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Prof. Dr. Katrin Schmallowsky,

Unternehmensberaterin für den Mittelstand, ist Professorin für Mathematik an der NBS Northern Business School in Hamburg. Sie lehrt außerdem an verschiedenen Hochschulen, darunter die Hochschule Wismar, unter anderem Wirtschaftsmathematik, Statistik, Unternehmensbewertung und Mergers and Acquisitions.

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <www.dnb.de> abrufbar.

ISBN 978-3-86764-804-2 (Print)

ISBN 978-3-7398-0344-9 (E-PUB)

ISBN 978-3-7398-0345-6 (E-PDF)

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

© UVK Verlagsgesellschaft mbH, Konstanz und München 2017

Lektorat: Rainer Berger, München

Abbildungen: erstellt mit GeoGebra (www.geogebra.org)

Einbandgestaltung: Susanne Fuellhaas, Konstanz

Printed in Germany

UVK Verlagsgesellschaft mbH

Schützenstr. 24 · 78462 Konstanz

Tel. 07531-9053-0 · Fax 07531-9053-98

www.uvk.de

Vorwort

Für viele Studierende der Wirtschaftswissenschaften stellt das Erlernen mathematischer Inhalte und Methoden eine große Herausforderung dar. Dem gegenüber steht die aus der technologischen Entwicklung resultierende Notwendigkeit, gerade in den Wirtschaftswissenschaften die naturwissenschaftliche Methodenkompetenz der Studierenden immer stärker zu schulen.

Das vorliegende Lehrbuch ist durch langjährige Dozententätigkeiten in der Wirtschaftsmathematik an verschiedenen Hochschulen entstanden. Es behandelt die für Wirtschaftswissenschaftler wichtigsten Themenfelder der Analysis und verzichtet weitgehend auf Herleitungen und Beweise, um den Fokus auf die wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen der Analysis zu lenken.

Die Themen umfassen zunächst eine Einführung in Folgen und Reihen, wobei besonderer Wert auf die Anwendung der Inhalte in der Finanzmathematik in Form der Rentenrechnung gelegt wurde. In den folgenden Kapiteln werden häufig vorkommende (ökonomische) Funktionen und ihre Eigenschaften betrachtet sowie die in den Wirtschaftswissenschaften häufig auftretenden Anwendungen der Differentialrechnung, auch für mehrdimensionale Funktionen, vorgestellt. Die elementare Integralrechnung ist um die Bestimmung von Konsumenten- und Produzentenrente ergänzt.

Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben, für welche die Lösungen am Ende des Buches zusammengefasst sind, erleichtern dem Leser das Erlernen des Stoffes. Die Erstellung der Grafiken erfolgte mit der Software GeoGebra1. Die Erstellung eines Lehrbuches erfordert stets eine nicht unerhebliche Menge an Zeit und ich danke meinem Mann, Prof. Dr. Thomas Schmallowsky sowie meinen Söhnen Lasse und Theo für die Schaffung der entsprechenden Freiräume.

Wismar, Juni 2017Katrin Schmallowsky

1© International GeoGebra Institute, 2013, http://www.geogebra.org

Inhaltsverzeichnis

  1. Folgen und Reihen
    1. 1.1 Folgen
      1. 1.1.1 Eigenschaften von Folgen
      2. 1.1.2 spezielle Folgen
    2. 1.2 Reihen
  2. Funktionen mit einer Variablen
    1. 2.1 Einleitung
      1. 2.1.1 Darstellung von Funktionen
      2. 2.1.2 Elementare Eigenschaften von Funktionen
      3. 2.1.3 Grenzwerte von Funktionen
      4. 2.1.4 Stetigkeit
    2. 2.2 Elementare Funktionen
    3. 2.3 Ökonomische Funktionen
  3. Differentialrechnung I
    1. 3.1 Differenzierbarkeit einer Funktion
      1. 3.1.1 Die erste Ableitung elementarer Funktionen
      2. 3.1.2 Ableitungsregeln
      3. 3.1.3 Höhere Ableitungen.
      4. 3.1.4 Ableitungen ökonomischer Funktionen
    2. 3.2 Anwendungen der Differentialrechnung
      1. 3.2.1 Das Differential
      2. 3.2.2 Die Wachstumsrate
      3. 3.2.3 Die Elastizität
      4. 3.2.4 Die Regel von de l’Hôpital
      5. 3.2.5 Das Taylor-Polynom
      6. 3.2.6 Das Newton-Verfahren
    3. 3.3 Kurvendiskussion
  4. Integralrechnung
    1. 4.1 Das unbestimmte Integral
    2. 4.2 Das bestimmte Integral
    3. 4.3 Anwendungen der Integralrechnung
  5. Differentialrechnung II
    1. 5.1 Definition von Funktionen im
      1. 5.1.1 Ökonomische Funktionen
      2. 5.1.2 Homogenität
    2. 5.2 Differenzierbarkeit
      1. 5.2.1 Partielle Ableitungen erster Ordnung
      2. 5.2.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung
    3. 5.3 Anwendungen der Differentialrechnung II
      1. 5.3.1 Das Differential
      2. 5.3.2 Die partielle Elastizität
      3. 5.3.3 Extremwerte ohne Nebenbedingung
      4. 5.3.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen
  6. Lösungen
    1. 6.1 Lösungen Kapitel 1
    2. 6.2 Lösungen Kapitel 2.
    3. 6.3 Lösungen Kapitel 3
    4. 6.4 Lösungen Kapitel 4
    5. 6.5 Lösungen Kapitel 5
  1. Literaturhinweise
  2. Stichwortverzeichnis

Symbolverzeichnis

Natürliche Zahlen
Reelle Zahlen
n-dimensionaler Raum der reellen Zahlen
ganze Zahlen
n ist Element der natürlichen Zahlen
an n-tes Folgeglied bzw. Folgenvorschrift
Grenzwert der Folge
Partialsumme sn
K0 Kapital zum Zeitpunkt Null, auch Rentenbarwert
Kn Kapital nach n Jahren, auch Rentenendwert
R gleichbleibende Ratenzahlung
p Zinsfuß
q Aufzinsungsfaktor,
Df Definitionsbereich der Funktion f(x)
wf Wertebereich der Funktion f(x)
Uε(x) ε – Umgebung von x
A ⊆ B Die Menge A ist Teilmenge der Menge B.
f ο g Komposition der Funktionen f und g
f–1 (y) Umkehrfunktion
linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle x*
rechtsseitiger Grenzwert von f an der Stelle x*
f′(x) erste Ableitung von f(x), auch Differentialquotient
Differentialquotient, auch erste Ableitung von f(x)
Differentialquotient, auch erste Ableitung von f(x)
f″(x) zweite Ableitung von f(x)
zweite Ableitung von f(x)
Δx Änderung von x
Differenzenquotient
df(x) Differential, auch dy
wf(x) Wachstumsrate
εyx(x) Elastizität von y in Bezug auf x
F(x) Stammfunktion von f(x), auch unbestimmtes Integral
∫ f(x)dx unbestimmtes Integral, auch Stammfunktion von f(x)
bestimmtes Integral
fxi partielle Ableitung erster Ordnung
∇f Gradient
fxixj partielle Ableitung zweiter Ordnung
Hf Hessematrix
εxipj Kreuzpreiselastizität
|Ai| Hauptunterdeterminante i-ter Ordnung

Verwendete Griechische Buchstaben

α, A Alpha
β, B Beta
δ, Δ Delta
ϵ, ε Epsilon
λ, Λ Lambda
π, Π Pi

Verwendete Symbole

Aufgabe
Beispiel
Definition
Satz

1 Folgen und Reihen

Folgen und Reihen spielen in vielen ökonomischen Fragestellungen eine wichtige Rolle. So lassen sich beispielsweise die Zinsrechnung, die Rentenrechnung und auch die Unternehmensbewertung auf Folgen und Reihen zurückführen. In diesem Kapitel sollen zunächst Folgen sowie deren wesentliche Eigenschaften vorgestellt werden. Im zweiten Teil des Kapitels erfolgt die Erweiterung auf Reihen; dabei wird insbesondere auf die genannten Anwendungen eingegangen.

1.1 Folgen

Betrachtet man für eine beliebige Abbildung nur jene Werte, die sich durch Einsetzen von Argumenten n aus den natürlichen Zahlen ergeben, so erhält man eine Punktmenge, die sogenannte Folge. Durch die Wahl der Argumente n aus den natürlichen Zahlen ist in der Folge gleichzeitig eine Reihenfolge festgelegt. Ist die Indexmenge unbegrenzt, so spricht man von einer unendlichen Folge, ansonsten von einer endlichen Folge.

Definition 1.1.1

Eine Folge ist eine Abbildung

Der Wert an := f(n), n = 1, 2, . . . heißt n-tes Folgeglied, a1 ist der Startwert; übliche Schreibweisen für Folgen sind .

Bemerkung 1.1.1

Für Folgen sind verschiedene Darstellungsformen definiert:

Die Aufzählung wird üblicherweise bei endlichen Folgen verwendet oder in Fällen, in welchen zum Beispiel durch Messungen nur einzelne Werte bekannt sind. Aus diesen Messwerten soll dann die rekursive oder die explizite Darstellung abgeleitet werden.

Die rekursive Darstellung birgt den Nachteil, dass für hohe Indizes zunächst alle vorherigen Folgeglieder bestimmt werden müssen. Die häufigste Verwendung findet daher die explizite Darstellung, da bei dieser die Berechnung eines Folgegliedes unabhängig von allen vorherigen Folgegliedern ist. Im folgenden Beispiel sind für vier Folgen die verschiedenen Darstellungsformen angegeben.

Beispiel 1.1.1

1. Die Folge (an) mit an = n kann wie folgt dargestellt werden:

2. Die Folge (an) mit an = (−1)n kann wie folgt dargestellt werden:

3. Die Folge (an) mit an = n2 kann wie folgt dargestellt werden:

1.1.1 Eigenschaften von Folgen

Im Folgenden werden die wichtigsten Eigenschaften von Folgen vorgestellt.

Monotonie und Beschränktheit

Eine wichtige Rolle bei der Auswertung von Folgen spielt die Frage, ob die Folge eine gleichmäßige Entwicklung beschreibt und ob der Entwicklung einer Folge Grenzen gesetzt sind.

Definition 1.1.2

Eine Folge (an) heißt

an−1 ≤ an;

an−1 ≥ an;

an−1 < an;

an−1 > an;

Der Wert u wird als untere Schranke, o als obere Schranke bezeichnet.

u ≤ an ≤ ο.

Beispiel 1.1.2

  1. Gegeben sei die Folge (an) mit ; Folge ist streng monoton fallend und beschränkt durch .
  2. Gegeben sei die Folge (an) mit ; diese Folge ist streng monoton wachsend und nach unten beschränkt durch u = 1.
  3. Gegeben sei die Folge ; diese Folge ist streng monoton wachsend und beschränkt durch 0 ≤ an ≤ 1.

Da für Folgen die üblichen Rechenoperationen (Addition, skalare Multiplikation und Multiplikation von Folgen) definiert sind, setzen sich die soeben betrachteten Eigenschaften entsprechend der nachfolgenden Sätze fort.

Satz 1.1.1 Seien (an) und (bn) gleichgerichtete monotone reelle Folgen und . Dann sind die Folgen

  1. (an + bn);
  2. α · (an);
  3. (an · bn)

ebenfalls monoton. Für α > 0 bleibt die Richtung der Monotonie erhalten, für α < 0 kehrt sich die Richtung der Monotonie um.

Satz 1.1.2

Seien (an) und (bn) beschränkte reelle Folgen und . Dann sind die Folgen

  1. (an + bn);
  2. α · (an);
  3. (an · bn)

ebenfalls beschränkt.

Konvergenz

Häufig soll untersucht werden, ob eine Folge über einen langen Zeitraum gegen einen bestimmten Wert strebt. Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Konvergenzuntersuchung durchgeführt. Kommen die Glieder an der Folge mit wachsendem Index n einem Grenzwert a beliebig nahe, so nennt man die Zahlenfolge (an) konvergent.

Definition 1.1.3

Eine Folge (an) heißt konvergent mit dem Grenzwert a, falls zu jedem ϵ > 0 eine Zahl existiert, so dass

für alle n ≥ nϵ gilt |an − a| < ϵ.

Man schreibt dann . Eine Folge, die nicht konvergent ist, nennt man divergent.

Obige Aussage muss dabei für jedes ϵ > 0 erfüllbar sein. Je kleiner ϵ gewählt wird, umso größer wird der Index nϵ, ab welchem die Bedingung erfüllt ist.

Beispiel 1.1.3

Betrachtet werde die Folge (an) mit .

Beweis: Sei ϵ > 0 sehr klein und , dann folgt

für alle .

Der Begriff der Divergenz wird häufig zusätzlich unterschieden in echte Divergenz und uneigentliche Konvergenz.

Definition 1.1.4

Sei (an) eine Folge. Dann ist

Diese Aussagen müssen für alle positiven Werte von M, insbesondere für sehr große Werte, erfüllt sein. Sie werden daher umgangssprachlich auch gesprochen als die Folge wächst über bzw. fällt unter alle Schranken.

Bei den meisten Folgen ist der Grenzwert anhand der expliziten Darstellung der Folge leicht ablesbar. Im folgenden Beispiel sind Grenzwerte häufig verwendeter Folgen angegeben.

Beispiel 1.1.4

Satz 1.1.3

Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent.

Beispiel 1.1.5

Gegeben sei die Folge (an) mit .

Diese Folge ist monoton wachsend, da

Sie ist ferner beschränkt durch

Es gilt

Auch für zusammengesetzte Folgen werden Grenzwerte gesucht. Die folgenden Grenzwertsätze erleichtern die Bestimmung.

Satz 1.1.4

Seien (an) und (bn) konvergente Folgen mit den Grenzwerten a und b und sei . Dann gelten:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. ,

    wobei bn ≠ 0 für alle und ≠ 0

Beispiel 1.1.6

1. Gegeben sei die Folge (an) mit Es ist

Damit gilt

2. Gegeben sei die Folge (an) mit . Dann ist

also ist

Ein Sonderfall liegt bei Folgen vor, welche in Zähler und Nenner Polynome enthalten.

Bemerkung 1.1.2

Besteht die Folge aus Polynomen in Zähler und Nenner, so gilt

Diese Vorgehensweise lässt sich auch auf Exponentialausdrücke übertragen.

Beispiel 1.1.7

1. Betrachtet werde die Folge (an) mit . Es ist

2. Es ist .

3. Es ist .

4. Gegeben sei die Folge (an) mit .

1.1.2 spezielle Folgen

In diesem Abschnitt werden besondere Folgen vorgestellt und wesentliche Anwendungen erläutert.

Definition 1.1.5

Für die oben genannten Folgen gelten folgende Zusammenhänge.

Bemerkung 1.1.3

Beispiel 1.1.8

  1. Die Folge (an) mit an = 2 für alle ist konstant.
  2. Die Folge (an) mit ist eine Nullfolge.
  3. Die Folge (an) mit ist eine Nullfolge.
  4. Die Folge (an) mit ist eine alternierende Folge mit dem Grenzwert 0.

Die ökonomischen Anwedungsgebiete der Folgen lassen sich in weiten Teilen auf zwei spezielle Folgen zurückführen, welche im Folgenden vorgestellt werden.

Arithmetische Folgen

Definition 1.1.6

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder konstant ist,

an+1 = an + d (rekursive Darstellung).

Das k−te Glied dieser Folge berechnet sich aus

an = a1 + (n − 1)d (explizite Darstellung).

Der Name arithmetische Folge ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Folgeglied stets dem arithmetischen Mittel aus Vor- und Folgeglied entspricht:

Eine arithmetische Folge ist durch das Anfangsglied a1 und die Differenz d der Folgeglieder eindeutig bestimmt.

Bemerkung 1.1.4

Jede arithmetische Folge an = a1 + (n − 1)d mit d ≠ 0 ist uneigentlich konvergent und nicht beschränkt.

Beispiel 1.1.9

  1. Die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen {1, 3, 5, . . . , 2n+1} ist eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a1 = 1 und Differenz d = 2. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu an = 1 + (n − 1) · 2.
  2. Die Folge {3, 7, 11, 15, . . .} ist eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a1 = 3 und Differenz d = 4. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu an = 3 + (n − 1) · 4.
  3. Die Folge {8, 5, 2, −1, −4, . . .} ist eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a1 = 8 und Differenz d = − 3. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu an = 8 + (n − 1) · (−3).
  4. In einem Unternehmen wird ein Gut im Wert von 25.000 EUR angeschafft, welches eine Nutzungsdauer von 10 Jahren ausweist.

    Die Entwicklung des Restbuchwertes des angeschafften Gutes entspricht dann einer arithmetischen Folge mit Anfangsglied a1 = 25.000 und Differenz EUR.

    Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu

    an = 25.000 + (n − 1) · (−2.500).

    Mithilfe der expliziten Darstellung kann nun der Restbuchwert nach sechs Jahren angegeben werden, ohne die vorherigen Folgeglieder zu berechnen:

    a6 = 25.000 + (6 − 1) · (−2.500) = 25.000 − 12.500 = 12.500,

    der Restbuchwert nach sechs Jahren beträgt 12.500 EUR.

Geometrische Folgen

Definition 1.1.7

Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der das Verhältnis (der Quotient) zweier benachbarter Folgeglieder konstant ist,

an = a1qn−1, (explizite Form);

bzw.

an+1 = anq, (rekursive Form).

Der Name geometrische Folge ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Folgeglied stets dem geometrischen Mittel aus Vor- und Folgeglied entspricht:

Eine geometrische Folge ist durch das Anfangsglied a1 und den Vervielfältiger q der Folgeglieder eindeutig bestimmt.

Beispiel 1.1.10

  1. Die Folge (an) = {3, 6, 12, 24, . . .} ist eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied a1 = 3 und Vervielfältiger q = 2. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu an = 3 · 2n−1.
  2. Ein Bankkunde legt 3.000 EUR bei seiner Bank an. Diese sichert ihm 3% Zinsen p.a. (mit Zinseszins) zu. Gemäß der Zinsformel

    gilt für das vorliegende Beispiel Kn = 3.000 · 1, 03n. Dies entspricht bereits einer geometrischen Folge. Allerdings entspricht der Anfangswert dieser geometrischen Folge a0 = 3.000. Um eine einheitliche Notation zu erhalten, kann diese Folge an die bisher verwendete Notation angepasst werden:

    Kn = 3.000 · 1, 03n = 3.000 · 1, 03 · 1, 03n−1 = 3.090 · 1, 03n−1.

    Die Entwicklung des Gesamtkapitals entspricht somit einer geometrischen Folge mit Anfangsglied a1 = 3.090 EUR und Vervielfältiger q = 1, 03.

Bemerkung 1.1.5

Für eine geometrische Folge gilt

und damit folgt:

  1. Eine geometrische Folge mit |q| < 1 konvergiert gegen 0.
  2. Für q = 1 erhält man die konstante Folge {a1, a1, . . .}.
  3. Für q = − 1 erhält man die alternierende Folge {a1, − a1, a1, . . .}, diese ist divergent.
  4. Für |q| > 1 ist die geometrische Folge divergent.

Sowohl bei der arithmetischen als auch bei der geometrischen Folge sollte der erste Schritt zu einer Lösung stets die Bestimmung von a1 und d im Falle der arithmetischen Folge bzw. a1 und q im Falle der geometrischen Folge sein.

Aufgaben

Aufgabe 1.1.1

Geben Sie zu den Folgen die jeweils fehlenden Darstellungsformen an:

  2. an = 3 · 2n−1
  3. an 2 · an−1, = 3
  4. an = {2, 3, 2, 3, . . .}

Aufgabe 1.1.2

Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit.

  2. an = n2 − n

Aufgabe 1.1.3

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz

Aufgabe 1.1.4

Untersuchen Sie die Folgen mithilfe der Grenzwertsätze auf Konvergenz.

Aufgabe 1.1.5

Geben Sie für die Folgen an, ob es sich um eine arithmetische oder eine geometrische Folge handelt. Geben Sie ferner die explizite Darstellung der Folge an.

  1. (an) = {4, 7, 10, . . .}
  2. (an) = {2, 4, 8, 16, . . .}
  4. (an) = {16, 8, 0, −8, . . .}
  6. (an) = {27, 22, 17, 12, . . .}
  7. (an) = {1; 0, 7; 0, 49; . . .}

Aufgabe 1.1.6

Ein Unternehmen produziert im ersten Jahr 12.000 Stück eines Gutes. Durch gezielte Marketing-Strategien soll die Produktion und somit auch die Absatzmenge jährlich um 5% gesteigert werden.

  1. Geben Sie die explizite Darstellung der Folge an.
  2. Welche Stückzahlen werden im vierten bzw. im achten Jahr produziert?

Aufgabe 1.1.7

Ein Schwimmer legt am ersten Trainingstag 500 m zurück. Diese Strecke soll pro Trainingstag um 150 m gesteigert werden.

  1. Geben Sie die explizite Darstellung der Folge an.
  2. Welche Strecke legt der Schwimmer am dritten bzw. am neunten Tag zurück?

Aufgabe 1.1.8

Wie lange dauert es, bis sich bei 2% Zinsen p.a. ein Kapital von 2.000 EUR verdoppelt hat bei

  1. einfacher Verzinsung?
  2. Verzinsung mit Zinseszins?

1.2 Reihen

Aus jeder Zahlenfolge (an) kann eine Zahlenreihe gebildet werden.

Definition 1.2.1

Sei (an) eine Folge. Dann heißt

n−te Partialsumme von heißt unendliche Reihe.

Die Reihe heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen (sn) konvergent ist. Gilt

so heißt s der Reihenwert und man schreibt heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist.

Besondere Anwendungen ergeben sich für die im letzten Abschnitt betrachteten speziellen Folgen.

Arithmetische Reihe