una demostració, però sí que constitueixen una valuosa ajuda per a expressar la idea de la demostració. És per això que apareixen nombroses il·lustracions al llarg del text, més de cinquanta.
Hem afegit també un apèndix (apèndix B) on hem procurat esmenar el desavantatge que és desenvolupar els models d’espai topològic al llarg del text amb unes graelles on fàcilment es podrà trobar la definició o la propietat desitjada d’un model concret. La primera recorda la relació dels operadors adherència, interior i frontera amb les operacions booleanes (unió, intersecció, complementari) i amb els subespais, els productes o les imatges per una aplicació contínua. Les altres dues relacionen també amb aquests darrers conceptes la connexió, la compacitat, la completesa, la condició de ser Hausdorff i la condició del primer axioma de numerabilitat. Aquesta pot ser una manera eficaç i ràpida de trobar la relació desitjada, més que res, en el mòdul pràctic de l’assignatura.
Versions prèvies d’aquest text han sofert el dur banc de proves de l’aula, concretament durant els segons quadrimestres dels cursos 93/94 i 94/95. Val a dir que no tot el material exposat en el text s’ha explicat íntegrament al llarg de les, aproximadament, quinze setmanes, a raó de 4 hores setmanals teòriques més 3 de pràctiques. Algunes parts s’hi inclouen per tal d’oferir un text més complet, encara que algunes d’elles no s’expliquen als estudiants. Així mateix, els capítols cinquè (subespais) i sisè (productes) es poden reduir substancialment, donat que moltes de les propietats són repetitives i fàcils de seguir pels estudiants. Els exercicis que acompanyen cada capítol s’han explicat, la major part d’ells, dins del mòdul teòric, és a dir, com a complement de la teoria. Seguint les recomanacions del pla d’estudis, hem reservat el mòdul pràctic per al treball personal dels estudiants, on ells, amb l’ajuda del professor, desenvolupaven espais mètrics o topològics concrets amb l’esperit de l’esmentat apèndix sobre la mètrica euclidiana amb l’origen allunyat.
Agraïm ací els comentaris i els suggeriments que els estudiants han tingut envers el text i, per què no, la paciència envers els seus professors, ara esdevinguts autors. Esperem també que en propers cursos continuaran els comentaris i suggeriments, que de segur contribuiran a millorar la nostra tasca docent. També seran ben rebudes la il·lusió per aprendre matemàtiques i la comprensió pels errors que es puguen trobar en aquestes pàgines.
Per a la realització definitiva d’aquest llibre hem gaudit d’un ajut del Servei de Normalització Lingüística de la Universitat de València. Aquest llibre no hauria vist la llum sense la gran quantitat de treball portada a terme per un del seus autors, Juan Monterde, en la seua homogeneïtzació i fins i tot de mecanografiat. Per tot això, la resta d’autors li volem mostrar el nostre agraïment. Finalment, desitgem també expressar el nostre agraïment a l’Institut d’Estudis Catalans per l’ajuda que ens ha prestat en la terminologia tècnica, i en particular al seu president, Dr. Manuel Castellet, matemàtic i topòleg, pel seu interès.
Burjassot, maig de 1996
Els autors
Un bocí d’història
Com no podia ser d’una altra manera en uns autors d’un llibre de topologia, la nostra opinió és que la topologia ha esdevingut, des del seu origen ençà, una de les teories més importants per al coneixement matemàtic.
La topologia té l’origen en els intents de resoldre problemes de fonamentació sorgits en diverses parts de la matemàtica, i en aquests moments s’ha convertit en la base de totes aquestes parts, alhora que ha donat a la matemàtica una cohesió en principi inesperada. Es pot ben dir, sense exagerar gens, que molt poques branques de la matemàtica són en aquest moment alienes a la influència de la topologia.
Aquesta introducció a la topologia vol justificar les afirmacions anteriors tot fent un recorregut pels moments cabdals de la seus història.
Etimològicament, la paraula «topologia» deriva dels termes grecs τοποσ (topos) que vol dir ‘lloc’ i λογοσ (logos) que significa ‘discurs’. Aquest nom el fa servir per primera vegada l’any 1847 un deixeble de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Johann Benedikt Listing. Un altre nom utilitzat al principi, i que també és indicatiu del seu contingut, va ser analysis situs, que es pot traduir per «anàlisi de la posició». Aquest nom va ser encunyat per Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) l’any 1679 i amb ell volia indicar «una anàlisi pròpiament geomètrica o lineal, que expresse directament situs, en contraposició a allò que l’àlgebra expressa com a magnitudem». És a dir, alliberar-se de la influència cartesiana que, mitjançant coordenades, tractava amb quantitats determinades. Allò que volia Leibniz era una teoria que tractara sobre la geometria de conjunts prescindint de les quantitats que en aquests es puguen definir.
Després d’aquests dos precursors, qui va assenyalar la necessitat de posar les bases d’allò que hauria de ser la topologia va ser Bernhard Riemann (1826-1866), també deixable de Gauss. Riemann, en la seua tesi doctoral, va introduir algunes idees que després esdevindrien conceptes topològics fonamentals.
Per exemple, es va interessar pel concepte que ell anomenava «magnitud estesa diverses vegades». Aquest concepte és, amb la nostra mesura actual del rigor, un poc boirós. De tota manera, es pot dir que és l’origen de la noció d’espai topològic. Com a exemples d’aquestes magnituds ja va intuir la noció d’espai de funcions («totes les determinacions possibles d’una funció en un domini donat») i de l’espai de posicions d’una figura geomètrica.
D’altra banda, en el seu estudi de superfícies va associar als espais que havia definit uns nombres enters –ara anomenats nombres de Betti en honor del matemàtic italià, amic personal de Riemann, Enrico Betti (1823-1892)–, fet que es pot considerar com els inicis de la topologia algebraica. Amb posterioritat, va generalitzar aquests nombres als espais de multiplicitat de qualsevol dimensió.
A més d’aquestes aportacions, Riemann va assenyalar la necessitat d’introduir «una teoria de la continuïtat fent abstracció de tot tipus de mesures, estudiant només les relacions de posició i d’inclusió».
Malauradament, les eines necessàries per a desenvolupar fins al límit les seues idees no es trobaven encara al seu abast. Pensem que aleshores ni tan sols era clara el concepte de funció, que poca cosa s’havia fet en dimensions diferents de la primera i que la imprescindible teoria de conjunts, tal com l’entenem ara, encara era ben lluny del seu naixement.
Riemann no va tenir més remei que treballar amb conjunts on almenys podia mesurar la longitud de corbes, conjunts que localment es comporten com espais euclidians i que són una generalització del concepte de superfície. En l’actualitat Riemann potser és més conegut per la seua fonamentació de les ara anomenades varietats riemannianes, que no per la seua aportació als orígens de la topologia.
El primer que va contribuir a omplir el buit que hi havia entre les idees de Riemann i la realitat matemàtica d’aquells moments va ser Georg Cantor (1845-1918), amb el seu estudi sistemàtic de la teoria de conjunts de punts sobre la recta, el pla i l’espai, que incloïa les definicions de punt d’acumulació, de conjunt tancat, obert, perfecte i de la idea de dimensió.
Més tard, l’any 1902, David Hilbert (1862-1943) va desenvolupar una teoria axiomàtica de la «multiplicitat estesa dues vegades», on féu servir una versió restringida del concepte d’entorn. Les següents passes cap a la generalització les van fer Maurice Frechet (1878-1973) i Frigyes Riesz (1880-1956). El primer partia de la definició de convergència d’una successió. Per poder parlar de convergència és necessari saber quan uns punts s’apropen a un altre punt fix de l’espai. És així com va posar les bases de concepte d’espai mètric. Riesz, per la seua banda, partia de la noció de punt d’acumulació. La seua teoria, però, no va tenir, en aquells moments, gaire ressò.
Per tant, aquesta primera generalització va girar al voltant de la idea d’espai mètric. Bàsicament, un espai mètric és un conjunt i una aplicació que a cada parell d’elements d’aquest conjunt assigna un nombre real, és a dir, una distància. Per exemple, per definir què vol dir que una successió de funcions siga o no convergent n’hi ha prou de prendre ara la funció distància adequada per al conjunt de funcions adient.
Però qui va donar la fonamentació definitiva a la noció d’espai topològic va ser Felix Hausdorff (1868-1942), tot aprofitant l’axiomàtica de conjunts de Cantor. Hausdorff va generalitzar els conceptes de límit i de continuïtat a conjunts genèrics en què hi ha, però, una idea intuïtiva de la noció de «proximitat». Aquests conjunts són els espais topològics. La proximitat la donen les relacions entre els subconjunts de l’espai.
La noció d’espai topològic és un dels clàssics paradigmes matemàtics. Hausdorff es va adonar que els matemàtics demostraven els teoremes de l’anàlisi amb uns mètodes que es ressemblaven sempre i per als quals, més que les propietats mètriques, allò realment important eren les relacions de proximitat entre els punts i els subconjunts.
Hausdorff va llançar la noció de distància per la borda i va definir què és una topologia sobre un conjunt fent abstracció d’aquestes diferències. És a dir, bandejant del conjunt qualsevol noció de distància, però deixant aquelles propietats mínimes que permeten encara parlar de proximitat entre punts i subconjunts. A més a més, aquesta definició d’espai topològic inclou els espais amb què es plantejaven les primeres qüestions geomètriques estudiades per Riemann i altres. La definició d’espai topològic de Hausdorff és pràcticament la que ara es pot trobar en qualsevol llibre de topologia.
Abans de finalitzar aquest breu comentari històric, volem fer ressaltar que ens hem limitat a descriure els començaments de la topologia de conjunts o topologia general, sense fer cap esment a altres vessants de la topologia. Cal dir que hi ha parts de la topologia amb arrels encara més antigues que les de la topologia general. N’és un exemple l’anomenada topologia geométrica. També s’ha d’afegir que durant aquest segle hem assistit a una eclosió de la topologia que ha donat lloc a nombroses teories interessants. Com a branques molt importants i actives cal fer esment de la topologia algebraica, la topologia diferencial o la topologia polièdrica.
Educació. Materials 20
En aquesta secció recollim alguns resultats genèrics que seria convenient conèixer per a una millor comprensió d’aquest llibre. Hi incloem també demostracions d’aquells que a parer nostre no s’han trobat abans.
Començarem fixant la notació d’alguns conjunts numèrics bàsics que suposarem coneguts. Així, el conjunt dels nombres naturals es denota per IN, el conjunt dels nombres enters es denota per , el dels racionals per i els corresponents sense el zero per IN, .
Suposem també una certa familiaritat amb el concepte intuïtiu de conjunt i les operacions bàsiques entre aquests, com la unió de conjunts o la intersecció d’una quantitat finita de conjunts.
A més a més, al llarg d’aquest llibre farem servir el concepte de família de conjunts. És, simplement, un conjunt els elements del qual són conjunts. Denotarem les famílies indistintament amb lletres cal·ligràfiques , , etc., o bé utilitzant subíndexs {Ui : i ∈ I}, {Ui}i∈I, {Vλ : λ ∈ Λ}, etc.
Definim la unió d’una família de conjunts com el conjunt format pels elements que pertanyen a algun conjunt de la família. És a dir,
o bé
Anàlogament, es defineix la intersecció com el conjunt format pels elements comuns a tots els conjunts de la família. És a dir,
o bé
És fàcil veure que compleixen la distributivitat d’una respecte a l’altra.
Propietat 0.1 Siga {Ui : i ∈ I} una família de conjunts. Llavors,
Recordeu que el complementari d’un subconjunt A de X és el conjunt de tots aquells elements del conjunt X que no pertanyen a A. El denotarem per X − A. És evident que el complementari del complementari és el mateix conjunt (X − (X − A) = A).
La relació dels complementaris amb la unió i la intersecció és donada per les dues lleis de Morgan.
Propietat 0.2 Siga {Ui : i ∈ I} una família de conjunts. Llavors,
Un altre concepte que emprarem és la diferència de dos conjunts A i B, A − B. Es defineix com el conjunt de tots els elements del conjunt A que no pertanyen al conjunt B, és a dir, A − B = A ∩ (X − B). Les lleis de Morgan també són certes per a la diferència. A més a més, és important destacar un parell de propietats.
Propietat 0.3 Per a qualssevol A i B es compleix que
Un concepte tan bàsic com el de conjunt i que també suposem conegut és el d’aplicacio entre conjunts. Una aplicacio entre els conjunts X i Y fa correspondre a cada element de X un i només un element de Y . De manera equivalent, una aplicacio, f : X → Y, és donada per un conjunt de parells ordenats, o siga un subconjunt Γf ⊆ X × Y, que anomenem gràfica de f. Aquest conjunt ha de complir que per a tot element x ∈ X existeix un únic element y ∈ Y tal que (x, y) ∈ Γf. Aquest y es denomina imatge de x per f i es denota per f(x).
Altres conceptes lligats al d’aplicacio son els d’imatge i imatge inversa d’un conjunt. Si A ⊆ X, la imatge de A, f(A), és el subconjunt de Y format per totes les imatges de tots els elements del conjunt A. O siga,
Si B ⊆ Y, la imatge inversa de B, f−1(B), és el subconjunt de X format per aquells elements tals que la seua imatge pertany a B. En símbols,
Quan y és un element de Y denotarem f−1(y) = f−1({y}). Però noteu que és un subconjunt de X i no un element.
Hi ha una altra qüestió que cal remarcar. El símbol f−1(B) és simplement una notació. No suposeu erròniament que el fet que aparega f−1 vol dir que l’aplicació f té una aplicació inversa, usualment denotada també per f−1.
Donem a continuació algunes de les relacions que es compleixen entre les imatges i imatges inverses de subconjunts.
Propietat 0.4 Siga f : X → Y una aplicació entre conjunts, A ⊆ X i B ⊆ Y . Llavors,
Noteu que aquestes inclusions no són igualtats en general. Un exercici que recomanem és cercar exemples on la inclusió siga estricta.
Veurem ara el comportament d’imatges i imatges inverses amb la unió i la intersecció de famílies.
Propietat 0.5 Siga f : X → Y una aplicació entre conjunts, Ai ⊆ X i Bi ⊆ Y per a tot i ∈ I. Llavors,
Hi ha també una relació entre imatges inverses de complementaris i complementaris d’imatges inverses.
Propietat 0.6 Siga f : X → Y una aplicació entre conjunts i B ⊆ Y . Llavors f−1(Y − B) = X − f−1(B).
No hi ha cap relació entre les imatges i els complementaris. Cerqueu-ne exemples.
Un tipus especial d’aplicacions que utilitzarem sovint són les successions. Una successió en X és una aplicació φ : IN → X. És costum denotar la successió per , on xn = φ(n). Un exemple de successió en IR és
Nota 0.7 És convenient distingir una successió del seu conjunt imatge. Una successió sempre té infinits termes, però el seu conjunt imatge pot no ser infinit. Per exemple, la successió {1, 0, 1, 0, . . .} té com a conjunt imatge {0, 1}.
L’última definició d’aquest apartat és la de subsuccessió d’una succession . Donada una aplicació estrictament creixent α : IN → IN, on α(k) = nk, definim la subsuccessió associada com la composició
és a dir, és la successió.
Exemple 0.8 1. La successió én una subsuccesió de .
2. Siga una successió, aleshores, subsuccessions seues són, , i si p ∈ IN, n’és també subsuccessió.
En tot aquest llibre utilitzarem alguns conceptes de cardinalitat de conjunts, en particular els de finitud i numerabilitat, que expressarem a continuació.
Per evitar considerar el conjunt buit com un cas a¨ıllat, suposarem que tots els conjunts són no buits. D’acord amb això, direm que un conjunt X és finit si existeix un nombre natural n i una aplicació bijectiva, φ : {1, 2, ..., n} → X. Direm que és infinit numerable si existeix una aplicació bijectiva, φ : IN → X. Direm que el conjunt X és numerable si és finit o infinit numerable (figura 0.1). En cas contrari, direm que el conjunt és infinit no numerable.
Figura 0.1
Evidentment, aquests conceptes es conserven per aplicacions bijectives, per tant el conjunt IN es pot substituir per IN. Per tal de provar les següents propietats ens serà convenient demostrar de primer la següent caracterització de conjunts numerables.
Propietat 0.9 Un conjunt X és numerable si i només si existeix una aplicació suprajectiva φ : IN → X.
Nota 0.10 Aquesta propietat pot interpretar-se així: un conjunt X és numerable si existeix una successió tal que el seu conjunt imatge és tot X.
Vegem com es poden demostrar algunes propietats de numerabilitat que generalitzen propietats conegudes de finitud. Les demostracions les podem fer utilitzant la definició o bé la propietat anterior.
Propietat 0.11 Si X és numerable i S és un subconjunt de X, aleshores S és numerable.
Demostració. Pel fet de ser X numerable, existeix una aplicació suprajectiva, φ : IN → X. Definim l’aplicació ψ : X → S, que és la identitat sobre els elements de S i envia els elements que no pertanyen a S a un element fix de S. Evidentment, ψ és suprajectiva i per tant, la composició, ψ ○ φ : IN → S, és una aplicació suprajectiva i S és numerable.
Per demostrar propietats un poc més interessants de conjunts numerables és crucial la següent observació.
Lema 0.12 El conjunt IN × IN és numerable.
Demostració. Construïm una aplicació suprajectiva θ : IN → IN × IN definida per θ(n) = (m − k, k), on m és l’únic nombre natural tal que
i (figura 0.2).
És clar que l’aplicació així definida és bijectiva, amb la qual cosa IN × IN és numerable.
Amb una fàcil inducció es comprova aleshores el resultat següent.
Figura 0.2
Corol·lari 0.13 Per a tot n ∈ IN, INn és numerable.
Amb aquest resultat és fàcil provar que la numerabilitat es conserva per unions numerables.
Propietat 0.14 Siga I un conjunt numerable d’índexs, i per a cada i ∈ I siga Si un conjunt numerable. Llavors, S = i∈I Si és numerable.
Demostració. Pel fet de ser Si numerable, per a cada i existeix φi : IN → Si una aplicació suprajectiva. Aleshores, l’aplicació
donada per φ(i, n) = φi(n), també és suprajectiva.
Pel fet de ser I numerable, existeix ψ : IN → I una aplicació suprajectiva. Siga θ : IN → IN × IN l’aplicació suprajectiva del lema anterior (0.12). Llavors, la composició
és una aplicació suprajectiva, on Id denota l’aplicació identitat. Per tant, S és numerable.
Corol·lari 0.15 El conjunt dels nombres enters, , és numerable.
Demostració. Evidentment, tant el conjunt dels enters positius com el dels enters negatius són infinits numerables. Per la propietat anterior (0.14) també ho és , que és la seua unió.
Vegem que la numerabilitat també es conserva per productes finits.
Propietat 0.16 Siguen Si conjunts numerables per a i = 1, 2, ...n. Llavors,
és numerable
Demostració. Siguen φi : IN → Si les aplicacions suprajectives que existeixen com a conseqüència de la caracterització de numerabilitat. Siga θn : IN → INn l’aplicació suprajectiva de 0.13. Llavors, la composició
és una aplicació suprajectiva.
Corol·lari 0.17 El conjunt dels nombres racionals, , és numerable.
Demostració. Per la propietat anterior, el conjunt és infinit numerable i, evidentment, pot ser considerat un subconjunt d’aquest mitjançant la representació irreductible de cada fracció; per tant, és numerable.
En aquest apartat enunciarem les propietats dels nombres reals que emprarem al llarg del text. Suposem coneguda l’existència del conjunt de nombres reals, que denotarem per IR.
En IR tenim dues operacions internes, la suma i el producte, que compleixen les propietats de commutativitat, associativitat, existència d’element neutre per a la suma (el 0) i per al producte (l’1). Cadascun dels nombres reals té invers respecte a la suma, i tots els de IR = IR − {0} tenen invers respecte al producte. També el producte és distributiu respecte a la suma. Aquestes propietats es resumeixen dient que IR és un cos commutatiu.
Per definir l’ordre en IR, dividim IR en la unió disjunta dels nombres positius i negatius. Ara diguem
Aquesta definició dóna un ordre en IR.
Recordeu, a més a més, que la relació d’ordre ≤ es conserva mitjançant la suma, és a dir, per a qualssevol nombres reals a, b, x, y, si a ≤ x i b ≤ y llavors